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正余弦定理的综合应用


正余弦定理的综合应用教学设计
课题名称 科目 正余弦定理的综合应用 数学(高三) 授课人 耿向娜

一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年 的高考中与三角函数向量等知识相结合,频繁出现在选择、填空和 17 题的位 置,是学生们的重要得分点之一。本节课对 2013 年中出现的解三角形问题的 分析解答,强化学

生对解三角形的理解和巩固,同时消除他们对高考的畏惧 感,提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标:熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化,同时 熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标:培养学生分析解决问题的能力,提高学生的化简计算能力 3、情感目标:让学生在直接面对高考真题的过程中,体会解决问题的快乐, 提升他们的自信心,提高他们的备战能力! 三、学情分析 我所任课的班级是高三 22 班是文科普通班,他们的数学基础整体上很薄弱, 计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习,越来越多的学生对数学产生 了兴趣,同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦,具有了一定的函数知识和 解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点 难点 正余弦定理的应用 公式的转化和计算
1

五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学,采用的是教师引导下的学生自主探究式学习 法。 六、教学过程 教学环节 一、基 础 知 识 回 顾 回顾正弦定理: 余弦定理:
? b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c 2 ? b2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ?cos B ? 2ac ? 2 ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? b2 ? c 2 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?cosC ? 2ab ? ?

教学内容
a b c ? ? ?k; sin A sin B sin C a ? k sin A, b ? k sin B, c ? k sin C

设计意图 通过对公式的 回顾,为本节 课解答问题提 供工具。

三角形面积公式: S ? 1 ab sin C ? 1 ac sin B ? 1 bc sin A
2 2 2

二、例

类型一:判定三角形形状

该题的设置目

1、设在 ?ABC 中, 若 a cos A ? b cos B ,判定该三角形 的在于训练学 的形状。
解析:法一:(边化角 )sinAcosA ? sinBcosB 1 1 ? sin 2 A ? sin 2 B 2 2 ? ? A ? B或2 A ? 2 B ? ?,A ? B ? 2 ? 为等腰三角形或直角三 角形. 法二:(角化边) a b 2 ? c 2 ?a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ?b 2bc 2ac ? a 2 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? b 2 ( a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? a 4 ? b 4 ? ( a 2 ? b 2 )c 2 ? ( a 2 ? b 2 ? c 2 )(a 2 ? b 2 ) ? o ? a 2 ? b 2 ? c 2或a ? b

生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角,也可角化 边,让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。







? 直角三角形或等腰三角 形
2

练习: (2013 年辽宁卷文科 9 题)设在 ?ABC 中, 角
ABC











abc

, )

a sin B cos C ? c sin B cos A ?



A

? 6

B

? 3

C

2? 3

D

5? 6

1 b, a ? b , 则 B 值为 ( 2

解析:由已知可得:
sin A sin B sin C ? sin C sin B sin A ? 1 sin B , 2



化简得 sin( A ? C ) ? ? sin B ? 类型二:求角、面积

1 2

1 ? 5? ?B? , (舍) 2 6 6

本题的第一问 是对边角转化 的一个巩固, 学生同样可以 从两个角度思



2、在?ABC中,a、b、c所对的角分别为 A 、 B 、C , cosB b 且 ?? . cosC 2a ? c (1)求角B的大小; (2)b ? 13,a ? c ? 4, 求?ABC的面积。
解析:( 1 )法一(角化边):由 余弦定理可知:



a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cosC ? 2ac 2ab cosB b 将上式带入 ? cosC 2a ? c 2 2 a ? c ? b2 2ab b ? ? 2 ?? 2 2 2ac a ?b ?c 2a ? c 2 2 2 整理得a ? c ? b ? ? ac cos B ? ? cos B ? ?B? 2? 3 a 2 ? c 2 ? b2 ? ac 1 ? ?? 2ac 2ac 2

考,第二问训 练三角形面积 公式的应用, 强调公式的应 用中选择适当 的边角确定面 积值。

cosB sin B 法二(边化角): ?? cosC 2 sin A ? sin C ? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cosC ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0 ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0 1 2? ? cos B ? ? ? B ? 2 3

3

( 2 ) 将b ?

13, a ? c ? 4, B ?

代入b 2 ? a 2 ? c 2

2? 3 ? 2ac cos B

? b2 ? (a ? c ) 2 ? 2ac ? 2a cos B 1 ? 13 ? 16 ? 2ac(1 ? ) ? ac ? 3 2 1 3 3 ? S ?ABC ? ac sin B ? 2 4

通过前两题的 训练,学生已 经初步掌握了 边角的转化、 以及三角形面 积的求法。本 题的设计意图 在强化练习, 4 题对三角形面 积最值的求法 体现学科内综 合,提升学生 的理解、计算 能力。

练习: (2013 新课标全国卷理) 在 ?ABC 中, 角 ABC 所对的边为 abc ,且 a ? b cos C ? c sin B . (1)求 B; (2) b ? 2, 求 S ?ABC 的最大值。 解析:(1)由已知得 sin A ? sin B cos C ? sin C sin B
? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? sin C cos B +
? sin B ? cos B ? B ?

?
4

a 2 ? c 2 ? b2 2 (2)由 cos B ? ? ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2ac 2ac 2

又因为 a ? c ? 2ac ? 2ac ? 4 ? 2ac ? ac ? 4 ? 2 2
2 2


S? 1 1 2 2 ac sin B ? ? ac ? S ? ? (4 ? 2 2 ) ? 2 ? 1 2 2 2 4

三、小结

1、熟练掌握正余弦定理,寻找合适的边角进行转化; 2、三角形面积公式的应用。
4

四、作 业

1、(2010 年辽宁卷)在 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2C ? b) sin C . (1)求 A 的大小; (2)(理)求 sin B ? sin C 的最大值; (文)若 sin B ? sin C ? 1,试判断 ?ABC 的形状 2、(2009 年安徽卷)在 ?ABC 中, C ? A ? (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6 ,求 ?ABC 的面积
?
2 , sin B ? 1 。 3

板书设计

“解三角形”高考真题演练 一、复习导入 二、例题讲解 三、学生板演 四、课堂小结

课后反思

本课从复习正余弦定理的内容入手,让学生掌握解题工具,通过 一道课后习题的讲解,使学生理解边角转化,在练习中提高计算 能力;在例二的面积求值中,让学生体会转化的思想和求最值的 方法。通过本节课提升学生解决三角问题的能力!

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