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2015年高考数学选择题答题技巧

时间:2016-12-15


2015 年高考数学选 择 题 技 巧 方 法

一、技巧方法
[答题口诀] 一、基本函数图象 [1] 小题不能大做 [3] 能定性分析就不要定量计算 [5] 能间接解就不要直接解 [7] 分析计算一半后直接选选项 [2] 不要不管选项 [4] 能特值法就不要常规计算 [6] 能排除的先排除缩小选择范围 [8] 三个相似选相似

[1.特值法]

一、基本函数图象
通过取特值的方式提高解题速度,题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况,因而我们根据 题意选取适当的特值帮助我们排除错误答案,选取正确选项。 例 1【2012 辽宁 L6】在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 +a8 =16 ,则该数列前 11 项和 S11 = A.58 B.88 C.143 D.176 ( )

[方法思想]

11(a1 ? a11 ) 11(a4 ? a8 ) 11?16 ? ? ? 88 【常规解法】 S11 ? 2 2 2
【秒杀技巧】 采用特值法取 a4 ? a8 =8 则 ?an ? 为公差为 0 每一项都等于 8 的常数列则 S11 =11? 8=88 例 2【2009 辽宁 L6】设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 若 ( ( (9 A. 2 B.

S S6 =3 则 9 = S6 S3





7 3


C.

8 3

D.3

【常规解法】由等比数列性质可知 S n

S2 n ? Sn



S3n ? S2 n 为等比数列,设 S3 ? k ,则由

S6 ?3 S3

可得 S6 ? 3k 然后根据等比数列性质进行求解。 【秒杀技巧】采用特值法令 S3 ? 1 则 S 6 ? 3 根据 S n 所以 ,

S2 n ? Sn



S3n ? S2 n 为等比数列得 S9 ? 7

S9 7 ? S6 3
( )

例 3【2012 辽宁 L7】已知 sin ? -cos ? = 2, ? ? ?0, ? ? ,则 tan ? ?

1

A. ?1

B. ?

2 2

C.

2 2

D. 1

【常规解法】对等式 sin ? ? cos ? ?

1 2 左右平方得 1 ? 2 sin ? cos ? ? 2 ,则 2sin ?cos ? ? ?

又因为 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,所以 得到

2 tan ? ? ?1 然后解方程得 tan ? ? ?1 tan 2 ? ?1

2sin ? cos ? 2 ? ?1分式中分子分母同时除 cos ? 2 2 sin ? ? cos ?

【秒杀技巧】因为 sin ? ? cos ? ? 又因为 sin ? ? cos ? ? 取 sin ? ?

2 ?1 则 sin ? ? 0, cos ? ? 0 则 tan ? ? 0 选项 C、D 错误,
2 则 sin ? , cos ? 的值必然和 2 有关,由此分析猜测可

[方法思想]

2 2 sin ? ,此时满足题中已知条件,所以 tan ? ? , cos ? ? ? ? ?1 2 2 cos ?

当选项差距较大,且没有合适的解题思路时我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答 案的大概范围或者近似值,然后选取与估算值最接近的选项。 [注意]:带根号比较大小或者寻找近似值时要平方去比较这样可以减少误差。

例 1【2011 辽宁 L12】已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 ,?ASC ? ?BSC ? 30 ? , 则棱锥 S—ABC 的体积为 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1
0





【常规解法】根据题意画出图像如右图所示因为 SC 为直径则 ?SAC ? ?SBC ? 90 又因为 ?ASC ? ?BSC ? 30 ? 则 AC ? BC ? 2 , SA ? SB ? 2 3
2 2 2 设 D 为 AB 中点,则 SD ? AB ,由 SD ? SA ? AD 得

C O
S
O1

B D A E

SD ?

3 5 1 3 15 ,所以 S SAB ? AB ? SD ? ;连接球心 O 与底面三角形 SAB 的外接圆 2 2 4

圆心得 OO1 ? 底面 SAB ,则此四面体隐藏的高 H 与 OO1 平行,又 O 为 SC 的中点则 根据三角形中位线定理得 H ? 2OO1 ,接下来还要在直角 ?OO1S 中计算 OO1 ,计算十 分麻烦此处省略。 【秒杀技巧】观察此题选项大小差距较大,我们可以直接采用估算法,算出棱锥 S—ABC 体积的近似

2

值然后直接选取与近似值最接近的选项。计算完底面积 S SAB ?

1 3 15 AB ? SD ? 后我 2 4

们将隐藏的高 H 近似的认为是 AC 则 VS ? ABC ?

1 1 3 15 15 ,此时 SSAB ? AC ? ? ?2 ? 3 3 4 2

我们将近似值平方后与选项做比较发现与 C 接近,所以直接选 C。此题切忌小题大做。 例 2【2011 辽宁 W10】已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° , 则棱锥 S-ABC 的体积为 A. ( B. )

3 3

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

【常规解法】此题与例题 1 解法相似,在此不做介绍正确答案为 C 【秒杀技巧】秒杀技巧与例题 1 解法相似,请同学们自己尝试去估算,正确答案为 C

C O

B D

S
x 例 3【2009 辽宁 L7】曲线 y ? 在点 (1, ?1) 处的切线方程为 x?2
A. y ? x ? 2 B. y ? ?3x ? 2 C. y ? 2 x ? 3

O1

E

A

D. y ? ?2 x ? 1

【常规解法】要求切线方程先求切线斜率 k ,则要对函数求导 f ( x) ' ? 所以直线方程为 y ? ?2 x ? 1 ,选项 D 正确. 【 秒 杀 技 巧 】 在 点 (1, ?1) 附 近 取 特 值 点 (1.1,

?2 ,则 k ? f '(1) ? ?2 ( x ? 2) 2

1.1 ) ,用两点坐标求出近似斜率 ?0.9

1.1 ?1 k ? ?0.9 ? ?2.22 ??? 所以选项 D 正确. 1.1 ? 1
[3.逆代法] [思想方法] 一、基本函数图象 充分发挥选项的作用,观察选项特点,制定解题的特殊方案,可以大大的简化解题步骤,节省时 间,做选择题我们切记不要不管选项.

?21? x , x ? 1 例1 【2011 年辽宁 9L】 设函数 f ( x) ? ? , 则满足 f ( x ) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [?1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ]





D.[0,+ ? ]

3

【 常规 解法 】 分 段函 数不 知 x 的 取值 范围 无法 选定 函数 解析 式, 需要 分类 讨论 ,当 x ? 1 时

f ( x) ? 21? x 则 f ( x) ? 21? x ? 2 , 两 边 取 对 数 得 log2 21? x ? log 2 2 即 1 ? x ? 1 所 以 x ? 0 , 即
0 ? x ? 1 .当 x ? 1 时 f ( x) ? 1 ? log 2 x ,则 f ( x) ? 1 ? log 2 x ? 2 ,即 log 2 x ? ?1,解对数不等式
两边取指数 2
log 2 x

? 2?1 则 x ?

1 ,即 x ? 1 .综述所述 x 的取值范围是[0,+ ? ]选 D. 2

【秒杀技巧】观察选项 A、B 与 C、D 的显著区别在于 C、D 可以取到正无群,我们假设 x 特别大此 时 f ( x) ? 1 ? log 2 x ,代入可知满足题意,所以 A、B 错误;C、D 中 C 选项不能取到 0 将 x ? 0 代入题中解析式验证 x ? 0 可以取到,所以 C 选项错误,正确答案为 D. 例 2【2013 辽宁 L2】已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ? ( )

1? A. ? 0,

2? B. ? 0,

C. ?1, 2 ?
0 log 4 x

2? D. ?1,

【常规解法】解对数不等式 0 ? log 4 x ? 1 ,两边取指数 4 ? 4

? 41 根据对数性质:a log a ? x 得

x

2? .所以正确答案选 D 项。 1 ? x ? 4 画数轴与 x ? 2 取交集的范围是 ?1,
【秒杀技巧】观察选项 A、C 取不到 2,B、D 可以取 2,令 x ? 2 代入集合 A、B 中满足则排除 A、C 比较 B、D,B 项可以取 1 D 取不到,令 x ? 1 代入入集合 A、B 中不满足,则排除 B 项; 则选项 D 正确. [4.特殊情况分析法] [思想方法] 一、基本函数图象 当题中没有限定情况时,我们考虑问题可以从最特殊的情况开始分析,特殊情况往往可以帮助我 们排除部分选项,然后分析从特殊情况到一般情况的[过度](变大、变小)等选出正确答案。 例 1【2010 辽宁 L8】平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于 A. |a |2 | b |2 ?(a? b)2 C. B. |a |2 | b |2 ?(a? b)2 D.

1 |a |2 | b |2 ?(a? b)2 2 ? ? ? ? a ?b a ?b 【常规解法】由向量性质得 cos ? ? ? ? ,sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ? ? )2 ,所以△OAB 的面积 | a |?| b | | a |?| b|
S
2 OAB

1 |a |2 | b |2 ?(a? b)2 2

? ? 2 ? ? 2 1 ? ? 2 ?1 1 a ?b 2 2 2 2 ? ? ( sin ? | a | ? | b |) ? [1 ? ( ? ? ) ] ? (| a | ? | b |) ? ? |a | | b | ?(a? b) ? 2 4 | a |?| b | ?2 ?

所以 SOAB ?

1 |a |2 | b |2 ?(a? b) 2 2
4

【秒杀技巧】采用特殊情况假设法,假设 a 、 b 垂直,此时 SOAB ? A、B 错误,当 a 、 b 不垂直时如图所示不论是 a 、 b

?

?

?

?

?

?

? ? 1 ? ? | a | ? | b | ,而 a ? b ? 0 所以选项 2 A
A'

? 夹角是锐角还是钝角,三角形的高 h 和 h ' 都小于 b 的

h'

? b

? a

h
? b

B ? ? ? ?2 ? O? 2 模,所以垂直时最大,而 a 、 b 垂直时 (a ? b) ? 0 ,别的情况下 (a ? b) ? 0 所以选项 D
错误,正确答案为 C. 例 2【2010 辽宁 L10】已知点 P 在曲线 y= 围是 A.[0,

4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范 e ?1
x

? ) 4

B. [

? ?

, ) 4 2

C. (

? 3?
2 4 ,

]

D. [

3? ,? ) 4

【常规解法】要求曲线的斜率则需要对原函数求导 f '( x) ?

?4e x ?4e x ,即 ,又因 k ? f ' ( x ) ? (e x ? 1) 2 (e x ?1 )2 ?4e x ? (e x ? 1) 2

为 tan ? ? k 所以要根据函数单调性先求出斜率 k 的取值范围, k ?

?

1 1 ?4 ,由均值不等式得 e x ? x ? 2 e x ? x ? 2 ,所以 k ? ?1 ,即 tan ? ? ?1 1 e e ex ? x ? 2 e

所以切线倾斜角的取值范围是 [

3? , ? ) 正确答案为 D. 4
x

【秒杀技巧】采用特殊情况假设法,当 x 趋向于 ?? 时 e 趋向于 ?? 此时函数 f ( x ) ?

4 的分母无 e ?1
x

限大,函数值无限的趋近于 0,而且单调递减,此时切下的倾斜角趋向于 ? ,所以正确答案为 D.

例 3【2010 辽宁 L5】设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 最小值是 A.

2 3

4? ? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3 3 4 3 B. C. D.3 3 2

4? 4? 4? k ? N * ,又因为 后与原来重合,则 为周期的整数倍,即 kT ? 3 3 3 2? 3 3 2? 4? 所以 ,即 ? ? k ,所以当 k ? 1 ? 取得最小值 ,正确答案为 C. T? ? 2 ? 2 ? 3k 4? 4? 【秒杀技巧】函数图像平移 后与原来重合,则 为周期的整数倍,最小为一个周期,最大是无 3 3 4? 群多个周期,正无群无法取到,所以极值定在一个周期时取得所以 T ? ,又因为 3 2? 3 ,所以 ? 的最小值为 ,正确答案为 C T? 2 ?
【常规解法】函数图像平移 5

[5.特殊推论] 例 1【2011 辽宁 L1】 a 为正实数, i 为虚数单位, 一、基本函数图象 B. 3

a?i ? 2 ,则 a ? i
C. 2 D.1

(

)

A.2

【秒杀方法】对于复数 z ?

a?i | a?i | a2 ? 1 , | z |? ? ? 2 ,所以 a ? 3 i |i| 1

例 2【2013 辽宁 L1】复数的 Z ?

1 模为 i ?1

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【秒杀方法】对于复数 z ?

|1| 1 1 2 1 ? ? ? , | z |? ,所以正确选项为 B. 2 2 | i ? 1| 2 i ?1 2 1 ? (?1)

例 3【2012 辽宁 L10】10. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC, CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

【特殊推论】两个变量 a 、 b 若 a ? b 为定值,则当它们的差的绝对值越小时它们的乘积越大。 【秒杀方法】设矩形长宽分别为 a 、 b 则 a ? b =12,当 a =4, b =8 时面积 S ? ab ? 4 ? 8 ? 32 矩形面 积要小于 32 则 a ? 4 , b ? 8 所以概率为 [6.算法简化] [方法思想] 一、基本函数图象 定性分析代替定量计算,根据题型结构简化计算过程,在一定程度上帮助我们加快了解题速度。

2 3

? x-y ? 10 ? 通过下面几个例题的讲解,我们不仅要掌握方法,更重要的是要去体会这种思想,做到活学活用。 例 1【2012 辽宁 L8】设变量 x,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
A.20 B.35 C.45 D.55
B(?15,15)

【常规解法】令 z ? 2 x ? 3 y ,则 y ? ?

2 1 x ? z ,直线的斜率 3 3

A(5,15)

6

? x-y ? 10 2 ? k ? ? ;将不等式组 ?0 ? x +y ? 20 变为等式画出如 3 ?0 ? y ? 15 ?
图所示的图像,因为 k ? ?

2 ? k1 ? ?1 所以在点 A(5,15) 处取得最值代入 z ? 2 x ? 3 y 3

z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 55.
【秒杀技巧】令 z ? 2 x ? 3 y ,则 y ? ?

2 1 1 x ? z ,由直线的几何意义知 z 为直线的截距,则在上 3 3 3

面端点处取得最值解出两端点坐标 A(5,15) , B(?15,15) 分别代入 z ? 2 x ? 3 y 可知在 A 点去的最大值 55. 例 2【2012 辽宁 L8】执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 10, 则输出的S ? (
开 始
输入 x

)

36 72 C. D. 55 55 1 1 1 1 1 ? ? ? 【常规解法】不断反复代入计算最后得 S ? ? 3 15 35 63 99 5 通分后得 S ? (通分计算麻烦). 11 1 1 1 1 1 ? ? ? 【秒杀技巧】不断反复代入计算最后得 S ? ? 3 15 35 63 99 1 2 7 1 ? ? ,所以正确答案选 A. 根据数的大小变化规律得 S ? ? 3 15 15 2

5 A. 11

10 B. 11

S=0,i=2
i?n

S?S? 1 i2 ?1
输 出 S



i ?i?2

结束

例 3【2012 辽宁 L9】已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a 3 .若?OAB为直角三角形, 则必有 A. b ? a 3 C. b ? a 3 ? b ? a 3 ? B. b ? a 3 ?

?

?

1 a

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

【常规解法】根据题中坐标关系可得,O 点不能是坐标原点,?当 OA 垂直于 AB 时:

??? ? ??? ? OA ? AB ? (0,b) ? (a, a3 ? b) ? b(a3 ? b) ? 0 即:
b(a3 ? b) ? 0 ,又因为 b ? 0 所以 a3 ? b) ? 0
?当 AB ? OB 时:

A(0, b)

B1 (a, a3 ) B2 (a, a3 )

??? ? ??? ? AB ? OB ? (a, a3 ? b) ? (a, a3 ) ? a2 ? a3 (a3 ? b) ? 0
3 3 即 a [ ? ( a ? b)] ? 0 ,所以

O

1 a

1 ? (a 3 ? b) ? 0 ;综上所述答案选 C. a

【秒杀技巧】观察选项 A、B、C、D,若 A、B、D 其中一个正确,则选项 C 也同时成立,而其中只有 一项是正确的,所以 A、B、D 必须错误,正确答案选 C. 7

二、逻辑体系
一、基本函数图象 [思想方法]
[ 在高考中我们苦苦思索,渴望灵感突现,我们将这定义为运气,但“运气” 是可以创造的, 它的诀窍就在于思考体系。我们应该在给自己建造一个解题的逻辑体系,也就是通杀技巧。

[1.解三角形体系]

一、基本函数图象

[通杀思想]

[1] 正弦定理边角互化 [3] 余弦定理中平方项中隐藏的均值不等式

[2] 余弦定理边角互化 [4] A+B+C=180
0

例 1【2011 辽宁 L4】△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a ,则

b ? a

A. 2 3

B. 2 2

C. 3

D. 2

例2 【2013 辽宁 L6】 在 ?ABC , 内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

且a ? b, 则?B ?
[2.向量模体系]

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

1 b, 2 5? D. 6

一、基本函数图象
[2] 易错点: a ? b

[通杀思想]

[1] 题中出现向量模相关的等式,我们首选的第一种方法就是两边取平方。

? ?

? ?

2

? ? ? 2 ?2 ? ? ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 而应该是 a ? b
??

? ?
? ?

2

? ? ?| a |2 ? | b |2 cos 2 ?

例 1【2012 辽宁 L3】已知两个非零向量 a,b 满足 a +b = a ? b ,则下面结论正确 A. a // b

? ?

? ?

B. a ? b

?

?

C. a = b

?

?

D. a +b= a-b

? ? ? ?

例 2【2009 辽宁 L3】平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ? A. 3 B. 2 3 C.4 D.12

例 3【2011 辽宁 L10】若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大 值为 A. 2 ? 1 B.1 C. 2 D.2

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