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上海市奉贤区2013届高三二模数学理 解析版

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2013 年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 分) (4 (2013?奉贤区二模)函数 f(x)=2sin x 的最小正周期是 π . 考点: 三角函数的周期性及其求法;二倍角的余弦. 专

题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角公式吧函数的解析式化为 1﹣cos2x,由此可得它的最小正周期为 解答: 2 解:函数 f(x)=2sin x=1﹣cos2x,故它的最小正周期为 =π,
2



故答案为 π. 点评: 本题主要考查二倍角公式的应用,余弦函数的最小正周期的求法,属于基础题.

2. 分) (4 (2013?奉贤区二模)在

的二项展开式中,常数项是 70 .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先求得二项展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于零,求得 r 的值,即可求得展开 式中的常数项. 解答: 8﹣r r ﹣r 解:在 的二项展开式中,通项公式为 Tr+1= ?x ?(﹣1) x =(﹣1)
r

?

?x

8﹣2r

. =70,

令 8﹣2r=0,解得 r=4,故展开式中的常数项是

故答案为 70. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题. 3. 分) (4 (2013?奉贤区二模)已知正数 x,y 满足 x+y=xy,则 x+y 的最小值是 4 . 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 依题意由基本不等式得 x+y=xy≤ 解答: 解:∵x>0,y>0, ,从而可求得 x+y 的最小值.

∴xy≤

,又 x+y=xy,

∴x+y≤
2



∴(x+y) ≥4(x+y) , ∴x+y≥4. 故答案为:4 点评: 本题考查基本不等式, 利用基本不等式将已知条件转化为关于 x+y 的二次不等式是关 键,属于基础题. 4. 分) (4 (2013?奉贤区二模)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 30 .

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是累加并输出 S=2+4+…+10 的值. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S=2+4+…+10 又∵2+4+…+10=30 故答案为:30. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型. 5. 分) (4 (2013?奉贤区二模)已知直线 y=t 与函数 f(x)=3 及函数 g(x)=4?3 的图象 分别相交于 A、B 两点,则 A、B 两点之间的距离为 log34 . 考点: 两点间的距离公式;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用.
x x

分析: 先确定 A,B 两点的横坐标,再作差,即可求得 A,B 两点之间的距离. 解答: x x 解:令 3 =t,可得 x=log3t 43 =t 可得 x= , 故 A、B 两点之间的距离为 log3t﹣ =log3t﹣( log3t﹣log34)=log34,

故答案为 log34. 点评: 本题考查两点之间的距离,考查学生的计算能力,属于中档题. 6. 分) (4 (2013?奉贤区二模)用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底 面所在的平面所成角为 45°,容器的高为 10cm,制作该容器需要 100 cm 的铁皮.
2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得圆锥的底面半径和母线长,代入侧面积公式 S=πrl,计算可得. 解答: 解:由题意可得圆锥的底面半径 r=10, 由勾股定理可得:圆锥的母线长为 l=10 , 故圆锥的侧面积 S=πrl= =100 , 故答案为: 点评: 本题考查圆锥的侧面积的求解, 求出底面半径和母线长是解决问题的关键, 属基础题. 7. 分) (4 (2013?奉贤区二模)若实数 t 满足 f(t)=﹣t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不 动点.设函数 f(x)=lnx 与反函数的所有次不动点之和为 m,则 m= 0 . 考点: 反函数. 专题: 计算题;新定义. 分析: 求出函数 y=lnx 的反函数,利用函数 y=lnx 的图象与直线 y=﹣x 有唯一公共点(t,﹣ x t)则有 t=﹣ln(﹣t) =﹣x?x=ln(﹣x)?x=﹣t.从而求出两个函数的所有次不 ,e 动点之和 m 的值. x 解答: 解:函数 y=lnx 的反函数:y=e ;函数 y=lnx 的图象与直线 y=﹣x 有唯一公共点(t, ﹣t)则有 t=﹣ln(﹣t) , x 而 e =﹣x?x=ln(﹣x)?x=﹣t.故两个函数的所有次不动点之和 m=t+(﹣t)=0, 故答案为 0. 点评: 本题以新定义为载体,考查了函数图象的对称性的灵活运用,属于中档题. 8. 分) (4 (2013?奉贤区二模)关于 x 的方程 x +mx+2=0(m∈R)的一个根是 1+ni(n∈R ) , 在复平面上的一点 Z 对应的复数 z 满足|z|=1,则|z﹣m﹣ni|的取值范围是 ] . [ ,
2 +

考点: 复数求模. 2 分析: 由题意求得方程的另一个根为 1﹣ni, 由根与系数的关系可得 m=﹣2, =1. n 满足|z|=1 的复数 z 在以原点 O 为

圆心的单位圆上,而|z﹣m﹣ni|表示点 z 到点 M(m,n)的距离,求得|OM|的值,即 可得到|z﹣m﹣ni|的取值范围. 2 + 解答: 解:∵关于 x 的方程 x +mx+2=0(m∈R)的一个根是 1+ni(n∈R ) ,∴另一个根为 1 ﹣ni, 由根与系数的关系可得 (1+ni)+(1﹣ni)=﹣m,且 (1+ni) (1﹣ni)=2. 2 解得 m=﹣2,n =1. 满足|z|=1 的复数 z 在以原点 O 为圆心的单位圆上,而|z﹣m﹣ni|表示点 z 到点 M(m, n)的距离. 而|OM|= = = ,故|z﹣m﹣ni|的最小值为 ﹣1,最大为 +1

故|z﹣m﹣ni|的取值范围为[ ﹣1, +1], 故答案为[ ﹣1, +1]. 点评: 本题主要考查韦达定理、复数的模的定义,以及两个复数的差的绝对值的意义,属于 基础题.

9. 4 分) 2013?奉贤区二模) ( ( 在极坐标系中, 直线 的位置关系是 相离 . 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心和半径,再求出圆心到直线的距离,根据 此距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系. 解答: 解:直线 即 ρsinθ﹣ ρcosθ= ,即 x﹣y+1=0. 圆 ρ=2cosθ 即 ρ =2ρcosθ,即 x +y =2x,即 (x﹣1) +y =1,表示以(1,0)为 圆心,半径等于 1 的圆. 圆心到直线的距离为 = >1=r,故直线和圆相离,
2 2 2 2 2

故答案为 相离. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用, 直线和圆的位置关系的判定,属于中档题. 10. 分) (4 (2013?奉贤区二模)已知函数 f(x)=lg(a ﹣b ) (a>1>b>0) ,且 a =b +1, 则不等式 f(x)>0 的解集是 (2,+∞) . 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: u(x)=ax﹣bx,利用定义判断 u(x)在 x∈(0,+∞)上单调增,从而得到 f(x) 令 2 2 2 2 在 x∈(0,+∞)上单调增,由 a =b +1,可得 f(2)=lg(a ﹣b )=lg1=0,进而得到 f(x)>0=f(2) . x x 解答: 解:由题意可得:令 u(x)=a ﹣b ,不等式即 lgu(x)>0, ∵a>1>b>0, 所以 u(x)在实数集上是个增函数,且 u(x)>0,
x x 2 2

又因为 u(0)=0, 所以应有 x>0, ∴u(x)在定义域(0,+∞)上单调增, x x ∴f(x)=lg(a ﹣b )在 x∈(0,+∞)上单调增. 2 2 又因为 a =b +1, 2 2 所以 f(2)=lg(a ﹣b )=lg1=0, 所以 f(x)>0=f(2) 所以(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查指数函数、对数函数的单调性与特殊点,由真数 u(x)的单调性确定 f(x) 的单调性,利用特殊点 lg1=0. 11. 分) (4 (2013?奉贤区二模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0, 1) , , 则函数 (x) (1, 上的解析式是 f 在 2) y= .

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: x∈(1,2) 设 ,则 x﹣2∈(﹣1,0) ,2﹣x∈(0,1) ,由已知表达式可求得 f(2﹣x) , 再由 f(x)为周期为 2 的偶函数,可得 f(x)=f(x﹣2)=f(2﹣x) ,从而得到答案. 解答: 解:设 x∈(1,2) ,则 x﹣2∈(﹣1,0) ,2﹣x∈(0,1) , 所以 f(2﹣x)= = , 又 f(x)为周期为 2 的偶函数, 所以 f(x)=f(x﹣2)=f(2﹣x)= 故答案为:y= . ,即 y= ,

点评: 本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性,考查学生灵活运用所学知识解 决问题的能力,属中档题. 12. 分) (4 (2013?奉贤区二模)设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn,若{an}和{ 数列,且公差相等,则 a1+d= .

}都是等差

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题目给出的条件{a }和{
n

}都是等差数列,且公差相等,把



都用 a1

和 d 表示,两边平方后求解 a1 和 d,则答案可求. 解答: 解:由题意知数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 因为数列{an}的前 n 项和是 Sn,

所以 又{ 则







}也是公差为 d 的等差数列, ,两边平方得: ,两边平方得: ① ②

②﹣①得: 把③代入①得:d(2d﹣1)=0. 所以 d=0 或 d= . 当 d=0 时,a1=0,不合题意, 当 d= 时,代入③解得 所以 故答案为 . . .

③,

点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了学生的计算能力,是基础的计算题.

13. 分) (4 (2013?奉贤区二模)椭圆

上的任意一点 M(除短轴端

点除外) 与短轴两个端点 B1, 2 的连线交 x 轴于点 N 和 K, B 则|ON|+|OK|的最小值是 2a . 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆上下顶点坐标,设 M(xo,yo) ,N(xm,0) ,K(xn,0) ,利用三点共线求 2 出 K,N 的横坐标,利用 M 在椭圆上,推出|ON|?|OK|=a ,最后利用基本不等式求出 |ON|+|OK|的最小值即可. 解答: 解:由椭圆方程知 B1(0,b) 2(0,﹣b) ,B , 另设 M(xo,yo) ,K(xk,0) ,N(xn,0) 分) (2 由 M,N,B1 三点共线,知 = (4 分)

所以 xn=

(6 分)

同理得 xk=

(9 分)

|OK|?|ON|=|

|…①,

又 M 在椭圆上所以

即 b ﹣y

2

=

代入①得

10 分

|OK|?|ON|=|

|=a (12 分)

2

利用基本不等式,得|ON|+|OK|≥2 故|OK|?|ON|的最小值为 2a. 故答案为:2a.

=2a,当且仅当|OK|?|ON|取号,

点评: 本题是中档题,思路明确重点考查学生的计算能力,也可以由向量共线,或由直线方 程截距式等求得点 M 坐标. 14. 分) (4 (2013?奉贤区二模) 如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片 (∠ACB=90°, AC=2) 沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y=f(x) ,当 x∈[0, ]时 y=f(x)= .

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据三角形在滚动过程中的特点,要使 x∈[0, ],说明三角形进行了两次滚动, 一次是以 C 为圆心,A 在四分之一圆周运动,一次是以 B 为圆心 A 在中心角是 135° 的扇形弧上运动,由此可求 A 的轨迹. 解答: 解:当等腰直角三角形以 C 为旋转点滚动时,A 的轨迹是以 C(2,0)为圆心,以 AC 长为半径的圆的部分,当 B 点落在 x 轴上时,点 A 运动了四分之一圆周,所以其 轨迹方程为 (0≤x≤2) ;

当等腰直角三角形以 B 为旋转点滚动时,A 的轨迹是以 B(4,0)为圆心,以 AB 长 为半径的圆的部分,当 A 点落在 x 轴上时满足 A 点的最大横坐标为 .三角形 不在滚动,此过程是以 B(4,0)为圆心,以 为半径的圆的部分,轨迹方程为 (2≤x ) .

所以顶点 A(x,y)的轨迹方程是 f(x)=



故答案为



点评: 本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了分类讨论的数学思想,训练了圆的 标准方程,是基础题. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 分) (5 (2013?奉贤区二模)下列命题中正确的是( ) A.函数 y=sinx 与 y=arcsinx 互为反函数 B. 函数 y=sinx 与 y=arcsinx 都是增函数 C. 函数 y=sinx 与 y=arcsinx 都是奇函数 D.函数 y=sinx 与 y=arcsinx 都是周期函数 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据正弦函数 y=sinx,当 x∈[ 解答: 解:对于正弦函数 y=sinx,当 x∈[



]时存在反函数,逐个选项分析可得结论. , ]时存在反函数 y=arcsinx,

具有相同的奇偶性和单调性,故选项 A 错误; 选项 B,函数 y=sinx 不单调,故错误;选项 C 正确; 选项 D,函数 y=arcsinx 的定义为[﹣1,1],故不是周期函数,故错误. 故选 C 点评: 本题考查命题真假的判断,涉及反正弦函数和函数的性质,属基础题.

16. 分) (5 (2013?奉贤区二模)设事件 A,B,已知 P(A)= ,P(B)= ,P(A∪B) = ,则 A,B 之间的关系一定为( B.互斥事件 ) C.非互斥事件 D.对立事件

A.两个任意事件

考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 计算题. 分析: 由题意先求 P(A)+P(B) ,然后检验 P(A+B)与 P(A∪B)是否相等,从而可判 断是否满足互斥关系

解答: 解:∵P(A)= ,P(B)= , ∴P(A)+P(B)= 又 P(A∪B)= ∴P(A∪B)=P(A)+P(B) ∴A.B 为互相斥事件 故选 B 点评: 本题主要考查了互斥事件的概率公式的简单应用,属于基础试题 =

17. 分) (5 (2013?淄博一模)数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 都有 am+n=am?an,若 Sn<a 恒成立,则实数 a 的最小值为( A. B. C.

,且对任意正整数 m,n, ) D.4

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: am+n=am?an,分别令 m 和 n 等于 1 和 1 或 2 和 1,由 a1 求出数列的各项,发现此 由 数列是等比数列,利用等比数列的前 n 项和的公式表示出 Sn,而 Sn<a 恒成立即 n 趋 于正无穷时,求出 Sn 的极限小于等于 a,求出极限列出关于 a 的不等式,即可得到 a 的最小值. 2 解答: 解:令 m=1,n=1,得到 a =a = ,同理令 m=2,n=1,得到 a =a ?a =
2 1 3 2 1

所以此数列是首项为 公比,以 为公比的等比数列,

则 Sn= ∵Sn<a 恒成立

=





=

∴ 则 a 的最小值为 故选 A 点评: 此题考查了等比数列关系的确定,掌握不等式恒成立时所满足的条件,灵活运用等比 数列的前 n 项和的公式及会进行极限的运算,是一道综合题.

18. 分) (5 (2013?奉贤区二模)直线 x=2 与双曲线 点,设 P 为双曲线 C 上的任意一点,若 不等式恒成立的是( ) 2 2 A.a +b ≥2 B.

的渐近线交于 A,B 两 (a,b∈R,O 为坐标原点) ,则下列

C.a2+b2≤2

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定 A,B 的坐标,根据 ,确定坐标之间的关系,可得 本不等式,即可得出结论. 解答: 解:由题意,A(2,1) ,B(2,﹣1) , 设 P(x,y) ,则∵ ∴x=2a+2b,y=a﹣b ∵P 为双曲线 C 上的任意一点, ∴ ∴4ab=1 ∴ ∴ 故选 B. 点评: 本题考查向量知识的运用,考查基本不等式的运用,属于中档题.

,利用基

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.12 分)2013?奉贤区二模) ( ( 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是正方形, 1=2, AA AB=1,E 是 DD1 上的一点. (1)求异面直线 AC 与 B1D 所成的角; (2)若 B1D⊥平面 ACE,求三棱锥 A﹣CDE 的体积.

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此 两条异面直线所成的角; (2)利用线面垂直的性质定理即可得到点 E 的坐标,利用 VA﹣CDE=VE﹣ADC 即可得 到体积. 解答: 解:以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系. (1)依题意,D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,C(0,1,0) 1(1,1,2) ,B , ∴ ∴ , . , ,

∴异面直线 AC 与 B1D 所成的角为 (2)设 E(0,0,a) ,则

∵B1D⊥平面 ACE,AE?平面 ACE,∴B1D⊥AE. ∴ ,∴﹣1+2a=0, . = .

∴VA﹣CDE=VE﹣ADC=

点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两 条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算 公式是解题的关键. 20. 分) (14 (2013?奉贤区二模) 位于 A 处的雷达观测站, 发现其北偏东 45°, A 相距 20 与 海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶, 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45°+θ 20 (0°<θ<45°)的 C 处, .在离观测站 A 的正南方某处 E,cos∠EAC=﹣

(1)求 cosθ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时) .

考 余弦定理的应用. 点 : 专 解三角形. 题 : 分 (1)利用同角三角函数的基本关系求得 sin∠EAC 的值,根据 析 ,利用两角差的余弦公式求得结果. : (2)利用余弦定理求得 BC 的值,而且 BC 这段距离该船行驶了 20 分钟,由此求得该船 的行驶速度. 解 解: (1)∵ ,∴ . 分) (2 答 : ∴ = . 分) (6 (2)利用余弦定理求得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosθ=125,∴ 又该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 海里, 该船的行驶速度 (海里/小时)(14 分) .
2 2 2

. (10 分)

点 本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦 评 公式的应用,属于中档题. :

21. (14 分) (2013?奉贤区二模)三阶行列式

,元素 b(b∈R)的代数余子

式为 H(x) ,P={x|H(x)≤0}, (1)求集合 P;

(2)函数 围.

的定义域为 Q,若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范

考点: 三阶矩阵;交集及其运算;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)三阶行列式 ,元素 b(b∈R)的代数余子式为 H(x)小于等于

0,可得关于 x 的二次不等式,解之即可; (2)是一个存在性的问题,此类题求参数一般转化为求最值.若是存在大于某式的 值成立,一般令其大于其最小值即可. 解答: 2 解: (1) =2x ﹣5x+2≤0(3 分) , ∴ (7 分) 上至少存在一个 x 值,使不等式 ax ﹣2x+2>0
2

(2)若 P∩Q≠?,则说明在 成立, 分) (8 即在 令 分) 又 当 时,

上至少存在一个 x 值,使 ,则只需 a>umin 即可.

成立, 分) (9 (11

. , ,

从而 umin=﹣4(14 分) 由(1)知,umin=﹣4, ∴a>﹣4. (14 分) 点评: 本题考查行列式,代数余子式的概念,考查解不等式、对数函数的定义域,属于中档 题. 22. (16 分) (2013?奉贤区二模)已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 . (1)求 a1,a3; (2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;

(3)设

,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q) ,使 b1,bp,bq 成等比数

列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q) ;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)在 中,分别令 n=2,n=3 即可求得答案;

(2)由

,即

①,得

②,两式作差

得(n﹣1)an+1=nan ③,从而有 nan+2=(n+1)an+1 ④,③+④,根据等差数列中项公 式即可证明; (3)假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列,从而可用 p 表示出 q,观察可知(p,q)=(2,3)满足条件,根据数 列单调性可证明(p,q)=(2,3)唯一符合条件. 解答: (1)解:令 n=1,则 a1=S1= =0,

令 n=3,则

,即 0+1+a3=

,解得 a3=2;

(2)证明:由

,即

①,得

②,

②﹣①,得(n﹣1)an+1=nan ③, 于是,nan+2=(n+1)an+1 ④, ③+④,得 nan+2+nan=2nan+1,即 an+2+an=2an+1, 又 a1=0,a2=1,a2﹣a1=1, 所以数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=n﹣1. (3)假设存在正整数数组(p,q) ,使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是, .

所以,

(☆) .易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解.

当 p≥3,且 p∈N*时,

<0,

故数列{ 于是

}(p≥3)为递减数列 ≤ <0,所以此时方程(☆)无正整数解.

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3) ,使 b1,bp,bq 成等比数列. 点评: 本题考查等差、等比数列的综合问题,考查等差数列的通项公式,考查递推公式求数 列通项,存在性问题往往先假设存在,然后以此出发进行推理论证得到结论.

23. (18 分) (2013?奉贤区二模)动圆 C 过定点 F p>0.设圆心 C 的轨迹 Γ 的程为 F(x,y)=0 (1)求 F(x,y)=0; (2)曲线 Γ 上的一定点 P(x0,y0) 0≠0) (y ,方向向量

,且与直线

相切,其中

的直线 l(不过 P

点)与曲线 Γ 交与 A、B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 kPA,kPB,计算 kPA+kPB; (3)曲线 Γ 上的两个定点 P0(x0,y0) 、 ,分别过点 P0,Q0 作倾斜

角互补的两条直线 P0M,Q0N 分别与曲线 Γ 交于 M,N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用抛物线的定义即可得出轨迹方程; (2)由直线 l 的方向向量可设直线 l 的方程为 ,与抛物线的方程联立消

去 x 得到关于 y 的一元二次方程,得到根与系数的关系,利用斜率计算公式和点 P 在 抛物线上满足的条件,即可得出 kPA+kPB; (3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,可得到 kMN.设 MP0 的直线方程为 y﹣y0=k(x ﹣x0)与抛物线联立,得到根与系数的关系,同理由直线 Q0N 的方程与抛物线的方程 联立也得到根与系数的关系,代入 kMN 即可证明. 解答: 解: (1)过点 C 作直线 的垂线,垂足为 N, 由题意知:|CF|=|CN|,即动点 C 到定点 F 与定直线 由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线, 其中 为焦点,
2

的距离相等,

为准线,

所以轨迹方程为 y =2px(p>0) ; (2)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 不过点 P 的直线 l 方程为 ,



得 y +2y0y﹣2y0b=0,

2

则 y1+y2=﹣2y0,

=

=

=

=0.

(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 = = (***)

设 MP0 的直线方程为为 y﹣y0=k(x﹣x0)与曲线 y =2px 的交点 P0(x0,y0) ,M(x1, y1) . 由 , 的两根为 y0,y1

2

则 同理 ∴

,∴ ,得 , .是定值,命题得证

代入(***)计算得

点评: 熟练掌握抛物线的定义、直线 l 的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立 消去 x 得到关于 y 的一元二次方程及得到根与系数的关系、 斜率计算公式和点 P 在抛 物线上满足的条件等是解题的关键.


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