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【考题调研】17-全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷(二)T21

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【考题调研】17-全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学 卷(二)T21
(2016-02-15 13:04:16)[编辑][删除]

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标签: 数学



分类: 学海泛舟

寒假作业的《全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷(二)》的最后一个 必做题,也就

是高考的导数大题,相当的有意思。区分度高,而且属于爬坡题, 第一问基础,第二问要求一点数学思想在里面。如果能把这个题型给吃透,对于 导数这个模块的专题复习是有所帮助的。

1)【全面透视】:这是一个在给定区间上面的函数值范围恒成立的问题,然后 要我们通过这个恒成立来确定参数 m 的范围。 处理这类问题, 可以选择参变分离, 然后给新函数求导解决问题,也可以直接给这个函数求导,不过要分类讨论,要 分 m<0,m=0,m>0 三种情况来讨论,判断是否成立,然后再在成立的范围里面把 m 范围解出来。由于答案的方法是参变分离,在这里不再赘述,笔者用了求导的方 法去解决这个问题。 【深度解析】f(x)=mx-1-lnx,在这里对 f(x)求导:f'(x)=m-1/x。然后我 们发现,当 m≤0 的时候,由于 f(x)在(0,+∞ )上单调递减了,不可能题干 条件中的 f(x)恒大于 0,因而, m 的范围只可能是在 (0, +∞ ) 里面, 那么令 f'(x)=0, 求出 f(x)的极小值点,然后由唯一性知道是最小值点,然后恒大于的情况,带 入最小值点,就可以解出 m∈[1,+∞ )。 【答案方法】

2)【全面透视】这还是一个证明恒成立的问题,有的同学会看上去没有思路, 但是如果我们能够严格根据题目的条件和所学知识, 这个题目的解决还是有思路 的,关键里面还是几个数学思想:①下问利用上问的条件,可以是上一问的一般 条件,也可以是上一问的特殊情况。②构造函数,③数列求和,有这几种数学方 法,综合法证明题目中这个式子就可以了。 【深度解析】通过我们第一问的结论,那不妨先令 m=1,那么就可以得到 一个函数 f(x)=x-1-lnx,然后由上一问的条件,知道它在(0,+∞ )上面是恒大 于 O 的,到了这里,通过移项可以知道,lnx≤x-1。然后到了这里,有的同学会 给他直接两边分别求和,但是这是不正确的,根本没有思考的痕迹在里面,而且 两边算出来的结果来说,并不能得到我们想要的式子。因而,对这里做一点处理 是必要的。 不妨令 x=1/n+1,n∈N+,然后,就有 ln(1/n+1)≤1/n,注意在这里,通过这个 奇妙的转换, 就将左右两边转化成了漂亮的两项!在这里为什么要考虑把 X 令成 分数的形式呢, 因为这样可以在后面的计算中利用对数的性质对式子进行进一步 的改造,这就考验我们做题的前瞻性了。然后对这个式子进行整理以后,会有一

个 nln(n+1)-nlnn<1,接下来的下一步操作是用数列里面的累加法,从 n=1 一直 到 n=n,把它加起来,然后再整理化简就可以算出题目中所要求的式子了。 【满分答案】

【解题技巧分析】:对于导数的大题,一般第一问的 5 分是基础分,只要我们牢 牢掌握基本初等函数的求导法则,结合导数的性质和题意就能够作对,因而这 5 分势在必得。 然后第二问来说, 相对比较难, 在前面题目确定准确无误的情况下, 要综合第一问的结论,利用构造,放缩等数学手段去求解范围。这类题目要证明 的结论一般看上去有点复杂,要求的范围也是这样,但是如果单刀直指,击中这 个题目的突破口,要拿 12 分也是有希望的。

参考《全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷(二)》【16·MNJ-XB】, 2016