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2014届高考理科数学第一轮复习测试题19


A级

基础达标演练

(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(- 1)等于( A.3 ). B.1 C.-1 D.-3

解析 由 f(-0)=-f(0

),即 f (0)=0.则 b=-1, f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案 D 2.(★)已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ).

π π π 解析 (构造法)构造函数 f(x)=sin x,则有 f(x+2)=sin?2?x+2??=-sin x=-f(x),所以 f(x) ? ? 2 2 π =sin x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π=0,故选 B. 2 答案 B 【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选择题的常用方 法,充分体现了由抽象到具体的思维方法. x 3.(★ )(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 为奇函数, ?2x+1?x-a? ? 则 a=( 1 A. 2 ). 2 B. 3 3 C. 4 D.1

x 解析 (特例法)∵ f(x)= 是奇函数, ?2x+1?x-a? ? ∴ f(-1)=-f( 1), -1 1 ∴ =- , ?-2+1?-1-a? ? ?2+1??1-a? 1 ∴ a+1=3(1-a ),解得 a= . 2 答案 A 【点评】 本题采用特例法,可简化运算,当然也可用奇函数的定义进行解题,不过过程较为 繁琐,若运算能力较弱容易出错. 4.(2012· 南昌二中月考)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) B.f(x)是奇函数 D.f (x+3)是奇函数 ).

解析 由已知条件对 x ∈ 都有 f(-x+1)=-f(x+1), R f(-x-1)=-f(x-1)因此 f(-x+3)=f[- (x-2)+1]=-f[(x-2)+1]=-f(x-1)=f(-x-1)=f(-x-2+1)=f(-(x+2)+1)=-f((x+2) +1)=-f(x+3),因此函数 f(x+3)是奇函数. 答案 D 5.(2011· 上海)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( A.y=ln 1 |x| B.y=x3 C.y=2|x| D.y=cos x ).

解析 f(x)=ln

1 满足 f(-x)=f(x),且当 x∈ (0,+∞)时,f(x)=-ln x,显然 f(x)在(0,+∞)上 |x|

是减函数,故选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 f(x)= 1 +a 是奇函数,则 a=________. 2x-1 1 1 +a=- 1 -a 整理得:-1+ - 2 1-1 2 -1

解析 由 f(x)是奇函数,利用赋值法得 f(-1)=-f(1)即 1 2a=0,即 a= . 2 答案 1 2

7.(2010· 安徽改编)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)= ________. 解析 ∵ f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴ f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,故 f(3)-f(4)=(-2)-(-1) =-1. 答案 -1 8.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈ [0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析 由原函数是奇函数, 所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称, y=f(x)在[0,5] 由 上的图象, 得它在[-5,0]上的图象, 如图所示. 由图象知, 使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(- 2,0)∪ (2,5).

答案 (-2,0)∪ (2,5) 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈ (-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解 ∵ f(x)是 R 上的奇函数,可得 f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x), ∴ -f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x)(x>0).
?-xlg?2-x? ?x<0?, ? ∴ f(x)=? ? ?-xlg?2+x? ?x≥0?.

即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈ R). 10.(12 分)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实 数 m 的取值范围. 解 由偶函数性质知 f(x)在[0,2]上单调递增,且 f(1-m)=f(|1-m |),f(m)=f(|m|),

?-2≤1-m≤2, ? 因此 f(1-m)<f(m)等价于?-2≤m≤2, ?|1-m|<|m|. ?
1 解得 : <m≤2. 2 1 因此实数 m 的取值范围是?2,2?. ? ? B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1. )(2011· (★ 湖北)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0, 且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 B. 15 4 ). 17 C. 4 D.a2


解析 (直接法)∵ g(x)为偶函数,f(x)为奇函数, ∴ g(2)=g(-2)=a,f(-2)=-f(2), ∴ f(2)+g(2)=a2-a 2+2, f(-2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=a 2-a2+2, 15 - - 联立① 解得 g(2)=2=a,f(2)=a2-a 2=22-2 2= .故选 B. ② 4
- -

① ②

答案 B 【点评】 本题采用直接法,所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、定 义、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理与计算来得出题目的结论,然后再对 照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果,直接求解. 2.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则 函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 D.9 解析 当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x= 0,得 x=0 或 x =1 或 x=-1(舍去),又 f(x)的最小正周 期为 2,∴ f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0, ∴ y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 3.(2010· 重庆改编)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈ R),则 f(2 013) 4 =________. 1 1 解析 法一 当 x=1,y=0 时,f(0)= ;当 x=1,y=1 时,f(2)=- ;当 x=2,y=1 时,f(3) 2 4 1 1 1 1 =- ;当 x=2,y=2 时,f(4)=- ;当 x=3,y=2 时,f(5)= ;当 x=3,y=3 时,f(6)= ; 2 4 4 2 1 1 当 x=4,y=3 时,f(7)= ;当 x=4,y=4 时,f(8)=- ;…. 4 4 ∴ f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴ 013)=f(3+335× f(2 6)=f(3)=- . 2 1 法二 ∵ f(1)= ,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y), 4 1 π ∴ 构造符合题意的 函数 f(x)= cos x, 2 3 π 1 1 2 ∴ 013)= cos?3× 013?=- . f(2 ? 2 ? 2 1 答案 - 2 4. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈ 恒有 f(x+1)=f(x-1), R 已知当 x∈ [0,1] 1 - 时 f(x)=?2?1 x,则 ? ? ① 是函数 f(x)的周期; 2 ② 函数 f(x)在(1,2 )上递减,在(2,3)上递增; ③ 函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ).

1 - ④ x∈ 当 (3,4)时,f(x)=?2?x 3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,① 正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1 + f(x)=f(-x)=?2?1 x,函数 y=f(x)的图象 ? ? 如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1 - f(x)=f(x-4)=?2?x 3,因此② 正确.③ ④ 不正确. ? ? 答案 ① ④ ② 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 扬州模拟)已知函数 f(x)对任意 x,y∈ R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时, f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数. (2)解 任取 x1<x2, x2-x1>0, 则 所以 f(x2-x 1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=- f(3)=6. 所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. a 6.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈ R) x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈ [2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 当 a=0 时,f(x)=x2,(x≠0) 显然为偶函数;当 a≠0 时,f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 因此 f(1)≠f(-1),且 f(-1)≠-f(1), a 所以函数 f(x)=x2+ 既不是奇函数,也不是偶函数. x

3 a 2x -a (2)f′(x)=2x- 2= 2 , x x

当 a≤0,f′(x)>0,则 f(x)在(2,+∞)上是增函数, 3 a 2x3-a 当 a>0 时,由 f′(x)= 2 >0,解得 x> ,由 f(x)在[2,+∞)上是增函数, x 2 可知 3 a ≤2.解得 0<a≤16 2

综上可知实数 a 的取值范围是(-∞,16].


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