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江西省信丰中学高中数学必修四:平面向量的坐标运算


(一)平面向量的坐标运算
y

a

j
O

i

x

如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量 作为基底,任作一向量

,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得

i、 j<

br />
a

a ? xi ? y j
我们把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 其中x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 式叫做向量的坐标表示。

(1)

a

=(x,y)

(2)

a 在y轴上的坐标,(2)

y

c

2

A

a

如:

-1
-5

O

2 B C

b

x

a ? OA ? 2i ? 2 j ?(2,2) b ? OB ? 2i ? j ? (2, ?1) c ? OC ? 2i ? 5 j ? (2, ?5) i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0)

根据以上例子同学们讨论以下问题:
(1)向量的坐标与什么点的坐标有关?

(2)每一平面向量的坐标表示是否唯一?
(3)两个向量相等的充要条件是什么?

b

j 分别表示向量 例1:如图:用基底i、 c d ,并求它们的坐标。
y
6

a

5
4

A2
A

b
2

a
A1
4
5

2

j
-5

-4

c

-2 O i 2 -2
-2 -4

x

d

-5
-6

解:由图可知a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j,? a ? (2,3) 同理:b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) c ? ?2i ? 3 j ? (?2, ?3) d ? 2i ? 3 j ? (2, ?3)

? (二)平面向量的坐标运算

请同学们讨论回答: 1.问题: (1)已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 求 a ? b, a ? b的坐标. 解:a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j
即:

(2)已知a ? ( x, y )和实数? , 求? a的坐标.

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

同理:

? a ? ? ( xi ? y j) ? ? xi ? ? y j
即:

? a ? (? x, ? y)

结论:1.两个向量和与差的坐标分别等于这两个相应坐标的 和与差. 2.实数与向量积的坐标,等于用这个实数原来向量的相应坐标

2、已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 你觉得AB的坐标与A、B点的坐标有什么关系?
A(x1,y1)

y

AB ? OB ? OA ? ( x2, y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
O B(x2,y2)

x

结论:3、一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段终点的坐标 减去始点的坐标。

(三)、例题分析:

例2:已知a ? (2,1), b ? (?3, 4), 求a ? b, a ? b,3a ? 4b的坐标

解 : a ? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? (?1,5); a ? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? (5, ?3); 3a ? 4b ? 3(2,1) ? 4(?3, 4) ? (6,3) ? (?12,16) ? (?6,19)

例3:已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分 别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标。
y
4

C
D(x,y)
2 4 6

B A
-6 -4 -2

3

2

1

O
-1 -2

x

-3

-4

解 : 如图设顶点D的坐标为(x,y ). AB ? (?1 ? (?2),3 ? 1) ? (1, 2), DC ? (3 ? x, 4 ? y ),由AB ? DC得 : (1, 2) ? (3 ? x, 4 ? y )

?1 ? 3 ? x ? x ? 2 ?? ?? ?2 ? 4 ? y ? y ? 2

? 顶点D的坐标为(2,2).

探求:本题若用向量和与差的运算法则,分别怎样运算。

引申:已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成 平行四边形四个顶点。
y D2 C B D1 A O x

D3

(四)演练反馈:
(1)若 a 的起点坐标为(3,1),终点坐标为 (-1,-3),则 a 坐标为 ( )

A.(-1,-3)

B.(4,4) C(-4,-2)

D(-4,-4)

(2)若A(1,2)B(3,2),AB =

( x ? 3, x ? 3x ? 4), 求x
2

解 : AB ? (3, 2) ? (1, 2) ? (2, 0) ?x ? 3 ? 2 ?? 2 ?x ?1 ? x ? 3x ? 4 ? 0
课本114页练习:1、2

小结 : 1.平面向量的坐标定义 : ( 1) a ? xi ? y j ; (2)i , j 的含义; (3)( x, y )是a 的坐标. 2.平面向量坐标运算.

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (? x, ? y)

? 布置作业: ? P114:习题5.4 1、2、3


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