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14.浙江省数学竞赛模拟题(七)答案


浙江省数学竞赛模拟题(七)
班级__________ 一、选择题(共 50 分) 1. a , b 是不等于 1 的正数, ? ? (
, 2 ? ), 若 a ?b ? 1 ,则成立的是 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. b ? a ? 1 D. b ? a ? 1 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 1 ?( ) ? 1

,知 ? ? 1,? a ? b ? 1 . 答:B.解析: ? tan ? ? 0, 由 ( ) a b a b 3?
tan ? tan ?

姓名__________





2.对于任意的 x∈R,不等式 2x2-a x2+1+3>0 恒成立.则实数 a 的取值范围是 A.a≤3 B.a<3 C.a≤2 2 D.a<2 2
2 2 3.设 a ? b ? 1 , ? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆

( B )

x

2

?

y

2

? 1 有公共点,则

a b

的取值范围是 )

6

2

? 1 1? A 、 ?? , ? ? 2 2?

B 、 ? ? 1, 1 ?

C 、 ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ? ? ?
2 2

D 、 ? ? 2, 2 ? (
2

解:将 y ?

2 ? ax b

代入椭圆方程并整理得, ? 3 a ? b
2

?x
2

2

? 12 ax ? 12 ? 6b ? 0 ,
2

因直线和椭圆有公共点,则判别式 ? 1 2 a ? ? 4 ? 3 a ? b
a ? b ? 1 ,化简得 a ? b ,所以
2 2 2 2

? ?1 2 ? 6 b ? ? 0 ,利用
2

a b

? 1 .即

a b

? ? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ? ? ? .

4.四面体 A B C D 的六条棱长分别为 7,13,18, 27, 36, 41 ,且知 A B ? 41 ,则 C D ?
A 、7 B 、 13

(

)

C 、 18

D 、 27

解:四面体中,除 C D 外,其余的棱皆与 A B 相邻接,若长 13 的棱与 A B 相邻,不妨设 B C ? 13 , 据构成三角形条件,可知 A C ? ? 7 ,1 8, 2 7 ? , ? A C ? 36, ? B D ? 7 ,
?

? A D , C D ? ? ?1 8, 2 7 ? ,于是 ? A B D 中,两边之和小于第三边,矛盾。

因此只有 C D ? 13 .另一方面,使 A B ? 41, C D ? 13 的四面体 A B C D 可作出,例如取
B C ? 7, A C ? 36, B D ? 18, A D ? 27 .故选 B

5.若对所有实数 x ,均有 sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2 x ,则 k ? C 、4 A 、6 B 、5 D 、3
k k k


?
2

) ,

解:记 f ? x ? ? sin x ? sin kx ? co s x ? co s kx ? co s 2 x ,则由条件, f ? x ? 恒为 0 ,取 x ?
k k k

? ? k ? ? ? ? 1 ? ,则 k 为奇数,设 k ? 2 n ? 1 ,上式成为 sin ? n ? ? ? ? ? 1 ,因此 n 为偶数, 2 2 ? ? 令 n ? 2 m ,则 k ? 4 m ? 1 ,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.答: D .

得 sin

k?

6.若 ? ABC 的两个较小内角 A,B 满足 A、A+B>90°

sin A co s B
2

4

?

co s A sin B
2

4

? 1 ,则有

( C ) D、以上情况均有可能 ( C )

B、A+B<90°

C、A+B=90°

7.已知 a ,b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 ,c ? a ? 3 ,c ? b ? 4 。则对于任意实数 t1 , t 2 ,
| c ? t1 a ? t 2 b | 的最小值是

(A) 5

(B) 7

(C) 12
1

(D) 13

【解】 :由条件可得
c ? t1 a ? t 2 b
2

? c

2

? 6 t 1 ? 8 t 2 ? t 1 ? t 2 ? 169 ? ( t 1 ? 3 ) ? ( t 2 ? 4 ) ? 25
2 2 2 2

2

2

? 144 ? ( t 1 ? 3 ) ? ( t 2 ? 4 ) ? 144

当 t 1 ? 3 , t 2 ? 4 时, c ? t 1 a ? t 2 b

2

? 144 。

?选 【 C 】

8.在 Oxy 平面上,三角形顶点的坐标为( x i , y i )( i ? 1, 2 , 3 ) ,其中 x i ? y i 是整数且满足
1 ? x i ? n ,1 ? y i ? n ( n 为整数) ,这样的三角形有 516 个,则 n 值为





A.3 B.4 C.5 D.6 B 解:首选容易计算,当 n≥5 时,三角形的个数均超过 516,故只需考虑 n<5 的情况. 此时所有 的三点组有 C n 个. 其中不合题意的三点组为:水平方向或垂直方向共线的三点组共 2 nC
2

3

3 n

个 , 斜 率 为 ± 1 方 向 上 共 线 的 三 点 组 共 有 2 ( C n ? 2 C n ?1 ? 2 C n ? 2 ? ? ? 2 C 3 ) 个 . 故
3 3 3 3

C n 2 ? 2 nC
3

3 n

? 2 ( C n ? 2 C n ?1 ? 2 C n ? 2 ? ? ? 2 C 3 ) ? 516 .
3 3 3 3
2

但 C 33 ? C 43 ? ? ? C n3?1 ? C n4 0 , 故 C n3 ? 2 nC n3 ? 2 C n3 ? 4 C n4 ? 516 . 直接试得 n=4. 选 B. 9.在△ABC 中,A 为动点, B ( ? a , 0 ), C ( a , 0 )( a
2 2 ? 0)

为定点且动点 A 的轨迹方程是 16 x
a
2

2

?

16 y 3a
2

2

? 1 的右

支( y ? 1 ) ,且△ABC 的三个角∠A,∠B,∠C 满足 A. sin C ? sin B ? C. sin
C ? sin B ? 1 2


1 2 sin A



1 2

sin A

B. sin

C ? sin B ? ?

sin A

D. sin C ? sin B ? sin A
x a
2

A 解:将轨迹方程写成

?
2

y (

2

? 1 ,由双曲线定义可知 )
2

( ) 4

3a 4

| BC | 4 2 2 由正弦定理, | AB |? 2 R sin C , | AC |? 2 R sin B , | BC |? 2 R sin A ,将其代入上式并化简得 sin C ? sin B ? 1 2 sin A , 选 A.

| AB | ? | AC |? 2 ?

a

?

a

?

1

10.三个半径为 1 的球互相外切, 且每个球同时与另外两个半径为 r 的球外切, 如果这两个半径为 r 的球也互相外切,则 r 等于 ( D ) 1 1 1 A、1 B、 C、 D、 2 3 6 二、填空题(共 49 分) 11. 设 函 数 f ( x ) ? x ? x ? m ( m ? R ), 若 f ( t ) ? 0, 则 你 对 函 数 y ? f ( x ) 在 (t,t+1) 中零点 存在情况的判断是 .
2 ?

2

???? ? ????? ? ????? | A B |? 3, | B C | ? 4, | C A | ? 5, 则 12.已知平面内三点 A、B、C 满足 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? A B? B C ? B?C C A ? C A的值为 ? AB .

13.边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离为

.

14.过函数 f ( x ) ? x ? cos x ?

3 sin x 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围是

.

15.一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x 球的半径最大是 . 答案:
1 2

2

?? 2 ?

x ? 2 ? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的

.过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,

? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? 2 2 ? x ?1 ? 2 r ? x ? ? 0 . 由? 2 y ? x ? ?

由题意,方程 x ? 1 ? 2 r ? 0 没有非零实数解.∴ x ? 2 r ? 1 ? 0 ? r ?
2
2

1 2

.

16.计算: 答案:

1

sin 4 5 ? sin 4 6 ? 1

?

1 sin 4 6 ? sin 4 7 ?

? ... ?

1 sin 8 9 ? sin 9 0 ?

? _____ .

s in 1 ?

.

1 sin n ? sin ? n ? 1 ? ? ? 1 sin 1 ? ?

?

1

sin 1 ? sin n ? sin ? n ? 1 ? ? sin n ? sin ? n ? 1 ? ? ? 1 sin 1 ? ? ? co t n ? ? co t ? n ? 1 ? ? ? . ? ?
? 1 sin 1 ?

?

sin ? ? n ? 1 ? ? ? n ? ?

sin ? n ? 1 ? ? co s n ? ? co s ? n ? 1 ? ? sin n ?

原式 ?

k ? 45

?

89

1 sin 1 ?

? co t k ? ? co t( k

? 1) ? ? ?

1 sin 1 ?

? co t 4 5 ? ? co t 9 0 ? ?

.

17.10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜色的帽子都 要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 答案:1530.推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 a n , 则 a 3 ? 6 , a 4 ? 18 , a n ? 1 ? 2 a n ? 6 ? n ? 3 ? . 从而, a n ? 1 ? 6 ? 2 ? a n ? 6 ? ? a n ? ? a 3 ? 6 ? ? 2
n?3

? 6 .∴ a 10 ? 12 ? 2 ? 6 ? 1530 .
7

3

三、解答题(共 51 分) 18.若 n 是大于 2 的正整数,求
1 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 37 . 解:当 n ? 3 时, ? ? ? 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ? k ? 3 ? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? 则当 n ? k ? 1 时, k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ?1 k ? 2 2k 37 37 ? . 因此,所求最小值为 . 60 60 ? 1 ? ... ? 1

的最小值.

19.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为 线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP =λ PB . (1)求椭圆方程; (2)若 OA +λ OB =4 OP ,求 m 的取值范围.

2 ,直 2

y2 x2 a2 b2 2 c 2 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 -c= = , = , a b c c 2 a 2 2 x2 ∴a=1,b=c= , 4 分故 C 的方程为:y2+ =1 2 1 2 (2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP )(1+λ) OP = OA +λ OB , , ∴λ+1=4 λ=3 …………………… 6 分 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ?y=kx+m ? ? 2 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 2 ? ?2x +y =1 Δ=(2km)2-4(k2+2) 2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) (m -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 …………………… 8 分 k +2 k +2
?x1+x2=-2x2 ? ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ? ?x1x2=-3x2 -2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 2-2m2 1 1 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 … 10 分 4 4 4m -1 2 2-2m 1 1 由(*)式得 k2>2m2-2,因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) …………………… 12 分 2 2 4

20.对数列 ?a n ? ,规定 ?? a n ? 为数列 ?a n ? 的一阶差分数列,其中 ? a n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) 。对正
*

整数 k,规定 { ? a n } 为 ?a n ? 的 k 阶差分数列,其中 ? a n ? ?
k k
2

k ?1
n

a n ?1 ? ?

k ?1

a n ? ? (?

k ?1

an ) 。

(1) 若数列 ?a n ? 首项 a 1 ? 1 ,且满足 ? a n ? ? a n ? 1 ? a n ? ? 2 ,求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 对(1)中的数列 ?a n ? ,是否存在等差数列 ?b n ? ,使得 b1 C n ? b 2 C n ? ? ? ? ? b n C n ? a n 对
1 2 n

一切正整数 n ? N 都成立?若存在,求数列 ?b n ? 的通项公式;若不存在,请说明理由;
*

(3) 令 c n ? ( 2 n ? 1) b n ,设 T n ? 的值。

c1 a1
2

?

c2 a2

? ????

cn an

,若 T n ? M 恒成立,求最小的正整数 M

解(1) ? a n ? ? a n ? 1 ? a n ? ? 2 而 ? a n ? ? a n ?1 ? ? a n 可得 ? a n ? a n ? 2
2 n

n

? a n ?1 ? 2 a n ? 2 ,
n

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

1 2

,…… 2 分? {
n ?1

an 2
n

} 是首项为

1 2

,公差为

1 2

的等差数列,

?

an 2
n

?

1 2
1

? ( n ? 1) ?
2

1 2

,? a n ? n ? 2
n

(n ?

N
1

*

) …………………… 4 分
2 n n ?1

(2) b1 C n ? b 2 C n ? ? ? ? ? b n C n ? a n 即: b1 C n ? b 2 C n ? ? ? ? ? b n C n ? n ? 2
1 所以 C n

而又 kC

k n

? n ? C n ?1

k ?1

? 2 C n ? ? ? ? ? nC
1 n ?1

2

n n

? nC

0 n ?1

? nC
n ?1 1 n

1 n ?1

? ? ? ? ? nC

n ?1 n ?1

…………………… 6 分
n

= n (C

0 n ?1

?C

? ??? ? C

n ?1 n ?1

) ? n?2

故可得 b n ? n
2

? 存在等差数列 { b n } , b n ? n 使 b1 C ? b 2 C n ? ? ? ? ? b n C n ? a n 对一切正整数 n ? N 都成立。8 分
*

(3)由(2)知
1 2 Tn ? 1 2 1 2 ? 3 2
2

Tn ? 5 2
3

1 1

?

3

?

5
2

? ??? ? ?

2n ? 1 2
n

……… ① …………………… 10 分
? 3? 2 1
n?2

?

? ??? ? 1 ?

2 2 2n ? 3 2 1 2
n ?1

2n ? 1 2
n

……… ②
? 2n ? 1 2
n

①-②得: T n ? 1 ? 1 ?
? Tn ? 6 ? Tn ? 1 1 ? 3 2 1 2 ?
n?3

?

2 2n ? 1 2
n ?1

2

? ? ??? ? 2

1
n?2

?

2n ? 1 2
n

? 6

…………………… 12 分 ,? {T n } 递增 ,且 T 6 ? 6 ?
1 2
3

5 2
2

? ??? ?

2n ? 1 2
n ?1

?

11 2
5

? 5。

? 满足条件的最小的正整数 M 的值为 6.

…………………… 14 分
2

四、附加题(共 50 分) 21.设 a , b , c 为三角形的三边长,记 A ?
B ? 1 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ?
a ? bc b?c 1 ? b ? ca
2

c?a

?

c ? ab
2

a?b


1

( b ? c ? a )( c ? a ? b )

?

( c ? a ? b )( a ? b ? c )

证明: A B ? 9 .

5

21.若实数 x1、 x 2、 x 3、 x 4、 x 5 满足方程组:
? x1 ? x ? 2 ? ? x3 ?x ? 4 ? x5 ? x 2 ? x1 x 3? x1 ? x 2 x 3? x1 ? x 3 x 2? x1 ? x 4 x 2? x1 ? x 5 x 2? x1 x? 4 x 2 x? 4 x 3 x? 4 x 4 x? 3 x 5 x? 3 x1 x 5 1? ? x 2 x 5 1? ? x 3 x 5 1?,求 x 1 的所有可能值。 ? x 4 x 5 1? ? x 5 x 4 1? ?

6


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