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高中数学-平面向量的正交分解和坐标表示及运算

时间:2017-09-25


高中数学-平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程: 一、复习引入: 1. 平面向量基本定理: 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的

任一向量 a , 有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 同学们,我们知道,向量的概念是从物理中抽象出来的,人们最初对向量的研究是从几何的的角度 来进行的,但是随着问题的不断深入,我们发现用图形来研究向量有一些不便之处,那么,有没有一种 更简洁的方式可以来表示向量呢? 我国著名数学家华罗庚先生说过:“数无形,少直观;形无数,难入微。”图形关系往往与某些数 量关系密切联系在一起,数与形是互相依赖的,所以我们想到了用数来表示向量. 思路一:用一个数能否表示向量?(请学生回答) (不能,因为向量既有大小,又有方向) 思路二:用两个数能否表示向量?(引导学生思考) 在平面直角坐标系内,一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系,那么,向量是否也能找到与 之对应的实数呢? 让我们先来探讨这样一个问题: 探究一:如图, i , j 为互相垂直的单位向量,请用 i ,

?

?

?

j 表示图中的向量 a, b , c , d .

1

请学生动手完成并回答: 根据向量加法的几何意义,我们只要 把 a 分解在 i ,

y
4

j 的方向上,就可得到:

b

3 2
1

a

a ? 3i ? 3j ,同理可得 b ? ?i ? 2j c ? 3i ? 3j
我们用 i ,

j
- - 5 4 - -- 3 2 1

d ? 4i ? 2 j

O
- 1 - 2 -

i1

2

3

4

5

x

j 来表示 a 的这种形式是

5 c 4

d

否唯一?根据是什么?(提问学生) 由此复习平面向量基本定理:如果

22 22 4 3

3-

那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1,?2 , e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 使 a =?1e1 ? ?2e2 ,其中的 e1 , e2 称为平面的一组基底. 强调:基底不唯一,只要不共线,就可作为基底,而一旦基底选定,任一向量在基底方向的分解 形式就是唯一的.

?

二、理解概念,加深认识. 根据平面向量基本定理,我们知道,在选定基底的情况下,所给 a, b , c , d . 四个向量在基底方向的分 解形式是唯一的,也就是说,这几个向量用基底 i 、 j 来表示的形式是唯一的,每个向量对应的这对实 数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量,我们怎样来定义向量的坐标?(引导学生思考,请学生尝试给出定义) 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一
王新敞
奎屯 新疆

个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) ????○ 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 叫做向量的坐标表示
王新敞
奎屯 新疆

2 式 ○

在定义中,要注意 a ? xi ? yj ? ( x, y)
2

定义实际上给出了求向量坐标的方法:写出向量在正交基底 i, j 方向的分解形式,就得到了向量的 坐标;反过来,知道了一个向量的坐标,就相当于知道了它在 i 、 j 方向的分解形式. 结合定义,指导学生求出向量 i 、 j 、 0 , OP 的坐标.(多媒体演示) 在坐标系中观察, 向量 i, j 及 OP 的坐标与其终点坐标有何关系?这几个向量在坐标系中的位置有 什么共同点?什么样的向量其坐标就是终点坐标?通过这样的问题引导让学生得到结论:起点在原点的 向量其坐标就是其终点的坐标. 类比点的坐标,提出:向量平移后具体位置发生了改变,其坐标是否会发生变化?结合向量坐标的 定义,将平移前后的向量分别分解在基底 i, j 的方向上,所得四边形是全等的,因此,这两个向量的坐 标相同.也可这样理解,通过动画演示,指出:平移前后的向量是相等向量,通过平移,可以使它们的起 点平移到坐标原点处,则其终点必然重合,此时,它们的坐标都对应着这个终点的坐标,由此得到:相 等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量. 三、自主探索,推导法则. 前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量,因此,引入向量后,这 些运算的结果也能用坐标表示,

探究二: (1)已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 求 a ? b, a ? b的坐标. (2)已知a ? ( x, y )和实数? , 求? a 的坐标.



学生以四人小组为单位,自己讨论推导,再将推导方法及所得结论在班上进行交流,最后,教师再来归 纳整理,由此得出平面向量的坐标运算法则: (1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差:
?

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) (其中 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) )

?

?

?

(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标: 若 a ? ( x, y ) ,则 ? a ? (?x, ?y ) ;
? ?

练习1 .已知a ? (2,1), b ? (?3, 4), 求a ? b, a ? b,3a ? 4b 的坐标.
探究三:通过前面的学习,我们知道,起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标,那么,对于起点 不在原点的向量,又该如何来确定其坐标?若已知其起点坐标和终点坐标,如何求出此向量的坐标?

3

先来看一个具体的例子:求出图中的向量 a 的坐标,并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有 何关系?

1

(引导学生从特殊到一般,归纳猜想) 学生不难发现: 其坐标等于向量的终点坐标 减去起点坐标. 再将 A,B 的坐标推广到一般的

( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,可得相应结论。教师指出:
这只是我们从具体的例子中得到的猜想, 要说明 其正确性, 必须进行严密的推证。 指导学生进行 证明, 关键说明: 已知 A,B 两点的坐标相当于知 道 了 向 量 OA ,

OB 的 坐 标 , 而

AB ? OB ? OA ,从而转化为坐标的运算.
由此,得到一个重要的结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标. 练习 2.

(1)已知A(2,3), B ? (?3,5), 求BA 的坐标. (2)已知AB ? (1, ?2), A(2,1), 求B 的坐标. (3)已知AB ? (1, ?2), B(2,1), 求A 的坐标.
四、巩固应用,加深理解. 例1、 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、 (-1,3)、(3,4),求顶点 D 的坐标. 解:设顶点 D 的坐标为 ( x, y )

AB ? (1, 2), DC ? (3 ? x, 4 ? y ) 由AB ? DC , 得 ( 1,) 2 =(3 ? x, 4 ? y ) ?3 ? x ? 1 ? x ? 2 ?? ?? ?4 ? y ? 2 ? y ? 2 ?点D的坐标为(2,) 2 .
例 2、已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行 四边形的四个顶点.(引导学生思考,多媒体演示) 分析:未固定四边形四个顶点的顺序,因此,点 D 的位置有 3 个.
4

五、课堂小结.(先请学生归纳,再由教师完善) 1.平面向量的坐标的概念; 2.几个重要结论: (1) 相等的向量坐标相同;坐标相同的向量是相等向量; (2) 起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标. (3)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 即: 若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则AB ? ( x2 3.平面向量的坐标运算:

? x1, y2 ? y1 )

若a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则(1) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), (2)a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), (3)? a ? (? x1, ? y1 )
六、布置作业. (必做题)课本 P114. 2.3.4 (选做题) 我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 (两条数轴的原点重合且单位长度相同) 称为斜坐标系.平面上任意一点 P 的斜坐标定义为:若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 、 e2 分别为斜坐标系的

x 轴、y 轴正方向上的单位向量,x、y∈R),则点 P 的斜坐标为(x, y).在平面斜坐标系 xoy 中,若

?xoy ? 60? ,已知点 M 的斜坐标为 (1, 2),则点 M 到原点 O 的距离为

.

(使学生进一步加强对向量坐标表示的理解,把对数学知识的探究由课内延伸到课外)

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