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安陆二中2015届高三文科数学综合测试(八)


安陆二中 2015 届高三文科数学综合测试(八)
组卷人:卓鹏
评卷人 得分

时间:2015 年 1 月 12 日

一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.设集合 A ? {1, 2,3} , B ? ?? 1,1?,则 A

B?

(

A) ?
2.设 x ? R ,则“ x ?

(B) ? 1?

(C ) ?? 1,1?

( D) ?? 1,1,2,3?

2 2 ”是“ 3x ? x ? 2 ? 0 ”的 3

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

(B)

必要不充分条件

( D) 既不充分也不必要条件

3.若复数 z 满足 iz =1 +2i,则在复平面内,z 的共轭复数 z 对应的点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.等比数列 ?an ? 满足 an an ?1 ? 9n ,则 ?an ? 的公比为

( A) 3

(B)

?3

(C ) 9

( D) ? 9

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.已知变量 x,y,满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z=2x-y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
A.2 B.3 C.4 D.6

6.阅读右边的程序框图,输出的值为

A. ?

1 2

B.

1 2 3 2

C.-1

D. ?

7.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是

( A) 若 ? / / ? , ? ? ? a, ?

? ? b, 则 a // b

( B ) 若 a // b, b ? ? ,则 a // ?

(C ) 若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? ,则 a ? ?
a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?

( D) 若

8.样本中共有五个个体,其值分别为 0,1,2,3,m.若该样本的平均值为 l,则其样本方 差为 A. C. 2

10 5

B. D.2

30 5

9.若函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1 )的图象如图所示,则下列函数图象可能正确的是

10.已知函数 f ( x) ? ?

? x, x ? [?1,0) 1 ,若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数 ? 1, x ? [0,1) ? ? f ( x ? 1) ? ?

根,则 k 的取值范围是

( A) ? ?1, ? ? 2
?

? ?

1?

? ? ( B) ?? , 0 ? 2 1 ? ?

(C ) ? ?1, ?? ?

? ? ( D) ? ? , ?? ? 1 ? 2 ?

评卷人

得分

二、填空题(本题共 7 道小题,每小题 5 分,共 35 分)
11.函数 f ( x ) ?

1 的定义域为 1 ? ln( x ? 1)
2 , b ? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是

12.已知向量 a、b ,其中 a ? _________;

13.在高为 100 米的山顶 P 处,测得山下一塔顶 A 和塔底 B 的俯角分别 为 30 和 60 ,则塔 AB 的高为_____米;
0 0

14.已知 tan ? =

1 1 ,tan( ? ? ? )= ? ,则 tan ? = 2 3




15.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个 多面体外接球的表面积为

16.已知 M 是抛物线 x =4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C:(x+1) +(y-5) =1 上,则 |MA|+|MF|的最小值是 .

2

2

2

17.有一个底面半径为 1,高为 3 的圆柱,点 O1,O2 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P 到点 O1,O2 的距离都大于 1 的概率为 评卷人 得分 .

三、解答题(本题共 5 道小题,第 1 题 12 分,第 2 题 12 分,第 3 题 13 分,第 4 题 0 分,第 5 题 0 分,共 37 分)

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2a cos A=b cos C+c cos B. (Ⅰ) 求 A 的大小;(Ⅱ) 求 cos B- 3 sin C 的取值范围. 19.(本小题共 13 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? (

1 n ?1 ) ? 2( n ? N * ) ,数列{ bn }满足 bn = 2n an . 2

(1)求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (2)设 cn ? log 2 值. 20.(本小题共 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD= 2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求三棱锥 A-PBC 的体积.

25 n 2 ( n ? N * ) 的 n 的最大 ,数列{ }的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn ? 21 an cn cn ? 2

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C (?1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆相 E 交于 A, B 两点,请问 x 轴上是否存在 点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 22.(本小题共 14 分) 设 f ( x) ?

6 3

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整 数M ; (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

试卷答案
1. 由交集的概念可知选 ( B ) . 2. 由 3x ? x ? 2 ? 0 得 x ?
2

2 2 2 或 x ? ?1 ,故由“ x ? ”能推出“ 3x ? x ? 2 ? 0 ”,但反 3 3

之则不能, 故选 ( A) . 3.A

4. 令 ?an ? 的公比为 q ,?

an an ?1 ? q 2 ? 9 ,则 q ? ?3 ,? anan ?1 ? 9n ? 0 ,? q ? 3 ,故选 an ?1an

( A) .

5.A

6.D

7.

8.D

9. 由 y ? a x 的图象可知 a ? 2 ,对于 ( A) , x ? 0 ,故错误;对于 ( B ) ,因为

1 1 ? ? 1 ,故 a 2

图象是递减的,故错误;对于 ( D ) ,图象应在 x 轴上方,故错误;故选 (C ) . 10. 要使方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则函数 y ? f ( x) 和 y ? k ( x ? 1) 的图象有两个

? x, x ? [?1,0) ? ? x, x ? ?? 1,0? ? ? 1 ? ?? ? 1 交点,而 f ( x) ? ? ,画出图象,由于 ? 1, x ? [0,1) ? 1, x ? ?0,1? ? ? ?1 ? x ? f ( x ? 1)

y ? k ( x ? 1) 过定点 (1,0) ,要使两函数 y ? f ( x) 和 y ? k ( x ? 1) 的图象有两个交点,则由
图象可知 ? 11.(1,1+e)

1 ? k ? 0 ,故选 ( B ) . 2

12. 由题意知 (a ? b) ? a ? a ? a ? b ? 2 ? a ? b ? 0,? a ? b ? 2. 设 a 与 b 的夹角为 ? , 则 cos ? ? 13. 如图所示,设塔高为 h ,由题知 ?APQ ? 60? , ?PBQ ? 30? ,则 ?APB ? 30 ,
?
2

a ?b | a |?| b |

?

2 ? ,? ? . 2 4

在 ?PBQ 中, PB ?

100 200 ? ,则在 ?APB 中,由正弦定理得 ? cos30 3

h PB 200 ? ,解得 h ? (米). ? ? sin 30 sin 120 3
P A
100米

B

Q

1 14. 7
15. 12?

16.5

5 17. 9
18. (Ⅰ) 由余弦定理得 2a cos A=b ? 所以

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 +c ? =a, 2ab 2ac

cos A=

1 . 2

又 A∈(0,π ),故 A=

π . 3 2π -B,故 3
2π -B) 3
3 1 sin B- cos B 2 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=

cos B- 3 sin C=cos B- 3 sin (

=- =-sin (B+

π ). 6 2π ,所以 3

因为 0<B<

π π 5π <B+ < , 6 6 6
所以 -1≤-sin(B+

π 1 )<- . 6 2 1 ). 2

所以 cosB- 3 sinC 的取值范围是[-1,- 19.

(1)在 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ? a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2 ∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , ∴ 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 ,?????3 分 即 2 n a n ? 2 n ?1 a n ?1 ? 1 . ∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 1 .

1 2

1 .???1 分 2

1 2

1 2

1 2

又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. ??????5 分 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,

∴ an ?

n .??????7 分 2n

20. (1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF∥CD 且 BF=CD.
P

E

D

C

A

F

B

所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF∥BC. ?????2 分 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,所以 EF∥PB.??????3 分 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE? 平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC.?????6 分 (2)取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= 3 .?????7 分 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD.?????8 分 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2, AB⊥AD,?????9 分

所以 S△ABC=

1 1 ×AB×AD= ×4×2=4.????10 分 2 2 1 1 4 3 ×S△ABC×PO= ×4× 3 = .????12 分 3 3 3

故三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC=VP-ABC= 21.

(Ⅰ)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴, 且 a ? 5, 又c ? ea ?

6 30 ? 5? , ??????2 分 3 3

故b ? a2 ? c2 ? 5 ?
故所求方程为

10 5 ? , ??????????3 分 3 3
??????4 分

x2 y2 ? ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 5 5 3

(Ⅱ)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x 2 ? 3 y 2 ? 5 得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0

??????6 分

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (m,0) 则 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?????8 分

1 6m ? 14 ?11 分 MA ? MB ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)(x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, ,解得 m ? ? 存在点 M ( ? 22. (1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

7 ????????.12 分 3

7 ,0) 满足题意……………14 分 3

2 2 ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x

所以, 曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 . ??????3 分 (2)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 等价于 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , ????4 分
2 3 2 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

2 3

0
g '( x )

2 (0, ) 3


2 3

2 ( , 2] 3
+

2

0

g ( x)

?3

递减

极小值 ?

85 27

递增

1

由上表可知 g ( x) min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 ,??????6 分 27
112 , 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?

所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; ???????8 分


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