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2.3幂函数完整版

时间:2011-11-02


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新课标

2.3 幂函数 n y=x

感受,数学的内在美
1 我们来看看由8、 、 、 我们来看看由 、2、3、 这四个数 3 运用数学符号可组成哪些等式? 运用数学符号可组成哪些等式?

运算的完美性

8=2

3

我们知道:N=ab N=a

3 = log2 8

2=8
函数的完美 追求

1 3

– 如果a一定,N随b的变化而变化, 我们建立了指数函数y=ax – 如果a一定,b随N的变化而变化, 我们建立了对数函数y=log a x

设想:如果b一定,N随a的变化而变化, 是否也应该可以确定一个函数呢?

问题引入:函数的生活实例
问题1:如果张红购买了每千克1元的苹果 千克, 元的苹果w千克 问题 : 如果张红购买了每千克 元的苹果 千克 , 那么她需要付的钱数p 那么她需要付的钱数 =w 元, 这里p是 的函数 。 这里 是w的函数 y = x 问题2:如果正方形的边长为a, 问题 :如果正方形的边长为 ,那么正方形的面积 y = x? 是S = a? , 这里S是 的函数 这里 是a的函数 。 问题3:如果正方体的边长为a, 问题 :如果正方体的边长为 ,那么正方体的体积 y= x? 是V = a?,这里 是a的函数 。 这里V是 的函数 问题4:如果正方形场地的面积为 如果正方形场地的面积为S, 问题 如果正方形场地的面积为 , 那么正方形的 1 1 这里a是 的函数 这里 是S的函数 。 边长a= 边长 S 2 , x2 y= 问题5:如果某人t 内骑车行进了 内骑车行进了1km,那么他骑 问题 :如果某人 s内骑车行进了 , t-1 km/s,这里 是t的函数 。 y=x?1 车的平均速度v 车的平均速度 = 这里v是 的函数 若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用y来 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值用 来 来表示 函数值用 表示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是: 表示 则它们的函数关系式将是

以上问题中的函数有什么共同特征? 以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2) (3) (4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数; )都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; )均是以自变量为底的幂; 3)指数为常数; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为 。 )自变量前的系数为1。

上述问题中涉及的函数, 的函数。 上述问题中涉及的函数,都是形如y=xα的函数。

定义

思考:幂函数与指数函数有什么区别? 思考:幂函数与指数函数有什么区别? 名称 式子 a x 指数函数: 指数函数 y=a x 幂函数: 幂函数 y= x a
底数 指数 指数 底数

y
幂值 幂值

看看自变量x是指数还是底数 指数还是底数 还是
指数函数 指数函数 幂函数

概念剖析 1.判断下列函数哪些是幂函数? 判断下列函数哪些是幂函数? 判断下列函数哪些是幂函数 x (1)y = 0.2 × (2) y = (3) (5)
1 2

x√
?2√

y=x √

?1

(4)

y=x

y =?x

2

×
待定系数法

2.若幂函数 =f(x)的图象经过点 27 ) 若幂函数y= 的图象经过点 的图象经过点(3, 若幂函数 则f(x)=____ =____

3.已知f(x)=(m

2

+2m)x ?

m2 +m+1

,当m为何值时,f(x)是:

(1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数?

幂函数性质的探究: 幂函数性质的探究: 对于幂函数,我们只讨论 对于幂函数,我们只讨论α=1,2,3, , , , 情形。 情形。
2 3

1 ,–1 时的 2
1 2 ?1

: 即 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x
探究1:结合前面研究指数函数与对数函数的方法, 探究1:结合前面研究指数函数与对数函数的方法,我们应 如何研究幂函数呢? 如何研究幂函数呢? 作具体幂函数的图象→观察图象特征 总结函数性质 作具体幂函数的图象 观察图象特征→总结函数性质 观察图象特征

探究 2:在同一坐标系内作出 下列幂函数的图象,并 填表: y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = x , y = x , y = x ?1 , y = x ? 2 , y = x
性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x1/3 y=x-1
1 2 1 3 ? 1 2

y=x-2 y=x-1/2

函数

y = x的图像

定义域: 定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 奇偶性: R上 奇 数 在 是 函 单调性: R 是 函 单调性:在 上 增 数

函数 y = x 的图像
2

定义域: 定义域:

R

值 域: [0,+∞) 奇偶性: 奇偶性: R上 偶 数 在 是 函
在 是 函 单调性: 单调性: [0,+∞)上 增 数

在 ,0]上 减 数 (?∞ 是 函

函数 y = x 的图像

?1

} 定义域: 定义域:{x x ≠ 0
值 域:{y y ≠ 0 }
在 是 函 奇偶性: {x x ≠ 0}上 奇 数 奇偶性:

单调性: 单调性: (0,+∞)上 减 数 在 是 函
在 ,0)上 减 数 (?∞ 是 函
1 2

如何画y = x 和y = x 的图像呢 ?
3

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8 6 4 2

0 0 0

1 1 1 y=x3

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y = x 的图像
3

定义域: 定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 奇偶性: R上 奇 数 在 是 函 单调性: R 是 函 单调性:在 上 增 数

函数 y = x 的图像

1 2

定义域: 定义域: [0,+∞) 值 域: [0,+∞) 奇偶性: 奇偶性: 非 非 函 奇 偶 数 单调性: 单调性: [0,+∞)上 增 数 在 是 函

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数在(0,+∞)都有定义 幂函数在(0,+∞)都有定义 (0,+∞) 幂函数的图象都通过点(1,1) 幂函数的图象都通过点(1,1) 为奇数时,幂函数为奇函数, α为奇数时,幂函数为奇函数, 为偶数时,幂函数为偶函数. α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内, 在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; >0,在(0,+∞)上为增函数; 上为增函数 <0,在(0,+∞)上为减函数 上为减函数. a <0,在(0,+∞)上为减函数.

第一象限的图象特征
3

y=x

3

y=x

2

3

归纳性质
y= x
1 2

3

2

2

2

1

1

y= x

1 3

1

0 0 1 2 3

0 0 1 2 3

0 0 1 2

y=x ?1 y = x?2 y=x 3

?1 2

α x 当α > 1, ∈ (0,1),y = x 的图像都在 y

= x下方,形状下凹 下方,形状下凹;

x ∈ (0,1),y = x α的图像都在y = x 上方,形状上凸 上方,形状上凸; 当0 < α < 1 ,
上是减函数. 当α < 0 ,则幂函数在区间 ( 0, + ∞ )上是减函数.

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性, 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 取值的不同而不同. 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) , ) 偶函数

y=

x3

y=x
[0,+∞) , ) [0,+∞) , )

1 2

R R 奇函数

y=x 0) ( ( ?∞, U 0,+∞) 0) ( ( ?∞, U 0,+∞)
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

非奇非偶 函数

在(-∞,0] (- 在R上 上是减函 单调性 是增函 数,在(0, 数 +∞)上是 ) 增函数 公共点

, 在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 上 , ) 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 减函数 数 (1,1) , )

归纳: 归纳:幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y

n>1 n=1

y = x ( n为常数 )
n

1 o 1

0< n<1 n<0
x

y = x 0 ( x ≠ 0)

图象经过点(1,1)后,在直线x=1右侧,自下而上指数 由小变大。 后 在直线 右侧, 由小变大。 图象经过点 右侧 自下而上指数n由小变大 在直线x=1左侧相反 左侧相反. 在直线 左侧相反 指数大于1,在第一象限为抛物线( 指数大于1,在第一象限为抛物线(凹); 1,在第一象限为抛物线 指数等于1,在第一象限为上升的射线; 1,在第一象限为上升的射线 指数等于1,在第一象限为上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线( 1,在第一象限为抛物线 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线(凸); 指数等于0,在第一象限为水平的射线; 0,在第一象限为水平的射线 指数等于0,在第一象限为水平的射线; 指数小于0,在第一象限为双曲线型; 0,在第一象限为双曲线型 指数小于0,在第一象限为双曲线型;

学点一 幂函数的定义域

例:求下列幂函数的定义域: 求下列幂函数的定义域:
y=x ,
4 3

y=x ,

3 5

y=x

?

2 3

,

y=x ,

?3

y=x .

3 2

学点二 幂函数的图像 例:作出下列函数的图 像
y=x ,
y
4 3

y=x ,
y= x
4 3

3 5

y=x

?

2 3

,
3 5

y = x ?3 ,
y

y=x .
y = x
? 2 3

3 2

y= x
o

x o y x y o x

y = x ?3
o x o

y= x

3 2

x

幂函数的图象 先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为水平的射线; 指数小于0,在第一象限为双曲线型;

单调性、奇偶性、值域(最值) 学点三 单调性、奇偶性、值域(最值)
例:求下列函数的奇偶 性、单调性、值域:
4 3 3 5 2 3 3 2

y=x ,

y=x ,

y=x

?

,

y = x ?3 ,

y=x .

例:证明函数 f ( x ) =

x 在[0, + ∞ )上是增函数

注意掌握证明函数单调性的方法和基本模式

学点四 利用幂函数比较大小
例:比较下列各组数的大小: (1)1.5 , 1.7 , 1;
4 ? ? 2? ? 10 ? ? , ? ? ? , 1.1 3 ; ( 2)? ? ? 2 ? ? 7? ? ? ? 2 3 2 3 1 3 1 3

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 练习:利用单调性判断下列各值的大小。
方法: 1、选择函数模型 函数模型 (指数函数、幂函数、 对数函数),利用函 数单调性 2、化同底数 同指 同底数或同指 数 3、善于利用中间量 中间量 进行比较,常用1和 0,或构造一个适用 的中间量

<1.50.5 1) 1.3 )
0.5

(3)3.8 , 3.9 , (?1.8) ; ( 4)31.4 , 51.5
3 4 2 3

?

2 3

2 5

3 5

5.1?2< 5.09?2 2) )

3) ?1.79 > ?1.81 )
2 ? 2 3 ≤

1 4

1 4

(5)? 2 ? 与? 3 ? ? ? ? ? ?3? ?4?

4) (2+a ) )

2

2 ? 3

利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 利用幂函数的增减性比较两个数的大小 (1) 若能化为同指数,则用幂函数的单调 若能化为同指数, 性; (2) 若能化为同底数,则用指数函数的单 若能化为同底数, 调性; 调性; (3)当不能直接进行比较时,可在两个数 当不能直接进行比较时, 当不能直接进行比较时 中间插入一个中间数, 中间插入一个中间数,间接比较上述 两个数的大小. 两个数的大小

解不等式问题(数形结合,利用图象与性质) 学点五 解不等式问题(数形结合,利用图象与性质)
( 例:1 )已知 ( a + 2 )
3 2 ? 1 3

< (1 ? 2 a )
? 3 2

?

1 3

, 求实数 a 的取值范围 ;

( 2 )已知 ( a + 1 ) ? 2 > ( 3 ? 2 a ) ? 2 , 求实数 a 的取值范围 ; ( 3 )已知 ( 2 a ? 1 ) > (1 + a )
y

, 求实数 a 的取值范围 .
y

y

y= x =

3 2

x3

0 x 0 x

1 0 1 x

(2) (1)

(3)

练习 1.已知 0.7
2 3

(

1.3 m

) < (1.3 ) ,求m的取值范围
0.7 m 3 5

2.已知x > x , 求x的取值范围 3.在R +内解不等式2 x > x 2 4.点( 2 ,2)在幂函数f ( x)的图象上, 1? ? 点? ? 2, ?在幂函数g ( x)的图象上, 4? ? 问当x为何值时,有 (1) f ( x) > g ( x); (2) f ( x) = g ( x); (3) f ( x) < g ( x).

学点六 图象性质的运用

1.设 x ∈ ( 0,1)时,函数 y = x p的图象在直线 y = x的上方, 的上方, 则 p的取值范围是 ________ . 2.已知幂函数 y = x n 在第一象限 1 内的图象,已知 n取 ± 2,± 四 内的图象, 2 个值, 个值,则相应于曲线 C1 , C 2 , C 3 , C 4的 n依次为 _________ . 3.如果幂函数 y = ( m ? 3m + 3) x
2 m 2 ?m ?2

的图象不过原点, 的图象不过原点,

则 m 的取值范围是 ________ .

4.已知幂函数y = x (p, q ∈ N *)的图象如图,则( ) p A. p, q均为奇数,且 > 0 q p B.q为偶数,p为奇数,且 < 0 q p C.q为奇数,p为偶数,且 > 0 q p D.q为奇数,p为偶数,且 < 0 q

p q

形如 f ( x ) = x ( 其 中 m ∈ N + , n ∈ Z )的幂函数的奇偶性 (1)当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; (2)当m为奇数n为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于y轴对称; (3)当m为偶数n为奇数时,f(x)是非奇非偶函数, 图象只在第一象限内.

n m

5.函数 f ( x ) = x

k 2 ? 2 k ?3

1 ( k ∈ Z )的图像如图所示,则 k = ___ .
y

1 -1 0 1 x

6.已知函数 y = x

n 2 ? 2 n ?3

( n ∈ Z )的图像与两坐标轴都无 公共点,
y

且其图像关于 y轴对称,求 n的值,并画出相应的函 数图像 .
y 1 0 x -1

y = x 0 ( x ≠ 0)

y = x ?4
1 0 1 x

小 结

1、幂函数的定义:形如 y=xα的函数叫幂函数。 、幂函数的定义: 的函数叫幂函数。
以自变量x为底数;指数为常数;自变量 前的系数为 前的系数为1;只有一项。 以自变量 为底数;指数为常数;自变量x前的系数为 ;只有一项。 为底数

2、与指数函数的区别:看未知数x是指数还是底数 、与指数函数的区别:看未知数 是指数还是 还是底数
指数函数, 若x是指数,则它是指数函数,如y= 2x 是指数,则它是指数函数 幂函数, 若x是底数,则它是幂函数,如y=x2 是底数,则它是幂函数

3、幂函数定义的应用
①判断哪些函数是幂函数 判断哪些函数是幂函数 ②根据幂函数的定义求参数的值 ③用待定系数法求幂函数的解析式

4、幂函数图象(在第一象限) 、幂函数图象 在第一象限 在第一象限) y
y 1 o 1 x 1 o 1

指数函数图像及性质 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1)

对比

0 < a <1
1
o

a >1

幂函数图像及性质 y = x α (α ∈ R ) α >1 α =1
0 <α <1
1

α <0
1

α =0

o

(1) x ∈ R, y ∈ 0, ∞) ( +

(1)定义域、值域由 α的值确定 定义域、

递增; ( 2)a > 1时,函数在( ?∞,+∞ )递增, ( 2)α > 0时,函数在 (0,+∞ )递增; 递增, 递减。 0 < a < 1时,函数在( ?∞,+∞ )递减。 α < 0时,函数在 (0,+∞ )递减。 递减。

(3)过定点(0,1)
(4) y = a 与y = a 的图像
x ?x

(3)过定点( ,. 过定点( 1 1)
( 4) y = x 与y = x 的图像 在第一象限关于 y = x对称
α α ?1

关于y轴对称

作业:求函数y = 1.

1
2 3

的单调区间,并证明.

2x ? 1 x n ? x ?n 2.已知函数f ( x) = n ( x ∈ R + ), n为非零有理数,判断f ( x)在(0, ∞ )上的增减性. + ?n x +x

3.求函数f ( x) = x + x + 1的单调区间. x 2 + 4x + 5 2 4.指出函数f ( x) = 2 的单调区间,并比较f (?π )与f (? )的大小. 2 x + 4x + 4 5.已知幂函数f ( x) = x
m 2 ? 2 m ?3

2 3

1 3

( m ∈ Z )为偶函数,且在区间(0,+∞ )上单调递减.

(1)求函数f ( x)的解析式; b 的奇偶性. xf ( x) 2 6. f ( x) = x ? k + k + 2 (k ∈ Z )满足:f (2) < f (3) (2)讨论? ( x) = a f ( x) ?
(1)求k的值及f ( x)的解析式; (2)对(1)中f ( x)是否存在正实数m, 使g ( x) = 1 ? mf ( x) + (2m ? 1) x 17 在x ∈ [?1,2]上的值域为[?4, ], 若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 8


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