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1.5.3定积分的概念


§1.5.3 定积分的概念学案
教学目标: ⒈通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; ⒉借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单的定积分. 3. 理解掌握定积分的几何意义; 教学重点:定 积 分 的 概

念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分 的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.前置复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:
[来源:Zxxk.Com]

2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点.

二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?
n

b?a ) ,在每个小区间 n

? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1

b?a f (?i ) n i ?1
n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数

S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为:
其中 f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .
(2)用定义求定积分的一般方法是: (3)曲边图 形面积: 变速运动路程; 变力做功 ;

2.定积分的几何意义 分析:

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

说明:①推广: ②推广:

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a

b

b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx
a c1 ck

c1

c2

b

③性质解释:

y

性质 4 性质 1
y=1 M y A C

B

N a P b x

O

a

b

x

O

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
三.典例分析 例 1.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx

四.课堂练习 计算下列定积分 1.

?

5

0

(2 x ? 4)dx

?

5

0

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5

2.

?

1

?1

x dx

?

1

?1

1 1 x dx ? ? 1? 1 ? ? 1? 1 ? 1 2 2

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

3.课本 练习 五.回顾总结 1. 定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义.

六.布置作业

§1.5.3 定积分的概念教 案 教学目标: ⒈通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; ⒉借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单的定积分. 3. 理解掌握定积分的几何意义; 教学重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?
n

b?a ) ,在每个小区间 n

? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1

b?a f (?i ) n i ?1
n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数

S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S ? ? f ( x)dx
a

b

其中 f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, [ a, b] 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。 说明: (1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替:取点

?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和:

n b b?a b?a ;④取 极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? ? n f (?i ) a n ?? n i ?1 i ?1 n

(3)曲边图形面积: S ? 变力做功 W ?

? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ?
b a

t2

t1

v(t )dt ;

[来源:学科网]

?

b

a

F (r )dr

2.定积分 的几何意义

说明:一般情况下,定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线

x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负
号. (可以先不给学生讲) . 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ? ?? f ( xi )?x ? ?? f ? xn ? ?x 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ),?, f ( xn ) ? 0 于是和式即为

f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ??? f ( xi?1 )?x ?{[? f ( xi )?x] ? ?? [? f ? xn ? ?x]}
? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
a b

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质 : 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

? 1dx ? b ? a
a

b

?
b

b

a
b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
a
1

b

? [f
a

( x ) f2 ( x ) ] ? ? ? dx
c

b 1

a

f ( x) ? ? dx

b 2

a

f( x d x (定积分的线性性质) )

? ? f ( x) d x ?
a a

f x d x? ( ) ?
c

b

(f ) x 其中 d( x

? a c) b ?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广: ②推广:

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a

b

b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx
a c1 ck

c1

c2

b

③性质解释:

y

性质 4 性质 1
y=1 M y A C

B

N a P b x

O

a

b

x

O

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
三.典例分析 例 1.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx
5 。 2
y

分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为 即:

?

2

1

( x ? 1)dx ?

5 2

思考:若改为计算定积分

?

2

?2

( x ? 1)dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函 数在 [?2, 2] 上出 现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) o 1 2 x

四.课堂练习 计 算下列定积分 1. 2.

? ?

5

0 1

(2 x ? 4)dx x dx

?
?
1 ?1

5

0

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5
[来源:学|科|网]

?1

1 1 x dx ? ? 1? 1 ? ? 1? 1 ? 1 2 2

5.课本 练习 五.回顾总结 1. 定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义.

六.布置作业


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