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2015北京顺义高三一模数学(文)(word版+答案+免费免点数)

时间:2015-04-18


顺义 2015 高三一模 数学试卷(文科)
一、 选择题.(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ??2, ?1,1, 2? ,则 A ? B ? A. ??2, ?1? A. y ? ? x2 ? 2 B. ??1, 2? B. y

?
2

?

?

C. ?1, 2? C. y ? 2? x

D. ??2, ?1,1, 2? D. y ? ln x

2.下列函数中,既是奇函数又在区间 ? 0, ??? 上单调递减的是
1 x

3.在复平面内,复数 ?1 ? 2i ? 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4.当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值等于 A.2 B.4 C.7 5.若 4 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是 A. ?0,1? B. ? ?1,0? D.第四象限 D.11 开始
输入n

C. ? ?1, ???

D. ? ??, ?1? 6.函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图像关于 y 轴对称的

i ? 1, S ? 1
i ? n?



充分必要条件是 ? 是 A. ? ? 2 S ? S ? ?i ?1? B. ? ? ? ? C. ? ? k? ? , k ? Z i ? i ?1 2 ? D. ? ? 2k? ? , k ? Z 2 7.已知无穷数列 ?an ? 是等差数列,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则 A.当首项 a1 ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最大值 B.当首项 a1 ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最小值 C.当首项 a1 ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递增数列且 Sn 有最大值 D.当首项 a1 ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最大值

输出 S 结束

高三数学(文科)试卷

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8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280

设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,且 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? .该经 营部要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加 A.3 元 B.4 元 C.5 元 D.6 元

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? ,其渐近线方程为 4 m 2 ? x ? 0, ? 10.不等式组 ? 2 x ? y ? 0, 所表示平面区域的面积为 . ?x ? y ? 3 ? 0 ?

9.双曲线

.

11.设向量 a ? 最大值为

12.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ,则 f ? x ? 在闭区间 ? ?1,5? 上的最小值为 .
2

?

3,1 , b ? ? 2, ?2 ? ,若 ? a ? b ? ? a ? b ,则实数 ? ?

?

?

? ?

?

. ,

13. 已知直线 l : y ? 3x , 点 P ? x, y ? 是圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 上的动点 , 则点 P 到直线 l 的距离的最小值为 . ?? ? 14. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? , x ? R . 又 f ? x1 ? ? ?2, f ? x2 ? ? 0 且 6? ? . x1 ? x2 的最小值等于 ? ,则 ? 的值为

高三数学(文科)试卷

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)

15.(本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? an ? 3, n ? N * . (I)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (II)已知 ?bn ? 是等比数列,且 b1 ? a2 , b4 ? a6 ? S8 .求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b ? 3 2,sin B ? cos A ?
B 为钝角.. (I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值.

6 , 3

高三数学(文科)试卷

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17.(本小题满分 14 分) 如图(1),在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , BC ? 3, AC ? 6, D, E 分别是 AC, AB 上的点,且
DE / / BC, DE ? 2 .将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A?DE 的位置,使 A?C ? CD ,如图(2).

(I)求证: DE / / 平面 A?BC ; (II)求证: A?C ? BE ; (III)线段 A?D 上是否存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A? DE .若存在,求出 DF 的长; 若不存在,请说明理由.

A

A'

D C (1)

E B C

D (2)

E B

18.(本小题满分 13 分) 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 50 名市 民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表: 月收入(单位:百元) 频数 频率 赞成人数

?15,25? ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75?
5 0.1 4

c

10
b

5 0.1 3

5 0.1 1

a
8

0.2 5

12

(I)若所抽调的 50 名市民中,收入在 ?35,45? 的有 15 名,求 a, b, c 的值,并完成频率 分布直方图;
频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)

(II)若从收入(单位:百元 )在 ?55,65? 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查 ,求 选中的 2 人至少有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率.
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19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x2 ? 4 y 2 ? 16 . (I)求椭圆 C 的离心率; (II)设椭圆 C 与 y 轴下半轴的交点为 B ,如果直线 y ? kx ?1? k ? 0? 交椭圆 C 于不 同的两点 E , F ,且 B, E , F 构成以 EF 为底边, B 为顶点的等腰三角形,判断直 线 EF 与圆 x 2 ? y 2 ?
1 的位置关系. 2

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x . (I)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)设 g ? x ? ? a2 x2 ? f ? x ? ,且函数 g ? x ? 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? / / l ,且 l ? 在
y 轴上的截距为 1,求证:无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的

下方; (III)已知点 A?1, g ?1?? , Q ? x0 , g ? x0 ?? ,且当 x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实 数 a 的取值范围.

高三数学(文科)试卷

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顺义区 2015 届高三第一次统一练习

数学试卷答案(文科)
一、CBBD DCAD 二、 1 9. 1, y ? ? x 2 12. ?16, 20
3 2

10.

11. ? 2 14.
1 2

13. 3 ?1

三、 15.解:(I)因为 an?1 ? an ? 3, n ? N * , 所以 an?1 ? an ? 3, n ? N * , 所以数列 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项,公差 d ? 3 的等差数列, 所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1? ? n ?1? ? 3 ? 3n ? 2 , ............... ...........................................4 分 n ? a1 ? an ? n ?1 ? 3n ? 2 ? 3 2 1 Sn ? ? ? n ? n. 2 2 2 2 ............... ...........................................6 分 (II)由(I)可知 an ? 3n ? 2 , 所以 a2 ? 4, S8 ?

8 ? a1 ? an ? 8 ?1 ? 22 ? ? ? 92 , 2 2 所以 b4 ? a6 ? S8 ? 16 ? 92 ? 108 ................ ...........................................9 分

设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,
b4 108 ? ? 27 , b1 4 所以 q ? 3 ,

则 q3 ?

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ?

4 ?1 ? 3n ? 1? 3
6 , 3

............... ...........................................11 分

? 2 ? 3n ? 2 .

............... ...........................................12 分 16.解:(I)在 ?ABC 中,因为 cos A ?

6 2 3 . ...........................................3 分 ) ? 3 3 3 3 2? a b b sin A 3 ? 3. ? ? 由正弦定理, 得a ? sin A sin B sin B 6 3 ............... ...........................................6 分
所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? (

高三数学(文科)试卷

第 6 页(共 11 页)

(II)因为 B 为钝角,

6 2 3 . ...........................................8 分 ) ?? 3 3 3 6 由(I)可知, sin A ? , 又 sin B ? cos A ? 3 3 所以 cos C ? cos ? ...........................................10 分 ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?
所以,cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? 1 ? (
? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3

2 2 . 3

............... ...........................................13 分 17.(I)证明:因为 D, E 分别为 AC, AB 上的点,且 DE / / BC , 又因为 DE ? 平面A?BC , 所以 DE / / 平面 A?BC . ............... ...........................................3 分 (II)证明:因为 ?C ? 90 , DE / / BC , 所以 DE ? CD, DE ? AD , 由题意可知, DE ? A?D , ............... ...........................................4 分 又 A?D ? CD ? D , 所以 DE ? 平面A?CD , ............... ...........................................5 分 所以 BC ? 平面A?CD , ............... ...........................................6 分 所以 BC ? A?C , ............... ...........................................7 分 ? 又 A C ? CD ,且 CD ? BC ? C , 所以 A?C ? 平面BCDE , ............... ...........................................8 分 又 BE ? 平面BCDE , 所以 A?C ? BE . ............... ...........................................9 分 (III)解:线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . 理由如下: A' 因为 A?C ? CD , 所以,在 Rt ?A?CD 中,过点 C 作 CF ? A?D 于 F , 由(II)可知, DE ? 平面A?CD ,又 CF ? 平面A?CD F 所以 DE ? CF , E 又 A?D ? DE ? D , D 所以 CF ? 平面A?DE ,... ...........................................12 分 C B 因为 CF ? 平面CEF , 所以平面 CFE ? 平面A?DE , 故线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . ................................13 分 如图(1) ,因为 DE P BC , 2 AD DE AD ? 所以, ,即 ? , 3 6 BC AC
高三数学(文科)试卷 第 7 页(共 11 页)

所以, AD ? 4, CD ? 2 . ' 所以,如图(2) ,在 Rt ?ACD 中, ' A D ? 4, CD ? 2 所以, ?A' DC ? 600 , 在 Rt ?CFD 中, DF ? 1 ............... ...........................................14 分

18.解:(I)由频率分布表得 0.1 ? a ? b ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1 ? 1 , 即 a ? b ? 0.5 . 因为所抽调的 50 名市民中,收入(单位:百元)在 ?35, 45? 的有 15 名, 15 ? 0.3 , 所以 b ? 50 所以 a ? 0.2, c ? 0.2 ? 50 ? 10 , 所以 a ? 0.2, b ? 0.3, c ? 10 , 且频率分布直方图如下:

频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)
............... ...........................................4 分 (II)设收入 (单位 : 百元 )在 ?55,65? 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 ,不赞成的 分别是 B1, B2 , 事件 M :选中的 2 人中至少有 1 人不赞成“楼市限购令”, 则从收入(单位:百元)在 ?55,65? 的被调查者中,任选 2 名的基本事件共有 10 个:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,
............... ...........................................10 分

事件 M 包含的结果是 ?A ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , 1, B 1? ,? A 1 , B2

? B1, B2 ? 共 7 个,
高三数学(文科)试卷

............... ...........................................11 分
第 8 页(共 11 页)

7 , 10 7 故所求概率为 . 10

所以 P ? M ? ?

............... ...........................................12 分 ............... ...........................................13 分

19.解:(I)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 4

所以 a2 ? 16, b2 ? 4, 从而c2 ? a2 ? b2 ? 12 , 因此 a ? 4, c ? 2 3 , 故椭圆 C 的离心率 e ?
c 3 . ? a 2

............... ...........................................4 分

? y ? kx ? 1, (II)由 ? 2 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 , 2 ? x ? 4 y ? 16
由题意可知 ? ? 0 . ............... ...........................................5 分 设点 E , F 的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? , EF 的中点 M 的坐标为 ? xM , yM ? , 则 x ?x y ? y2 4k 1 xM ? 1 2 ? ? ? , yM ? 1 ................ .....................................7 分 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 因为 ?BEF 是以 EF 为底边, B 为顶点的等腰三角形, 所以 BM ? EF , 1 因此 BM 的斜率 k BM ? ? . ............... ...........................................8 分 k 又点 B 的坐标为 ? 0, ?2? ,

1 ?2 yM ? 2 1 ? 4k 2 3 ? 8k 2 所以 k BM ? ,............... ....................................10 分 ? ?? 4k xM ? 0 4 k ? 1 ? 4k 2 3 ? 8k 2 1 ? ? ? k ? 0? , 即? 4k k 1 2 亦即 k 2 ? ,所以 k ? ? , ............... ...........................................12 分 8 4 故 EF 的方程为 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 . ............... ...........................................13 分
1 4 2 2 2 的圆心 O ? 0,0? 到直线 EF 的距离为 d ? , ? ? 2 3 2 18 所以直线 EF 与圆相离. ............... ...........................................14 分

又圆 x 2 ? y 2 ?

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第 9 页(共 11 页)

20.(I)解: f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x ,
f ? ? x ? ? 2a 2 x ? a ? 1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? ax ? 1?? 2ax ? 1? ? ? ? x ? 0? , x x x

............... ...........................................2 分 所以, a ? 0 时, f ? x ? 与 f ? ? x ? 的变化情况如下:

x
f ? ? x?
f ? x?

? 1 ? ? 0, ? ? 2a ?

1 2a

? 1 ? ? , ?? ? ? 2a ?

-

0

+





? 1 ? ? 1 ? 因此,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? , ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, ? . ? 2a ? ? 2a ?

............... ...........................................4 分 (II)证明: g ? x ? ? a2 x2 ? f ? x ? ? ln x ? ax ,
g?? x? ? 1 ?a, x

所以 g? ?1? ? 1 ? a , 所以 l 的斜率 kl ? 1 ? a . 因为 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1, 所以直线 l ? 的方程为 y ? ?1 ? a ? x ?1 ................ ...........................................6 分 令 h ? x? ? g ? x? ? ? ??1 ? a ? x ? 1? ? ? ln x ? x ? 1? x ? 0 ? ,

则 无 论 a 取 任 何 实 数 , 函 数 g ? x? 的 图 像 恒 在 直 线 l? 的 下 方 , 等 价 于 ............... ...........................................7 分 h ? x? ? 0 ? ? a ? R , ?x ? 0 ?, 1 1? x 而 h? ? x ? ? ? 1 ? . x x 当 x ? ? 0,1? 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 , 所以函数 h ? x ? 的 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 从而当 x ? 1 时, h ? x ? 取得极大值 h ?1? ? ?2 , 即在 ? 0, ??? 上, h ? x ? 取得最大值 h ?1? ? ?2 ,.....................................................8 分 所以 h ? x ? ? ?2 ? 0 ??a ? R, ?x ? 0? , 因此,无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的下方. ............... ...........................................9 分
高三数学(文科)试卷 第 10 页(共 11 页)

(III)因为 A?1, ?a ? , Q ? x0 ,ln x0 ? ax0 ? ,
ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a, x0 ? 1 x0 ? 1 ln x0 所以当 x0 ? 1 时, ?a ? 2, x0 ? 1

所以 kQA ?

即 ln x0 ? ? a ? 2?? x0 ?1? ? 0 恒成立. 则 r? ? x ? ?

............... ...........................................10 分

令 r ? x ? ? ln x ? ? a ? 2?? x ?1?? x ? 1? ,
1 ? ? a ? 2? , x 1 因为 x ? 1 ,所以 0 ? ? 1 . x (i)当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 ,此时 r? ? x ? ? 0 ,

所以 r ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,有 r ? x ? ? r ?1? ? 0 不满足题意; (ii)当 ?2 ? a ? ?1 时, 0 ? a ? 2 ? 1 , 1 ? ? ? 1 ? 所以当 x ? ?1, , ?? ? 时, r? ? x ? ? 0 , ? 时, r? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? ? a?2? ?a?2 ? 1 ? ? 所以至少存在 t ? ?1, ? ,使得 r ?t ? ? r ?1? ? 0 不满足题意; ? a?2? (iii)当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 1 ,此时 r? ? x ? ? 0 , 所以 r ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, r ? x ? ? r ?1? ? 0 ,满足题意. 综上可得 a ? ?1 , 故所求实数 a 的取值范围是 ? ?1, ??? . ............... ...........................................13 分

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