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对数函数及性质


对数函数
1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. y ? log 5 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,

且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: 对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
5

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
3.反函数的概念

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) . 果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作

x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .
4.反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ; ③将 x ? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. 5.反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P (b, a) 在反函数 y ? f
' ?1

( x) 的图象上.

④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 6.练习 一.求定义域
x ① y ? loga
2

4? x ? ② y ? log? a

1 ?3 x ③ y ? log1 7

④y?

x log 3

二.利用单调性比较大小
.4 ① log3 2 __ .4 log8 2

.4 ② log3 0.3 __

.1 log5 0.3

③ logm logn a a (0 ? a ? 1)

三. (1)给出下列四个数:① (ln 2)2 ;② ln(ln 2) ;③ ln 2 ;④ ln 2 .其中值最大的序号是 __ _ _

(2 函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,则定点 A 的坐标是__

(3)函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为函数

f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为__
(4) 函数 f ?x ? ? ? 个. (5)下列四个函数:① y ? x ? lg x ; ② y ? x ? lg x ;③ y ? ? x ? lg x ;

_

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数有______ 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

④ y ? ? x ? lg x .其中,函数图像只能是如图所示的序号为______.

x 1 (6)求函数 f ( x) ? log 2 2 x ? log 2 , x ? [ , 4] 的最大值和最小值 4 2

第6题

(7)求下列函数的定义域,值域及单调区间 ① y ? log?x ?4?
2

2

?? x ② y ? log
1 2

2

? 2 x ?3

?

③ y ? log

3x x ?1 2

(8)已知函数 f ( x) ? log a

x?b (a ? 0, a ? 1, b ? 0) . x?b

①求 f ( x ) 的定义域;②判断 f ( x ) 的奇偶性;③讨论 f ( x ) 的单调性,并证明. 解: (1)解:由 (2)

x?b ? 0 ,故的定义域为 (?? ? b) ? (b, ??) . x?b ?x ? b f (? x) ? log a ( ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ?x ? b

(3)证明:设 b ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

( x1 ? b)( x2 ? b) , ( x2 ? b)( x1 ? b)

( x1 ? b)( x2 ? b) 2b( x2 ? x1 ) ?1 ? ? 0. ( x2 ? b)( x1 ? b) ( x2 ? b)( x1 ? b)
当 a ? 1 时, 故 f ( x) 在 (b, ??) 上为减函数; 同理 f ( x) 在 (??, ?b) 上 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 也为减函数; 当 0 ? a ? 1 时,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f ( x) 在 (b, ??) , (??, ?b) 上为增函数.


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