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2016届四校联考数学


2016 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学(理)试题
命题:临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M ? y y ?

2 x , x ? 0 , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为 A. (0, ??) 2.复数 z ? A. 1 B. (1, ??) C.

?

?

? 2, ??)

D. ?1, ??)

i ?1 ,则 |z |? i
B. ?1+i C. 2 D. 1 ? i

3.中、美、俄等 21 国领导人合影留念,他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人,中国领导 人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领 导人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有
18 A. A18 种 2 3 10 C. A3 A18 A10 种

B.

20 种 A20

2 18 D. A2 A18 种

[

4.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的值为 A.4 C.10 B.8 D.12

5.等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2, a7 ? 5 ,则数列 ?lg an ?的前 10 项和等于 A. 2 B. lg 50 C. 5 D. 10

6.若非零向量 a, b 满足 a ? A.

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? 2 2 ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 3 ? 3? ? B. C. D. 2 4 4
3? ? ,则 f ( x) 1? ? ?
对称

?cos2 x ? sin 2 x ? a1 a2 ? ? 7.定义 2 ? 2 矩阵 ? ? =a1 a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? ? a a cos( ? 2 x) ? 3 4? ? ? 2
A. 图象关于 ?? ,0? 中心对称 C .在区间 [? B. 图象关于直线 x ?

?
2

?
6

, 0] 上单调递增

D. 周期为 ? 的奇函数

8. 设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k ,则函数

k ? g (t ) 的图像为

A 9.不等式组 ?

B

C

D

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 M,不等式组 ? 表示的点集记为 N, 2 ? 0? y?4 ? y?x
7 16 7 32 9 32

在 M 中任取一点 P,则 P∈N 的概率为 A.

9 16

B.

C.

D.

1 2

1

10.已知一个几何体的 三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A. 7 B. 7

正视图

侧视图

1 3

C. 7

2 3

D. 8
2 1 俯视图

x2 y2 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点分别为 a b

F1 , F2 , A, B 为其左、右顶点,以线段 F1 F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交
点为 M ,且 ?MAB ? 30 ,则双曲线的离心率为
?

A.

21 2

B.

21 3

C.

19 3

D.

19 2

2 12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x(a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则

A. ln a ? ?2b

B . ln a ? ?2b

C. ln a ? ?2b
2

D. ln a ? ?2b

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.已知随机变量 X 服从正态分布 X ~ N(2 , σ ), P(X<4) = 0.84, 则 P(X≤0)的值为 .
2 2 3 14.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小值为________.
2 6

b x

15. 已知在 ?ABC 中, B ? 2 A, ?ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 4:3 的两 部分,则 cos A ? .

16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为 4 的内接正四面体,过正四面体上某一个顶点所 在的三条棱的中点作球的截面,则该截面圆的面积是 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 )

17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ?中, a2 ? 5, a5 ? 11,数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ? n 2 ? an . (Ⅰ)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . b b n n ? 1 ? ?

18.(本小题满分 12 分) 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ,命中得 1 分,没有命

4

中得 0 分; 向乙靶射击两次, 每次命中的概率为 2 , 每命中一次得 2 分, 没有命中得 0 分. 该

3

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完 成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为 2,B1 在底面上的射影 D 在棱长 BC 上,且 A1B∥ 平面 ADC1。 (Ⅰ)求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求平面 ADC1 与平面 A1AB 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)

1 2 ,0)为抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点,点 N( x0 , y0 ) ( y0 >0)为 2 5 其上一点, 点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 直线 l 与抛物线交于异于 M, N 的 A, B 两点, 且|NF|= , 2
已知 F(

k NA ? k NB ? ?2 。
(Ⅰ) 求抛物线方程和 N 点坐标; (Ⅱ) 判断直线 l 中, 是否存在使得 ?MAB 面积最小的直线 l ' , 若存在, 求出直线 l ' 的 方程和 ?MAB 面积的最小值;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分 )

已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?

1? a (a ? R) . x

(Ⅰ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合,求实 数 a 的取值范围 选做题: 请考生从 第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,BE 为圆 O 的切线,点 C 为圆 O 上不 同于 A、B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与 圆 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (Ⅰ)求证:BD 平分∠CBE; (Ⅱ)求证: AH ? BH ? AE ? HC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2sin ?

(Ⅰ)以 坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2,0), B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? 4x, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (Ⅱ)若 x ? (?2,??) 时,恒有 f (2 x) ? 7 x ? a ? 3 ,求实数 a 的取值范围.
2

2016 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学(理)试题答案
1-5 BCDBC 13.0.16 14.2 15. 命题:临汾一中 忻州一中 长治二中 6-10 DCBDA 11-12 BA 康杰中学

2 3

16.

16? 3

17. 解: (1)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d,则 ?

?a 2 ? a1 ? d ? 5 ?a5 ? a1 ? 4d ? 11
????(3 分)

?a1 ? 3 ?? ?d ? 2

? an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

? 数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 2n ? 1
当 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 , 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 ,对 b1 =4 不 成立, 所以,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? ?

?

?

?4, (n ? 1) ?2n ? 1, (n ? 2)

????(6 分)

(2)n=1 时, T1 ?

1 1 , ? b1b2 20

n ? 2 时, 所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 6n ? 1 ? ( ? ? ? ??? ? )? ? ( ? )? ? ? 20 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 20 2 5 2n ? 3 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
????(10 分) ???? (12 分)

n=1 仍然适合上式, 综上, Tn ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

18. 解: (Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 A ; “该射手设计甲靶命中”为事件 B ;

“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C ; “该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D .---------2 分 由题意知, P(B) ? 3 , P(C ) ? P( D) ? 2 ,

4

3

由于 A ? BCD ? BCD ? BCD ,根据事件的独立性与互斥性得

P( A) ? P(BCD ? BCD ? BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? P(BCD)

? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 2 ? 7 ---------4 分 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36
(Ⅱ)根据题意, X 的所以可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 . 根据事件的独立性和互斥性得

P( X ? 0) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 36 P( X ? 1) ? P(BCD) ? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 12 P( X ? 2) ? P(BCD) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 , 4 3 3 9 P( X ? 3) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 4 3 3 3 P( X ? 4) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? 2 ? 1 4 3 3 9 P( X ? 5) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ---------9 分 4 3 3 3
故 X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

5

P

1 36
36 12

1 12
9

1 9 3 9

1 3

1 9 3 12

1 3

所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 .---------12 分

19. (1)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,则平面 A1BC∩平面 ADC1=OD。 (2 分) ∵A1B∥平面 ADC1,∴A1B∥OD,又为 O 为 A1C 的中点。 ∴D 为 BC 的中点,则 AD⊥BC。 又 B1D⊥平面 ABC,∴AD⊥B1D,BC∩B1D=D。 ∴AD⊥平面 BCC1B1。 又 AD ? 平面 ADC1,从而平面 ADC1⊥平面 BCC1B1。 (6 分) (2)以 D 为坐标原点,DC,DA,DB1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间

直角坐标系,则 D(0,0,0),B(-1,0,0),A(0, 3 ,0) ,B1(0,0, 3 ) ,C1(2,0, 3 ) (7 分)

易知 BA =(1, 3 ,0), BB1 (1,0, 3 ),设平面 A1AB 的一个法向量为 m =(x,y,z) 。

?

?

?

?? ? ? ?x ? 3 y ? 0 ? BA? m ? 0 则?? , 即 , 取 x=, 则 。 (9 分) 3 m =(- 3 ,1,1) ? ? x ? 3 z ? 0 ? ? ? BB1 ? m ? 0
易知 DA =(0, 3 ,0) , DC1 =(2,0, 3 ) ,同理可得平面 ADC1 的一个法向量为 n = (- 3 ,0,2) 。

?

?

?

?? ? ? m? n 5 35 ∴cos< m , n >= ? ? = = 。 7 5 ? 7 | m || n |
那么平面 ADC1 与平面 A1AB 所成角的正弦值为

14 。 (12 分) 7

20. (1)由题意

p 1 ? ,则 p ? 1 , 2 2
2

故抛物线方程为 y ? 2 x 。 由|NF|= x0 ? ∵ y0>0 ,

p 5 2 ? ,则 x0 ? 2, y0 ? 4 。 2 2

∴ y0 ? 2 , 所以 N(2,2) 。 (4 分)

(2)由题意知直线的斜率不为 0,则可设直线 l 的方程为 x ? ty ? b 。 联立方程组 ?

? y 2 ? 2x ? x ? ty ? b
2

,得 y 2 ? 2ty ? 2b ? 0 。
2

y y 设两个交点 A( 1 , y1 ) ,B( 2 , y2 ) ( y1 ≠±2, y2 ≠±2) ,则 2 2
?? ? 4t 2 ? 8b>0, ? ? y1 ? y2 ? 2t , ? y y ? ?2b. ? 1 2
由 k NA ? k NB ?

(6 分)

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 ,整理得 2 y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) 2 2
(8 分)

b ? 2t ? 3 。
此时, ? ? 4(t 2 ? 4t ? 6)>0 恒成立。

故直线 l 的方程可化为 x ? 3 ? t ( y ? 2) ,从而直线 l 过定点 E(3,-2) 。 (9 分) 因为 M(2,-2) , 所以 M,E 所在直线平行 x 轴, 所以△MAB 的面积 S ?

1 ME y1 ? y2 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 当 t=-2 时有最小值为 2
(12 分)

2 ,此时直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 。

解法二: (2)当 l 的斜率不存在时, l : x ? 2 (舍) 或 x ? 3 ,此时△MAB 的面积 s ? 当斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ---------------------------6 分

6

? y2 ? 2x 2 ? 2kb b2 2 2 2 x ? x ? , x x ? ? k x ? (2kb ? 2) x ? b ? 0 , 1 2 ? 1 2 k2 k2 ? y ? kx ? b
y1 ? y2 ? 2 2b , y1 y2 ? k k

k NA ? k NB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?2 x1 ? 2 x2 ? 2





6k 2 ? (5b ? 2)k ? b2 ? 4 ? 0 ? b ? ?3k ? 2
点 M 到直线的距离 d ?

b ? ?2k ? 2 舍-----------9 分

k 1? k 2

,AB ?

2 1 ? k 2 ? 1 ? 2kb 2 1 ? k 2 ? 1 ? 6k 2 ? 4k ? k2 k2

S?

1 6k 2 ? 4k ? 1 1 4 AB ? d ? ? ? ? 6 ? 2 ----------------------------------11 分 2 2 k k2 k
1 直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 2
--------------------12 分

综上,所以△MAB 的面积最小值为 2 ,此时 k ? ?

21. (1) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为(0,+∞) , x
???????

h?( x) ? 1 ?
?2 分

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1) ? x ? (1 ? a)? ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时,令 h?( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a, 令 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, ? a 故 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调 递增 ????????3 分

②当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(0,+∞)上单调递增。 ????????4 分 综上,当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递减区间为 (0,1 ? a) ,单调递增区间为 (1 ? a, ??) 。 当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间。 ????????5 分 (2)由题意可知,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合, 即在[1,e]存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 由(1)中 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则在[1,e]存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在[1,e]上的最小值 h( x)min ? 0 x

????????6 分

由 (1) 知, 当 a ? ?1 时,h( x) 在[1, e]上单调递增, ?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2 7分 当 a ? ?1 时

①当 a ? 1 ? e, 即 a ? e ? 1 时, h( x) 在[1,e]上单调递减,

? h( x)min ? h(e) ? e ?

1? a e2 ? 1 ? a ? 0,? a ? , e e ?1
???

?
?????9 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1,? a ? ; e ?1 e ?1

②当 0 ? a ? 1 ? 1, 即 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在[1,e]上单调递增,

?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2
解 ????????10 分

,



③ 当 1 ? a ? 1 ? e, 即 0 ? a ? e ? 1 时 , h( x) 在 ?1,1 ? a) 上 单 调 递 减 , 在

?a ?1, e?

上单调递增

? h( x)min ? h(a ? 1) ? a ? 2 ? a ln(a ? 1), 此 时

h( x)min ? 0 ,不合题意。
????????11 分 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 ????????12 分 e ?1

22. 证明: (I)由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB,又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,所以∠ DBE=∠DBC,即 BD 平分∠CBE. ????(5 分)

(2) 由(1)可知 BE=BH,所以 AH ? BH ? AH ? BE ,因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE, 所以△AHC∽△AEB, 所以

AH HC ? ,即 AH ? BE ? AE ? HC ,即 AH ? BH ? AE ? HC . AE BE

??(10 分)

(命题立意) 本题考查弦切角定义, 弦切角定理, 以及相似三角形的判定定理及性质定理. (讲评价值)1. 熟悉弦切角定理,并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理. (解题思路)1. 利用弦切角定理找出与其相等的角,并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例,证明有关问题. (易错点)1. 与弦切角相等的角找不对;

2. 相似三角形的对应边找不对. (试题变式)在本例条件下,试证明 AB ? DH ? CD ? BH

23. (1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,? 圆 C 的普通方程为 y ? ? 4 ? 2sin ? ?

( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
5分 (2)法一:求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,圆上的点到直线的最大距离 | AB ? | 2 2

为 10 分

9 2 ?2 2



ABM















9?2 2

法二:易求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0

| AB ? | 2 2

点 M(x, y)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| x ? y ? 2 | | 3 ? 2 cos ? ? (?4 ? 2sin ? ) ? 2 | ? 2 2 | 2 co ?s? 2
1 ? | AB | d ?| 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

?

2? s i? n

9|

? ABM 的面积 S ?

? ABM 的面积最大值为 9 ? 2 2 .
24. (1) f ( x) ? 2 x ? 1 ,即 x ? 2 ? ?2x ? 1 ,即 ? 得 x x ? ?1 .
2 2

? x ? 2 ? ?2 x ? 1 ?2 ? x ? ?2 x ? 1 或? ,解 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0
????(5 分)

?

?

(2) f (2 x) ? 7 x ? a ? 3 可化为 f (2x) ? 7 x ? a ? 3 ,令 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ,

a ? 3 x ? a ( x ? ) ? ? 2 因为 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ? 2 x ? a ? x ? ? ,由于 a >0, x ? (?2,??) , a ?a ? x( x ? ) ? 2 ?

所以当 x ?

a a a a 2 时, F ( x) 有最小值 F ( ) ? ,若使原命题成立,只需 ? a ? 3 ,解得 2 2 2 2
????(10 分)

a ? ?0,2? .

2016 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学(理)试题答案
1-5 BCDBC 13.0.16 14.2 15. 命题:临汾一中 忻州一中 长治二中 6-10 DCBDA 11-12 BA 康杰中学

2 3

16.

16? 3

17. 解: (1)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d,则 ?

?a 2 ? a1 ? d ? 5 ?a5 ? a1 ? 4d ? 11
????(3 分)

?a1 ? 3 ?? ?d ? 2

? an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

? 数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 2n ? 1
当 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 , 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 ,对 b1 =4 不 成立, 所以,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? ?

?

?

?4, (n ? 1) ?2n ? 1, (n ? 2)

????(6 分)

(2)n=1 时, T1 ?

1 1 , ? b1b2 20

n ? 2 时, 所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 6n ? 1 ? ( ? ? ? ??? ? )? ? ( ? )? ? ? 20 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 20 2 5 2n ? 3 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
????(10 分) ???? (12 分)

n=1 仍然适合上式, 综上, Tn ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

18. 解: (Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 A ;“该射手设计甲靶命中”为事件 B ;

“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C ;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D .---------2 分 由题意知, P(B) ? 3 , P(C ) ? P( D) ? 2 ,

4

3

由于 A ? BCD ? BCD ? BCD ,根据事件的独立性与互斥性得

P( A) ? P(BCD ? BCD ? BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? P(BCD)
? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 2 ? 7 ---------4 分 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36
(Ⅱ)根据题意, X 的所以可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 . 根据事件的独立性和互斥性得

P( X ? 0) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 36 P( X ? 1) ? P(BCD) ? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 12 P( X ? 2) ? P(BCD) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 , 4 3 3 9 P( X ? 3) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 4 3 3 3 P( X ? 4) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? 2 ? 1 4 3 3 9 P( X ? 5) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ---------9 分 4 3 3 3 故 X 的分布列为
X
P
0 1 2 3 4 5

1 36
36 12

1 12
9

1 9 3 9

1 3

1 9 3 12

1 3

所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 .---------12 分

19. (1)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,则平面 A1BC∩平面 ADC1=OD。 (2 分) ∵A1B∥平面 ADC1,∴A1B∥OD,又为 O 为 A1C 的中点。 ∴D 为 BC 的中点,则 AD⊥BC。 又 B1D⊥平面 ABC,∴AD⊥B1D,BC∩B1D=D。 ∴AD⊥平面 BCC1B1。 又 AD ? 平面 ADC1,从而平面 ADC1⊥平面 BCC1B1。 (6 分) (3)以 D 为坐标原点,DC,DA,DB1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间

直角坐标系,则 D(0,0,0),B(-1,0,0),A(0, 3 ,0) ,B1(0,0, 3 ) ,C1(2,0, 3 ) (7 分)

易知 BA =(1, 3 ,0), BB1 (1,0, 3 ),设平面 A1AB 的一个法向量为 m =(x,y,z) 。

?

?

?

?? ? ? ?x ? 3 y ? 0 ? BA? m ? 0 则?? , 即 , 取 x=, 则 。 (9 分) 3 m =(- 3 ,1,1) ? ? x ? 3 z ? 0 ? ? ? BB1 ? m ? 0
易知 DA =(0, 3 ,0) , DC1 =(2,0, 3 ) ,同理可得平面 ADC1 的一个法向量为 n = (- 3 ,0,2) 。

?

?

?

?? ? ? m? n 5 35 ∴cos< m , n >= ? ? = = 。 7 5 ? 7 | m || n |
那么平面 ADC1 与平面 A1AB 所成角的正弦值为

14 。 (12 分) 7

20. (1)由题意

p 1 ? ,则 p ? 1 , 2 2
2

故抛物线方程为 y ? 2 x 。 由|NF|= x0 ? ∵ y0>0 ,

p 5 2 ? ,则 x0 ? 2, y0 ? 4 。 2 2

∴ y0 ? 2 , 所以 N(2,2) 。 (4 分)

(3)由题意知直线的斜率不为 0,则可设直线 l 的方程为 x ? ty ? b 。 联立方程组 ?

? y 2 ? 2x ? x ? ty ? b
2

,得 y 2 ? 2ty ? 2b ? 0 。
2

y y 设两个交点 A( 1 , y1 ) ,B( 2 , y2 ) ( y1 ≠±2, y2 ≠±2) ,则 2 2
?? ? 4t 2 ? 8b>0, ? ? y1 ? y2 ? 2t , ? y y ? ?2b. ? 1 2
由 k NA ? k NB ?

(6 分)

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 ,整理得 2 y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) 2 2
(8 分)

b ? 2t ? 3 。
此时, ? ? 4(t 2 ? 4t ? 6)>0 恒成立。

故直线 l 的方程可化为 x ? 3 ? t ( y ? 2) ,从而直线 l 过定点 E(3,-2) 。 (9 分) 因为 M(2,-2) , 所以 M,E 所在直线平行 x 轴, 所以△MAB 的面积 S ?

1 ME y1 ? y2 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 当 t=-2 时有最小值为 2
(12 分)

2 ,此时直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 。

解法二: (2)当 l 的斜率不存在时, l : x ? 2 (舍) 或 x ? 3 ,此时△MAB 的面积 s ? 当斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ---------------------------6 分

6

? y2 ? 2x 2 ? 2kb b2 2 2 2 x ? x ? , x x ? , ? k x ? (2kb ? 2) x ? b ? 0 ? 1 2 1 2 k2 k2 ? y ? kx ? b
y1 ? y2 ? 2 2b , y1 y2 ? k k

k NA ? k NB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?2 x1 ? 2 x2 ? 2

得 6k 2 ? (5b ? 2)k ? b2 ? 4 ? 0 ? b ? ?3k ? 2 或 b ? ?2k ? 2 舍-----------9 分 点 M 到直线的距离 d ?

k 1? k 2

,AB ?

2 1 ? k 2 ? 1 ? 2kb 2 1 ? k 2 ? 1 ? 6k 2 ? 4k ? k2 k2

S?

1 6k 2 ? 4k ? 1 1 4 AB ? d ? ? ? ? 6 ? 2 ----------------------------------11 分 2 2 k k2 k
1 直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 2
--------------------12 分

综上,所以△MAB 的面积最小值为 2 ,此时 k ? ?

21. (1) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为(0,+∞) , x
???????

h?( x) ? 1 ?
?2 分

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1) ? x ? (1 ? a)? ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时,令 h?( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a, 令 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, ? a 故 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调 递增 ????????3 分

②当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(0,+∞)上单调递增。 ????????4 分 综上,当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递减区间为 (0,1 ? a) ,单调递增区间为 (1 ? a, ??) 。 当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间。 ????????5 分 (2)由题意可知,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合, 即在[1,e]存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 由(1)中 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则在[1,e]存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在[1,e]上的最小值 h( x)min ? 0 x

????????6 分

由 (1 ) 知, 当 a ? ?1 时,h( x) 在[1, e]上单调递增, ?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2 7分 当 a ? ?1 时

①当 a ? 1 ? e, 即 a ? e ? 1 时, h( x) 在[1,e]上单调递减,

? h( x)min ? h(e) ? e ?

1? a e2 ? 1 ? a ? 0,? a ? , e e ?1
????

?
????9 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1,? a ? ; e ?1 e ?1

②当 0 ? a ? 1 ? 1, 即 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在[1,e]上单调递增,

?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2
解 ????????10 分

,



③ 当 1 ? a ? 1 ? e, 即 0 ? a ? e ? 1 时 , h( x) 在 ?1,1 ? a) 上 单 调 递 减 , 在

?a ?1, e?

上单调递增

? h( x)min ? h(a ? 1) ? a ? 2 ? a ln(a ? 1), 此 时

h( x)min ? 0 ,不合题意。
????????11 分 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 ????????12 分 e ?1

22. 证明: (I)由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB,又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,所以∠ DBE=∠DBC,即 BD 平分∠CBE. ????(5 分)

(2) 由(1)可知 BE=BH,所以 AH ? BH ? AH ? BE ,因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE, 所以△AHC∽△AEB, 所以

AH HC ? ,即 AH ? BE ? AE ? HC ,即 AH ? BH ? AE ? HC . AE BE

??(10 分)

(命题立意) 本题考查弦切角定义, 弦切角定理, 以及相似三角形的判定定理及性质定理. (讲评价值)1. 熟悉弦切角定理,并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理. (解题思路)1. 利用弦切角定理找出与其相等的角,并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例,证明有关问题. (易错点)1. 与弦切角相等的角找不对;

2. 相似三角形的对应边找不对. (试题变式)在本例条件下,试证明 AB ? DH ? CD ? BH

23. (1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,? 圆 C 的普通方程为 y ? ? 4 ? 2sin ? ?

( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
5分 (2)法一:求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,圆上的点到直线的最大距离 | AB ? | 2 2

为 10 分

9 2 ?2 2



ABM















9?2 2

法二:易求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0

| AB ? | 2 2

点 M(x, y)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| x ? y ? 2 | | 3 ? 2 cos ? ? (?4 ? 2sin ? ) ? 2 | ? 2 2 | 2 co ?s? 2
1 ? | AB | d ?| 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

?

2? s i? n

9|

? ABM 的面积 S ?

? ABM 的面积最大值为 9 ? 2 2 .
24. (1) f ( x) ? 2 x ? 1 ,即 x ? 2 ? ?2x ? 1 ,即 ? 得 x x ? ?1 .

? x ? 2 ? ?2 x ? 1 ?2 ? x ? ?2 x ? 1 或? ,解 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0
????(5 分)

?

?

2 2 (2) f (2 x) ? 7 x ? a ? 3 可化为 f (2x) ? 7 x ? a ? 3 ,令 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ,

a ? 3 x ? a ( x ? ) ? ? 2 因为 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ? 2 x ? a ? x ? ? ,由于 a >0, x ? (?2,??) , a ?a ? x( x ? ) ? 2 ?

所以当 x ?

a a a a 2 时, F ( x) 有最小值 F ( ) ? ,若使原命题成立,只需 ? a ? 3 ,解得 2 2 2 2
????(10 分)

a ? ?0,2? .


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