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14.浙江省数学竞赛模拟题(七)答案

时间:2012-06-01


浙江省数学竞赛模拟题(七)
班级__________ 一、选择题(共 50 分) 姓名__________

3? , 2? ), 若 a tan? ? btan? ? 1 ,则成立的是 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. b ? a ? 1 D. b ? a ? 1 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 1 ?( )

? 1 ,知 ? ? 1,? a ? b ? 1 . 答:B.解析: ? tan ? ? 0, 由 ( ) a b a b
1. a , b 是不等于 1 的正数, ? ? ( 2.对于任意的 x∈R,不等式 2x2-a x2+1+3>0 恒成立.则实数 a 的取值范围是 A.a≤3 B.a<3 C.a≤2 2 D.a<2 2 3.设 a ? b ? 1 , ? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆
2 2





( B )

a x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则 的取值范围是 b 6 2


? 1 1? A 、 ?? , ? B 、 ? ?1,1? D 、 ? ?2, 2? ( C 、 ? ??, ?1? ? ?1, ??? ? 2 2? 2 ? ax 2 2 2 2 解:将 y ? 代入椭圆方程并整理得, 3a ? b x ? 12ax ? 12 ? 6b ? 0 , b

?

?

因直线和椭圆有公共点,则判别式 ?12a ? ? 4 3a ? b
2 2

?

2

??12 ? 6b ? ? 0 ,利用
2

a a ? 1 .即 ? ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? . b b 4.四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则 CD ? ( ) A 、7 B 、 13 D 、 27 C 、 18 解:四面体中,除 CD 外,其余的棱皆与 AB 相邻接,若长 13 的棱与 AB 相邻,不妨设 BC ? 13 , 据构成三角形条件,可知 AC ??7,18, 27? , ? AC ? 36, ? BD ? 7 ,

a 2 ? b2 ? 1 ,化简得 a 2 ? b 2 ,所以

? ? AD, CD? ? ?18,27? ,于是 ?ABD 中,两边之和小于第三边,矛盾。 因此只有 CD ? 13 .另一方面,使 AB ? 41, CD ? 13 的四面体 ABCD 可作出,例如取 BC ? 7, AC ? 36, BD ? 18, AD ? 27 .故选 B k k k 5.若对所有实数 x ,均有 sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2 x ,则 k ? (
A 、6
k



B 、5
k

C 、4
k

D 、3

解:记 f ? x? ? sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2x ,则由条件, f ? x ? 恒为 0 ,取 x ? 得 sin

?
2



k? ?? k ? ? ? ?1? ,则 k 为奇数,设 k ? 2n ? 1 ,上式成为 sin ? n? ? ? ? ?1 ,因此 n 为偶数, 2 2? ? 令 n ? 2 m ,则 k ? 4m ? 1 ,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.答: D . sin 4 A cos 4 A ? ? 1 ,则有 6.若 ?ABC 的两个较小内角 A,B 满足 ( C ) cos 2 B sin 2 B
A、A+B>90° B、A+B<90° C、A+B=90° D、以上情况均有可能 ( C ) (C) 12
1

7.已知 a ,b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13,c ? a ? 3 ,c ? b ? 4 。则对于任意实数 t1, t2 ,

| c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是
(A) 5 (B) 7 (D) 13

【解】 :由条件可得

c ? t1 a ? t 2 b ? c ? 6t1 ? 8t 2 ? t1 ? t 2 ? 169? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 25
? 144? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 144
当 t1 ? 3, t 2 ? 4 时, c ? t1 a ? t 2 b ? 144 。
2

2

2

2

2

?选 【 C 】
( )

8.在 Oxy 平面上,三角形顶点的坐标为( xi , yi )(i ? 1,2,3) ,其中 xi ? yi 是整数且满足 ,这样的三角形有 516 个,则 n 值为 1 ? xi ? n,1 ? yi ? n(n 为整数) A.3 B.4 C.5 D.6 B 解:首选容易计算,当 n≥5 时,三角形的个数均超过 516,故只需考虑 n<5 的情况. 此时所有
3 3 的三点组有 C n 2 个. 其中不合题意的三点组为:水平方向或垂直方向共线的三点组共 2 nCn
3 3 3 3 个 , 斜 率 为 ± 1 方 向 上 共 线 的 三 点 组 共 有 2(Cn ? 2Cn ?1 ? 2Cn?2 ? ? ? 2C3 ) 个 . 故

3 3 3 3 3 3 Cn . 2 ? 2nCn ? 2(Cn ? 2Cn?1 ? 2Cn?2 ? ? ? 2C3 ) ? 516
3 3 3 4 3 3 3 4 但 C3 ? C4 ? ?? Cn . 直接试得 n=4. 选 B. ?1 ? Cn 0, 故Cn2 ? 2nCn ? 2Cn ? 4Cn ? 516

9.在△ABC 中,A 为动点, B(? a ,0), C ( a ,0)( a ? 0) 为定点且动点 A 的轨迹方程是 16x ? 16y ? 1 的右 2 2 支( y ? 1 ) ,且△ABC 的三个角∠A,∠B,∠C 满足 1 A. sin C ? sin B ? sin A B. sin C ? sin B ? ? 1 sin A 2 2 1 C. sin C ? sin B ? sin A D. sin C ? sin B ? sin A
2

2

2

2

2

a

3a





A 解:将轨迹方程写成

x2 y2 ? ? 1,由双曲线定义可知 a 2 3 a 2 ( ) ( ) 4 4 a a 1 | AB | ? | AC |? 2 ? ? ? | BC | 4 2 2 由正弦定理, | AB |? 2R sin C, | AC |? 2R sin B, | BC |? 2R sin A ,将其代入上式并化简得 1 sin C ? sin B ? sin A, 选 A. 2

10.三个半径为 1 的球互相外切, 且每个球同时与另外两个半径为 r 的球外切, 如果这两个半径为 r 的球也互相外切,则 r 等于 ( D ) 1 1 1 A、1 B、 C、 D、 2 3 6 二、填空题(共 49 分) 11. 设函数f ( x) ? x ? x ? m(m ? R ), 若f (t ) ? 0, 则你对函数y ? f ( x)在(t,t+1)中零点 存在情况的判断是 .
2 ?

2

???? ? ????? ? ????? 12.已知平面内三点 A、B、C 满足 | AB |? 3,| BC | ? 4,| CA | ? 5, 则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? B?C C ? A ?C A AB 的值为 .
13.边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离为 .

14.过函数 f ( x) ? x ? cos x ? 3sin x 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围是

.

15.一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x 球的半径最大是 . 答案:

2

?? 2 ? x ? 2?绕 y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的

1

2 2 ? x ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 由? 2 y?x ? ?

.过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,

2 由题意,方程 x ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解.∴ x ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?
2

1 . 2

1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 1 答案: . sin1? 1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ?
16.计算:

?

1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? 1 ? ? ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? ?. sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? ?
k ? 45

原式 ?

? sin1? ? cot k ? ? cot(k ? 1)?? ? sin1? ? cot 45? ? cot 90?? ? sin1? .

89

1

1

1

17.10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜色的帽子都 要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 答案:1530.推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an , 则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6? ? 2 n?3 ? 6 .∴ a10 ? 12? 2 ? 6 ? 1530.
7

3

三、解答题(共 51 分)

1 1 1 ? ? ... ? 的最小值. n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 37 . 解:当 n ? 3 时, ? ? ? 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ?k ? 3? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? 则当 n ? k ? 1 时, k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 2 2k 37 37 ? . 因此,所求最小值为 . 60 60
18.若 n 是大于 2 的正整数,求 19.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为 线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP =λ PB . (1)求椭圆方程; (2)若 OA +λ OB =4 OP ,求 m 的取值范围. y2 x2 a2 b2 2 c 2 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 -c= = , = , a b c c 2 a 2 2 x2 ∴a=1,b=c= , 4 分故 C 的方程为:y2+ =1 2 1 2 (2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP ) , (1+λ) OP = OA +λ OB , ∴λ+1=4 λ=3 …………………… 6 分 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ? ?y=kx+m ? 2 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 2 ?2x +y =1 ? Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 …………………… 8 分 k +2 k +2
? ?x1+x2=-2x2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 ? -2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 2-2m2 1 1 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0,m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 … 10 分 4 4 4m -1 2 2-2m 1 1 由(*)式得 k2>2m2-2,因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) …………………… 12 分 2 2 4

2 ,直 2

20.对数列 ?an ? ,规定 ??an ?为数列 ?an ? 的一阶差分数列,其中 ?an ? an?1 ? an (n ? N * ) 。对正 (1) 若数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,且满足 ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n ,求数列 ?an ? 的通项公式;
*

整数 k,规定 {?k an } 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an ? ?(?k ?1an ) 。

1 2 n (2) 对(1)中的数列 ?an ? ,是否存在等差数列 ?bn ? ,使得 b1Cn ? b2Cn ? ? ? ? ? bn Cn ? an 对

一切正整数 n ? N 都成立?若存在,求数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,请说明理由;

(3) 令 cn ? (2n ? 1)bn ,设 Tn ? 的值。

c c1 c2 ? ? ? ? ? ? n ,若 Tn ? M 恒成立,求最小的正整数 M a1 a 2 an

解(1) ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n 而 ?2 an ? ?an?1 ? ?an 可得 ?an ? an ? 2 n

? an?1 ? 2an ? 2 n ,

a n ?1 a n 1 a 1 1 ? n ? ,…… 2 分? { n } 是首项为 ,公差为 的等差数列, n ?1 n 2 2 2 2 2 2 an 1 1 ? n ? ? (n ? 1) ? ,? an ? n ? 2 n?1 ( n ? N * ) …………………… 4 分 2 2 2 1 2 n 1 2 n k ?1 (2) b1Cn ? b2 Cn ? ? ? ? ? bn Cn ? an 即: b1Cn ? b2Cn ? ? ? ? ? bn Cn ? n ? 2 n?1 而又 kC k n ? n ? Cn?1
1 2 n 0 1 n?1 所以 Cn ? 2Cn ? ? ? ? ? nCn ? nCn ?1 ? nCn?1 ? ? ? ? ? nCn?1 …………………… 6 分

0 1 n?1 n?1 = n(Cn 故可得 bn ? n ?1 ? Cn?1 ? ? ? ? ? Cn?1 ) ? n ? 2 1 2 n ? b2Cn ? ? ? ? ? bn Cn ? an 对一切正整数 n ? N * 都成立。8 分 ? 存在等差数列 {bn } , bn ? n 使 b1Cn 1 3 5 2n ? 1 (3)由(2)知 Tn ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ……… ① 1 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? ……… ② …………………… 10 分 2 2 2 2 2 2n 1 1 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? 3 ? n?2 ? ①-②得: Tn ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2n 1 2n ? 1 ? Tn ? 6 ? n ?3 ? n ?1 ? 6 …………………… 12 分 2 2 1 3 5 2n ? 1 1 11 Tn ? ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ,?{Tn } 递增 ,且 T6 ? 6 ? 3 ? 5 ? 5 。 1 2 2 2 2 2 …………………… 14 分 ? 满足条件的最小的正整数 M 的值为 6.

四、附加题(共 50 分)

a 2 ? bc b 2 ? ca c 2 ? ab ? ? 21.设 a, b, c 为三角形的三边长,记 A ? , b?c c?a a ?b 1 1 1 B? ? ? (a ? b ? c)(b ? c ? a) (b ? c ? a)(c ? a ? b) (c ? a ? b)(a ? b ? c) 证明: AB ? 9 .

5

21.若实数 x1、x2、x3、x4、x5 满足方程组:

? x1 x2 ? ?x x ? 2 1 ? ? x ? 3 x1? ?x x ? ? 4 1 ? ? x5 x1?

x1 x3? x1 x? 4 x2 x3? x2 x? 4 x3 x2? x3 x? 4 x4 x2? x4 x? 3 x5 x2? x5 x? 3

x1 x ? ? 51 x2 x ? ? 51 x3 x ? ? ,求 x1 的所有可能值。 51 x4 x ? ? 51 x5 x ? ? 41

6


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