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重庆市一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 (Word版


秘密★启用前

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数 学 试 题 卷(理科)2015.7

数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮

擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定 的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

1. 设集合 A ? ?4,5,7,9?, B ? ?3,4,7,8,9?,全集 U ? A ? B ,则集合 CU ? A ? B ? 的子集共有
( ) A. 4 个 B. 7 个 C. 8 个 2 2. 已知 ξ~N(0, 6 ),且 P(-2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)等于( A.0.1 B.0.2 C.0.6 D. 16 个 ) D.0.8

3. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) 1 1 A. y ? ( ) x , x ? R B. y ? ,x ?1 x ?1 2 3 C. y ? x ? sin x, x ? R D. y ? ? x ? x , x ? R 4. 设某中学的女生体重 y(kg)与身高 x(cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=
^ 1,2,…,n),用最小二乘法建立的线性回归直线方程为y=0.85x-85.71,给出下列结论, 则错误的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系; B.回归直线至少经过样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)中的一个; C.若该中学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg;
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D.回归直线一定过样本点的中心点 x, y 。

? ?

? 1 x ?( ) , x ? 4 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为( 5. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 4
1 A. 4

)

?1? B. ? ? ?2?

1? log 2 5

C.

1 2

D.

1 20

) 6. 下列命题中的真命题的个数是( ① a ? b 成立的一个充分不必要的条件是 a ? b ? 1 ; ② 已知命题 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题; ③ 命题“ ? x∈R,x2-x>0”的否定是“ ? x∈R,x2-x≤0”; ④ 命题“若 x<-1,则 x2-2x-3>0”的否命题为:“若 x ? -1,则 x2-3x+2≤0”。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

7. (原创)2015 年 6 月 20 日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮
了 5 个粽子,其中两个腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事件 A ? “取到的两个为 同一种馅”,事件 B ? “取到的两个都是豆沙馅”,则 P ( B | A) ? ( A. ) D.

3 4

B.

1 4

C.

1 10

3 10

8.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ?? x ? ? f ?3 ? x ? ? 0 ,若 f (?1) = 1 ,则

f ?1? ? f ?2 ? ? f ?3? ? ? ? f ?2015? ? (
A. ? 1 B. 0

) C. 1 D. 2

9.(原创)某高中的 4 名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等 3 个地区去旅 游,要求每个地区都要有学生去,每个学生只去一个地区旅游,且学生甲不到香港,则不同 的出行安排有( )

A. 36 种 B. 28 种 C. 24 种 D. 22 种 10. (原创)进入高三,为加强营养,某同学每天早餐有四种互不相同套餐可供选择,每天 使用其中的一种套餐,且每天都是从头一天中未使用的三种套餐中等可能地随机选用一种。 在一周内,现已知他星期一使用A种套餐,那么星期六他也使用A种套餐的概率是( ) A.

58 243

B.

37 102

C.

7 27

D.

20 81

11. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) ,f(0)=3, f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,
则不等式 e f ? x ? ? e ? 2 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为(
x x

) D.{x|x<-1 或 0<x<1}

A.{x|x>0}

B.{x|x<0}

C.{x|x<-1 或 x>1}

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12. 已知 f ? x ? ? a ? 2 x ? x 2 ? bx ,若 ? x f ( x) ? 0 ? ? ?x f ( f ( x)) ? 0 ? ? ? ,则 a ? b 的取
值范围是( )

A.?0,1?

B.?? 1,4?

C.?0,4 ?

D.?? 1,3?

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知随机变量 X , Y 满足,X+Y=8,且 X~B(10,0.6),则 D? X ? ? E ?Y ? ? ______

3 ? ? 14. 在 ?1 ? 2 x ? 2016 ? 的展开式中, x 2 项的系数为 x ? ?

8

(结果用数值表示)

15. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a, b, c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元
素,并且该直线的斜率为正,则符合这些条件的直线的条数是

16. (原创)已知函数 f ( x ) ?

小值,则 a 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R ,在 x ? [0, ??) 上存在最大值和最 x2 ? 1

1 1 与 p ,且乙投球 2 次均未命中的概率为 。 2 16 (1).求乙投球的命中率 p ;
为 (2).求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3).若甲、乙两人各投球 2 次,求两人合计共命中 2 次的概率。

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4 ? 0 在 R 上无解,命题 q: x?a 实数 x 满足 1 ? ? 2。 2 (1).若 p ? (?q ) 是真命题,求实数 a 的取值范围;
(2).若“ ? p”是“ ? q”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函
数:
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f1 ? x ? ? x ? 1 ,
f 4 ( x) ? sin x ,

f 2 ( x) ? x 2 ,

f 3 ? x ? ? log 2

?

x2 ?1 ? x ,

?

f5 ( x) ? cos x ? x ,

f 6 ? x ? ? x ? sin x ? 2 .

(1).现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数 的概率; (2).现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡 片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望。

20.(本小题满分 12 分)设定义在 R 上的函数 f ( x) 对于任意 x, y 都有
且 f (1) ? ?2 , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 成立, (1).判断 f(x)在 R 上的单调性,并加以证明; (2).当 ? 2015 ≤ x ≤2015 时,不等式 f ( x) ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 1 ? ax ? ln x ,
(1).若函数在 x ? 2 处的切线斜率为 ?

1 ,求实数 a 的值; 2

(2).若存在 x ? ?0,?? ? 使 f ? x ? ? 0 成立,求实数 a 的范围; (3).证明对于任意 n ? N , n ? 2 有:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 1 ? ? ? ? ? ? ? 。 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答 时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图所示,AB 是半径为 1 的圆 O 的直径,过点 A,B 分别引弦 AD 和 BE, 相交于点 C,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为点 F. (1).求证: AE ? BC ? AC ? BD ; (2).求 BC· BE+AC· AD 的值。

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23. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的 极坐标方程为 ρ2=8ρsin θ-15,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 2 2 cos ? ? y ? 2 sin a

(α 为参数).

(1).将 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程; 3π (2).若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α= ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值。 4

24. (本小题满分 10 分)(原创)选修 4 - 5:不等式选讲 设关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? t x .
(1).当 t ? 2 时,不等式 2 x ? 1 ? t x ? a 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2).若原不等式的解中整数解恰有 2 个,求实数 t 的取值范围。 命题人: 黄 勇庆 审题人: 王 明

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