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全国名校高中数学题库--抢分演练

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高考抢分大演练一(120426)
1、已知集合 A ? a 2 , a ? 1,?3 , B ? a ? 3, a ? 2, a 2 ? 1 , 若 A ? B ? ?? 3? ,则 A ? B ? 2、设集合 A ? x | x 2 ? 4x ? 0 , B ? x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0, a ? R, x ? R , 若

B ? A , 则实数 a 的值为 3、已知函数 f ( x) ? x
2011

?

?

?

?

?

?

?

?

? a sin x ?

b ? 5, f (?2) ? 8, 则f (2) 的值是 x

4 、 已 知 集 合 A ? ?( x, y ) |

? ?

y ?3 ? ? 1, x ? R, y ? R?, B ? ?( x, y) | y ? ax ? 2, x ? R, y ? R?, 若 x?2 ?

A ? B ? ? ,则实数 a 的值

5、关于 x 的方程 (m ? 1) x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 有实数根时,实数 m 的取值范围是集合 A,函数

f ( x) ? lg[ x 2 ? (a ? 2) x ? 2a] 的定义域是集合 B.若 A ? B ? B, 求实数 a 的取值范围

6、已知函数 f ( x) ?| x2 ?1| ? x2 ? kx在(0,3] 上有两个零点,则 k 的取值范围为

7、若集合 P ? y | y ? (sin x ? cos x) , x ? R Q ? y | y ? x ? 2, x ? P , S ? x | 2
2 2

?

?

?

?

?

| x ?2|

?1 ,

?

则集合 P,Q,S 之间的关系中正确的是 (1) P ? Q ? S ? ? ; (2) P ? Q ? S ; (3) P ? Q ? S ? P ? S ; (4) P ? S ? Q.

8、若 0 ? a ? b, 且f ( x) ?

1 1 abx ? log 3 ( x ? 1) 为偶函数,则 a ? 2b 的取值范围为 2 3

k | x | 对一切实数x均成立, 2012 x 2 ; 则称 f ( x ) 为“海宝”函数: (1) f ( x) ? x ;(2) f ( x) ? sin x ? cos x;(3) f ( x) ? 2 x ? x ?1
9、设函数 f ( x ) 的定义域为R,若存在常数k>0,使 | f ( x ) |?

(4) f ( x) ? 3x ?1. 其中“海宝”函数的序号是

1

10、若定义在 R 上的函数 f (x) 对任意的 x1 , x2 ? R 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 成立, 且当 x ? 0时,f ( x) ? 1 .(1)求证: f ( x) ? 1 为奇函数; (2)求证: f (x) 是 R 上的增函数;(3)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m 2 ? m ? 2) ? 3

11、设函数 f ( x) ? e

x ?1

?

m (m ? R) x

(1)若 f (x) 在(1,2)上是单调减函数,求实数 m 的取值范围; (2)若 f (x) 在 x=1 处有极值,且函数 g ( x) ? f ( x) ? n 在 (0,??) 上有零点,求 n 的最小值

选做题、在 ?ABC 中,若 B ?

2? 3 ?1 , A ? C , (1 ? cos 2 A)(1 ? cos 2C ) ? 3 2

(1)求角 A 的大小;

(2)若 ?ABC 的外接圆的半径为 2,求 CA ? CB 的值。

??? ??? ? ?

备用题:已知 ?ABC 中,向量 a ? (4sin A,1), b ? (1,3cos A), 且a ? b 。 (1)求 sin( A ?

?

?

?

?

?
3

) 的值;(2)若 ?ABC 的面积为

3 ,求实数 a 的最小值。 2

2

高考抢分大演练二(0428)
1、若 f ( x) ? a sin x ? 3cos x 是偶函数,则实数 a ? 2、函数 f ( x) ?

1 1? x

? log2 (2 x ? 1) 的定义域为
3 ,49 ) ,且方程 f ( x) ? 0 的两个实根之差等于 7, 2

3、已知二次函数 y ? f (x) 的顶点坐标为 (? 则此二次函数的解析式为

, ] 4 、 定 义 在 [?2010 2010 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 于 任 意 的 x1 , x2 ? [?20102010 , 有 , ]

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 0 0,9 x ? 0时,有f ( x) ? 2 0 0,9f ( x) 的最大值、最小值分别 且
为 M,N,则 M+N 的值为 5、设定义在 [?2,2] 上的偶函数 f (x) 在区间 [0,2] 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,求实数 m 的取值范围

6、若 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是(??, ??) 上的单调递减函数,则 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1

3 2 7、已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图像过点 P(0,2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方

程为 6 x ? y ? 7 ? 0 ,则函数 y ? f (x) 的解析式为 8、已知 f ( x) ? lg( ? x 2 ? 8 x ? 7) 在 (m, m ? 1) 上是增函数,则 m 的取值范围是 .

9、定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6) ,对任意正实数 k,有 f(x+k) <f(x)成立,则当不等式| f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为 .

10 、已知函 数 f ( x) ? loga (2x ? a) 在区间 [ , ] 上 恒 有 f ( x) ? 0 ,则实 数 a 的取值 范围 是 .

1 2 2 3

3

11、已知过点 O 的直线与函数 y ? 3x 的图象交于 A 、 B 两点,点 A 在线段 OB 上,过 A 作 y 轴 的平行线交函数 y ? 9x 的图象于 C 点,当 BC ∥ x 轴,点 A 的横坐标是 ;

?3x?1 , x ? 0, 12、定义在 R 上的 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? 则 f (2010) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0,
13、已知函数 f ( x) ? log 2 x ,正实数 m,n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上 的最大值为 2,则 n ? m ? .

14、已知函数 f ( x ) ? x ? 实数 p 的值为

p (p 为常数,且 P>0) ,若 f(x)在区间 (1, ??) 的最小值为 4,则 x ?1

15、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? 值范围是_______________.

2a ? 3 ,则 a 的取 a ?1

16、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5? ? ? f ? x?

17、设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x ),当 0 ? x ? 1 , f ( x) ? x ,则当

5 ? x ? 6 时, f ( x) 的表达式为
18、函数 f ( x) ? log 1 | x 2 ? 6 x ? 5 | 的单调递增区间为
2



4

高考抢分大演练三(0430)
1、设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (x2 ? 2x ? 3) 有最小值,则不等式 loga (x ? 1) ? 0的解集 为 .

2、(1)已知函数 f ( x) ? x 2 ? lg( x ?

x 2 ? 1) ,若 f (a) ? M ,则 f (?a) 等于
. ;

;

(2)已知 f ( x) ? a sin 2 x ? tan x ?1 ,且 f (?2) ? 4 ,那么 f (? ? 2) ?

x2 3、(1)函数 y= log2 的最小值是 x?2

,此时 x 的值为

(2)对于每个实数 x ,设 f ( x ) 是 y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 三个函数中的最小值,则

f ( x) 的最大值是

. ; .

4、(1)如果函数 y ? x 2 ? ax ? 1 在闭区间 [0,3] 上有最小值 ?2 ,那么 a 的是 (2)如果函数 y ? ax2 ? 2ax ?1 对于 x ? [1,3] 上的图象都在 x 轴下方, a 的取值范是 则

5、已知函数 f ( x ) 的定义域为 R, f (?1) ? 1, 对任意x ? R, f / ( x) ? 3 ,则 f (x) ?3x ?4 的解集 是 6、对 a,b ?R ,记 max{a, b} ? ?

? a, a ? b ,函数 f ( x) ? max{| x ? 1|,| x ? 2 |} 的最小值是 ?b, a<b

.

7 、 一 个 等 差 数 列 的 项 数 为 2n , 若 a1 ? a 3 ? ??? ? a 2 ? 1? 90 , a2 ? a4 ? ??? ? a2 n ? 72 , 且 n

a1 ? a2n ? 33 ,则该数列的公差 d ?

.

8、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2n ? 3(a1 ? a3 ???? ? a 2n? 1) , a1a2 a3 ? 8 ,则 a10 等 于 . ; .

9、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ?1 ,则 a1 ? a3 ???? ? a25 ? 10、 数列 {an } 满足 a1 ?

1 , S n ? n 2 an ,则数列的通项公式为 an ? 2

5

11、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,Q 为AD的直线 ,PA=PD=AD=2.
0

(1)求证:AD⊥平面 PQB; (2)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC , 试确定 t 的值,使 PA∥平面 MQB
P M

D Q A B

C

12、已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 中, c ? 7, f (C) ? 0, 若向量m ? (1,sin A), n ? (3,sin B) 共线,求 a , b 的值

??

?

13、已知等差数列 {an } 的公差为 2,其前 n 项的和 Sn ? pn2 ? 2n(n ? N * ). (1)求 p 的值及 an ; (2)若 bn ? 小正整数 n 的值。

9 2 , 记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 求使 Tn ? 成立的最 10 (2n ? 1)an

6

高考抢分大演练(0503)
1、已知 f ( x ) ?

1 3x ,数列 {xn } 中, xn ? f ( xn?1 ) ,设 x1 ? ,则 x100 ? = 2 x?3



2、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a20 ? _______

_.

3、方程 sin ? x ?

1 x 的解的个数为 4



4、若方程 4x ? (4 ? a) ? 2x ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是

5、 已知平面上三点 A, B, C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等 于 .

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

6、在直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,1)和点 B(3,? 4),若点 C 在 ?AOB 的平分线上,且

??? ? ??? ? | OC |? 2 ,则 OC ?



??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ? AB AC ??? AB AC 1 7、已知非零向量 AB 与 AC ,满足 ( ??? ? ??? )?BC ? 0 ,且 ??? ? ??? ? ,则 ?ABC ? ? ? ? | AB | | AC | | AB | | AC | 2
为 .(试判断形状) 8、已知直线 y ? 2 x 上一点 P 的横坐标为 a ,有两个点 A(?1,1), B(3,3) ,那么使向量 PA 与 PB 的夹角为钝角的充要条件是 .

??? ?

??? ?

9、已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点 PA, PB 是圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,
2 2

A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为
10、从原点向圆 x ? y ?12 y ? 27 ? 0 作两条切线 PA, PB ,则该圆夹在两条切线问的劣弧长
2 2

为 11、由动点 P 向圆 x ? y ? 1引两条切线,切点分别为 A, B , ?APB ? 60 ,则动点 P 的轨迹
2 2
?

方程为

.

12、已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 图象的一条对称轴方程是 x ? 的倾斜角是 .

?
4

,则直线 ax ? by ? c ? 0

7

13、设 A, B 两点的坐标分别为 (1,1) 和 (4,3), P 点是 x 轴上的点,则 | PA | ? | PB | 的最小值 是 .

14、如果直线 y ? ? 3 x ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 1在第一象限内有两个不同的交点,那么实数 m 的取值 3 范围是 15、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn =2- an ,n=1,2,3,?. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 c n =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

16、在 ?ABC 中,已知 (1)求

sin C 的值; sin A

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积。 4

8

高考抢分大演练三(0505)
1、 若 ? ? [

? ?

, ) ,则直线 2 x cos ? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 6 2

2、曲线 y ? e x 在点 (2, e2 ) 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为

3、若圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是 4、若 x2 ? y 2 ? 4 ,则 x ? y 的最大值是 .

5、 实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 5 ,且 x ? 0 , M ?

y?3 ,那么 M 的最小值为 x ?1

6、若动点 ( x, y ) 在曲线

x2 y2 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x ? 2 y 的最大值为_______ 4 b

.

7、方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是
3 2

3 2 8、已知 a ? 5 ,方程 x ? ax ? 1 ? 0 在区间 (0,3) 内根的个数是

.

3 9、若曲线 y ? ? x ? 3 与直线 y ? ?6 x ? b 相切,则 b ?

10、曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程是
3 2

.

9

? x 11、已知函数 f ( x) ? 4sin x sin 2 ( ? ) ? cos 2 x 4 2
(1)设 ?

? 0 为常数,若 y ? f (? x) 在区间 ?? ? , 2? ? 上是增函数,求 w 的取值范围 ? ?
? 2 3?

? ? 2? ? (2)设集合 A ? ? x ? x ? ? ; B ? x f ( x) ? m ? 2 ,若 A ? 3? ? 6

?

?

B ,求实数 m 的取值范围。

12、某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场.如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别 以 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方 均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元。 (1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r )。 (2)由于条件限制 r ? [30, 40] ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?(精确到元)

10

解:(1)塑胶跑道面积,

10000 ? ? r 2 80000 ? 8? r ? 64? ?????.6 分 S ? ? [r ? (r ? 8) ] ? 8 ? ?2 ? r 2r
2 2

∵ ? r 2 ? 10000

∴0 ? r ?

100

?

???????????????8 分

(2)设运动场的造价为 y 元

y ? 150 ? (

80000 80000 ? 8? r ? 64? ) ? 30 ? (10000 ? ? 8? r ? 64? ) r r

? 300000 ? 120 ? (
令 f (r ) ?

80000 ? 8?r ) ? 7680 ? ??????????12 分 r

80000 80000 ? 8? r ∵ f '( r ) ? 8? ? r r2

当 r ??30,40? 时 f '(r ) ? 0 ∴函数 y ? 300000 ? 120 ? (

80000 ? 8?r ) ? 7680? 在 [30, 40] 上为减函数. r

∴当 r ? 40 时, ymin ? 636510 . ???14 分 答:运动场的造价最低为 636510 元. ?????15 分

11

高考抢分大演练三(0507)
1、设 sin ? ?

3 ? 1 ( ? ? ? ? ), tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? ? ? )= 5 2 2

2、已知 a ? (?2,1), b ? (t, ?2), 若a与b 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是

?

?

? ?

3、直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? ln x 相切,则实数 k=

4、已知函数 f ( x) ? ?

?3x , x ? 2 ? f ( x ? 1), x ? 2

,则 f (2 ? log3 2) =

5、已知 cos(? ?

?

3 ? ) ? , ? ? ( , ? ) 则cos ? ? 4 5 2

6、 函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, k 则 的取值范围是_________ _.

7、已知数列 {an } ,满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,则 {an } 的通项

8、关于 x 的方程 k ? 4 ? k ? 2
x

x ?1

? 6(k ? 5) ? 0 在区间[0,1]上有解,则实数 k 的取值范围

9、已知数列 {an } , ?bn ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, b1 ? 2 ,且对任意的正整数 i, j, k , l , 当 i ? j ? k ? l 时,都有 ai ? b j ? ak ? bl ,则

1 2010 ? (ai ? bi ) ? ________ 2010 i ?1

10、使不等式 的值为

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? a ? 2009 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

11、已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x, g ( x) ? log a x ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 没有极值点,且 2

h ?(x ) 存在零点,则实数 a 的值为

12

12、 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, ? 平面 ABCD, PA PA=AD, AB= 2 AD,E 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且 (1)判断 EF 与平面 PBC 的关系,并证明; (2)当 ? 为何值时,DF ? 平面 PAC?并证明. E

PE BF ? ? ? (? ? 0) ED FA

P

A F B 13、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求 F ( x) 的单调区间; (2)若以 y ? F ( x)( x ? (0,3] )图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值; C

D

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

1 恒成立, 2

14、已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? a ? 1(a ? 1, a 为实常数),前 n 项和 S n 恒为正值,

1 1 1 . ? ? S n a n a n ?1 (1)求证:数列 ?S n ? 是等比数列; (2)设 an 与 a n ? 2 的等差中项为 A ,比较 A 与 a n ?1 的大小;
且当 n ? 2 时,

13

12、 (1)作 FG // BC 交 CD 于 G,连接 EG,则而

BF CG ? , FA GD

?

PE BF ? ? ?, ED FA

PE CG ? ,? PC // EG, 又 FG // BC, BC ? PC ? C, FG ? GE ? G ED GD ? 平面 PBC // 平面 EFG。又 EF ? 平面 PBC,? EF // 平面 PBC.………………………………6 ?
分 (2) 、当 ? ? 1 时,DF ? 平面 PAC. …………………………………………………………8 分 证明如下:

? ? ? 1 ,则 F 为 AB 的中点,又 AB= 2 AD,AF=

1 AB ,? 在 Rt ? FAD 与 Rt ? ACD 中, 2

tan ?AFD ?

AD

AF ?

AD CD 2 AD ? 2, tan ?CAD ? ? ? 2 ,………11 分 AD AD 2 AD 2

??AFD ? ?CAD.? AC ? DF , 又? PA ? 平面 ABCD,DF ? 平面 ABCD,? PA ? DF ,
? DF ? 平面 PAC. ………………………………………………………………14 分 a 1 a x?a ' ( x ? 0) .………2 分 13、 (1) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ( x ? 0), F ( x) ? ? 2 ? x x x x2
因为 a ? 0 由 F ' ( x) ? 0 ? x ? (a, ??) ,所以 F ( x) 在上单调递增;由

F ' ( x) ? 0 ? x ? (0, a) ,
所以 F ( x) 在 (0, a ) 上单调递减. ………………………………………………………………5 分 (2) F ( x) ?
'

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ' ( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3) 恒成立,………7 分 2 x x0 2
1 1 1 1 2 x0 ? x0 ) max , 当 x0 ? 1 时取得最大值 。 所以,a ? , 所以 amin ? .……10 2 2 2 2

即 a ? (? 分

(3)因为 x ? e ,所以 x ln x ? ax ? a ? a ? 则 h ( x) ?
'

x ln x x ln x , x ? [e, ??) , ,令 h( x) ? x ?1 x ?1

x ? ln x ? 1 .………………………………………………………………12 分 ( x ? 1)2
1 ? 0 ,所以 x ? ln x ? 1 ? e ? ln e ? 1 ? e ? 2 ? 0 , x e e ? h (e) ? ,所以 a ? .………………………16 分 e ?1 e ?1
'

因为当 x ? e 时, ( x ? ln x ? 1) ? 1 ? 所以 h ( x) ? 0 ,所以 h( x) min
'

14、解: (1)当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , S n a n a n ?1 S n ? S n ?1 S n ?1 ? S N
14

化简得 S n ? S n ?1 S n ?1 (n ? 3) ,又由 a1 ? 1 , a2 ? a ? 1 得
2 2

1 1 1 ? ? , a a ? 1 a3
2

解得 a3 ? a(a ? 1) ,∴ S1 ? 1, S 2 ? a, S 3 ? a ,也满足 S n ? S n ?1 S n ?1 ,而 S n 恒为正值, ∴数列 ?S n ? 是等比数列. 分 (2) ?S n ?的首项为 1,公比为 a , S n ? a ∴ an ? ?
n ?1 n?2 .当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (a ? 1)a ,

?? 4

1, n ?1 ? . n?2 ?(a ? 1)a , n ? 2
a1 ? a3 a 2 ? 3a ? 3 1 3 3 3 ? a2 ? ? [(a ? )2 ? ] ? , 此 时 2 2 2 2 4 8

当 n ? 1 时 , A ? an ?1 ?

A ? an?1 .…6 分
当 n ? 2 时, A ? a n ?1

an ? an?2 (a ? 1)a n ?2 ? (a ? 1)a n ? ? a n ?1 ? ? (a ? 1)a n ?1 2 2

?
a ? 1,

(a ? 1)a n ?2 (a 2 ? 2a ? 1) (a ? 1) 3 a n ?2 ? .∵ S n 恒 为 正 值 ∴ a ? 0 且 2 2

若 0 ? a ? 1 ,则 A ? an?1 ? 0 ,若 a. ? 1 ,则 A ? an?1 ? 0 .综上可得,当 n ? 1 时, A ? an?1 ; 当 n ? 2 时,若 0 ? a ? 1 ,则 A ? an?1 ,若 a. ? 1 ,则 A ? an?1 .

??10 分

15

高考抢分大演练三(0510)
1、若 a ? b ? c ? 0, a, b 的夹角为 600 , a, b 的模分别为 3 和 4,则 c 的模为 2、已知数列 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10, S10 ? 70, 则其公差 d= 3、已知 OA ? (1,1), OB ? (?1, 2),以OA, OB 为边作平行四边形 OACB,则 OC与AB 的夹角的余 弦为 4、若 ? ? [

? ? ? ? ? ?

? ?

?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? ?

, ) ,则直线 2cos ? ? x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 6 2
; .

5、(1)函数 y=x+ 16 (x>-2)的最小值 x+ 2 (2)已知 x<

5 1 , 则 y=4x-1+ 的最大值 4 4x - 5

6、(1)已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 则 xy 的最大值 (2)已知 x , y∈R+ 且 x+2y=1 , 则 1 + 1 的最小值 x y

.

7、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦 AB, 以 AB 为直径的圆经过原点,则直线 l 的方程为 8、函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?
4

? x) ? 3 的最小值为

9、已知 a ? log0.7 0.9, b ? log1.1 0.7, c ? 1.10.9 ,则 a ,b,c 的大小关系为 10、已知函数 f ( x ) ? ?

?ax 2 ? 1, x ? 0 ? 是 R 上的单调函数,则实数 a 取值范围 ?(a ? 2)e ax , x ? 0 ?

11、若不等式 loga x ? sin 2 x(a ? 0, a ? 1) 对任意 x ? (0, 12、已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
4

) 都成立,则 a 的取值范围

7? 3? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4 (1) 求 f ( x) 的最小正周期和最小值; 4 4 ? (2) 已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? .求 f ( ? ) 的值. 5 5 2

16

13、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点. (1) 求证: AC ? DE ; (2) 当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,证明 EC ? 平面 PAB .

P

E D C

A

B

14、如图,已知:椭圆 M 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,AF=5BF.若椭 圆 M 经过点 C,C 在 AB 上的射影为 F,且△ABC 的面积为 5. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)已知圆 O: x2 +y 2 =1,直线 l : mx ? ny =1,试证明:当点 P(m,n)在椭圆 M 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围. y
C

A F1

O

F

B

x

17

(Ⅰ)由题意设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,半焦距为 c, a 2 b2

由 AF=5BF,且 AF=a+c,BF=a—c,∴a+c=5(a-c) ,得 2a=3c.(1)由题意 CF⊥AB,设 点 C 坐标(c,y) ,C 在 M 上,代入得 y ? b (1 ?
2 2

c2 (a 2 ? c 2 ) 2 a2 ? c2 )? ∴y? . 由△ABC a2 a2 a

的面积为 5,得

1 a2 ? c2 ? 2a ? ? 5 , a 2 ? c 2 =5.(2) 2 a x2 y 2 ? ? 1. 9 5 m2 n2 ? ? 1, 9 5

2 2 2 解(1) (2)得 a=3, c=2. ∴ b ? a ? c =9—4=5.∴所求椭圆 M 的方程为:

(Ⅱ) 圆 O 到直线 l : mx ? ny =1 距离 d=

1 m2 ? n2

,由点 P(m,n)在椭圆 M 上,则

m2 n2 1 ? ,∴ m2 ? n2 ? 1, m2 ? n2 >1, ∴d = 显然 m ? n ? <1, 2 9 5 m ? n2
2 2

而圆 O 的半径为 1,直线 l 与圆 O 恒相交.

m2 n2 m2 1 2 ? ? 1 得 n ? 5(1 ? ), 弦长 t=2 1 ? d =2 1 ? 2 ,由 9 5 9 m ? n2
2



1 9 9 2 2 ? | , t=2 1 ? , ? m |? a ,∴ 0 ? m ? 9 , 45 ? 4m ? 45 ? 81 , 2 2 2 m ?n 4m ? 45 4m ? 45
2



4 9 8 4 5 4 2 ? 1? ? ,弦长 t 的取值范围是[ ]. , 2 5 4m ? 45 9 5 3

18

高考抢分大演练三(0512)
1、如果曲线 y ? x 4 ? x 在点 P 处的切线的切线垂直于直线 y ? ?

1 x, 那么点 P 的坐标为 3

2、若 ? , ? ? [ ?

? ?

, ] ,且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下面结论正确的是 2 2
(2) ? ? ? ? 0; (3) ? ? ? ; (4)

(1) ? ? ? ;

?2 ? ?2

3、过曲线 xy ? a 2 (a ? 0) 上任意一点处的切线,与两坐标轴构成的直角三角形的面积是

4、设等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,若 S3 ? 12, S 6 ? 42, 则 a10 ? a11 ? a12 ?

5、已知两个等差数列 {a n } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 2n ? 1 a ,则 9 ? ? b9 Bn n ?1

6、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为
2 2 2

7、已知向量 a ? (2,?1),b ? (?1, m), c ? (?1,2) ,若 (a ? b) || c ,则 m=

8、等比数列 {a n } 的公比 q ? 0 ,已知 a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? 2an ,则 {a n } 的前 2010 项和等于

9、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,且 S n ? 2n ? an ,则数列 {a n } 的通项公式是

19

10、在所有棱长都相等的斜三棱柱 ABC ? DEF 中,已知 BF ? AE , BF ? CE ? O ,且

AB ? AE ,连接 AO .
(1)求证: AO ? 平面 FEBC ; (2)求证:四边形 BCFE 为正方形.

A D
C

F

O

B E
第 10 题图

? ? 11、已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? 2 5 . 5

?

?

(Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?, ? 5 ? ? ? ? 0 ,且 sin ? ? ? ,求 sin ? 的值
2
2
13

12、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(1)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数 u( x) ? e

2x

? bex , x ? [0, ln 2] ,求 u (x) 的最小值

20

高考抢分大演练三(0514)
1、直线 x ? ay ? 3 ? 0 与直线 ax ? 4 y ? 6 ? 0 平行的充要条件是 . .
E

2、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? S6 ? S9 ,则数列 ?an ? 的公比 q 是 3、如图,沿田字型的路线从 A 往 N 走,且只能向右或向下走, 随机地选一种走法,则经过点 C 的概率是 .
A

D

B

4、实数 x 满足 log3 x ? 1 ? sin ? ,则 | x ? 1| ? | x ? 9 | 的值为 .
2

C

F

S

M
第 3 题图

N

5、与抛物线 y ? x 有且仅有一个公共点,并且过点 ?1,1? 的直线方程为



6、空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,另一条直线 l 与这三条直线所成的角 均为 ? ,则 tan? ? . 个单位,可得一个偶函数的图象.

5? ? ? 7、将函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移至少 ? ? ?

8、设 {a n } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {a n } 为递增数列”的
n

条件

9、 若关于 x 的不等式 x ?
2

1 1 则实数 ? 的 x ? ( ) ? 0 对任意正整数 n 在 x ? (??, ? ) 上恒成立, 2 2

取值范围是 10、有限数列 A ? (a1 , a2 ,? ? ?, an ), S n 为其前 n 项的和,定义

S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n 为数列 A 的“凯 n

森 和 ” 若 有 99 项 的 数 列 (a1 , a2 ,? ? ?, a99 ) 的 “ 凯 森 和 ” 为 1000 , 则 有 100 项 的 数 列 ,

(1, a1 , a2 ,? ? ?, a99 ) 的“凯森和”为
11、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, an ? logn (n ? 1)(n ? 2, n ? N * ) ,定义:使乘积 a1a2 a3 ? ? ? ak 为

] 正整数的 k 叫做和谐数,则在区间 [1,2011 内所有的和谐数的和为

12 ? , ? ? 是第一象限角,则 12、已知 cos( ? ? ) ? 4 13 4

?

sin( ? 2? ) 2 的值为 sin( ? ? ) 4

?

?

21

13、已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x. (2)求函数的单调区间;

(1)求函数 f (x) 的零点的集合; (3)若 x ? [0,

?
2

) 的值域

14、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ? 90o , AD ? BC . E , F 分别为棱 AB , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PE ? BC ; (Ⅱ)求证: EF // 平面PAD ;

15、甲方是一农场,乙方是以工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索 赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t (吨)满足函数关系: x ? 2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付 价格) 。 (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最 大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 (元) ,在乙方按照获得最大利润的 t
2

产量进行生产的前提下,甲方要想在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多 少?

22

若不等式组 ?

?| x | ? | y |? 2 表示的平面区域是一个三角形,则 k 的取值范围是 ? y ? 2 ? k ( x ? 1)

?4 x ? 1, x ? 0, ? 已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有两个大于零的实数根,则实数 a 1 ? f ( x ? ), x ? 0, 2 ?
的取值范围

95、已知数列 {a n } 、 {bn } 、 {cn } 的通项公式满足: bn ? an?1 ? an , cn ? bn?1 ? bn (n ? N * ) ,若 数列 {bn } 是一个非零常数列,则称数列 {an } 是一阶等差数列;若数列 {cn } 是一个非零常数列, 则称数列 {a n } 是二阶等差数列。 (1)试写出满足条件 a1 ? 1, b1 ? 1, cn ? 1 的二阶等差数列 {a n } 的前五项; (2)求满足条件(1)的二阶等差数列 {a n } 的通项公式; (3)若数列 {a n } 的首项 a1 ? 2 , 且满足 cn ? bn?1 ? 3an ? ?2 n?1 (n ? N * ) , 求数列 {a n } 的通项公式

附加题:

23

设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和, S n ? 且

3 (a n ? 1)( n ? N * ) , {bn } 的通项公式是 bn ? 4n ? 5. 数列 2

(1)求证:数列 {an } 是等比数列; (2)若 d ? (?a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ,? ? ??? ? 1 , b2 , b3 ,? ? ?, bn ,? ? ??) 则称 d 为数列 {an } 和 {bn } 的公共项, b 按它们在原数列的先后顺序排成一个新的数列 ?d n ?,求数列 ?d n ?的通项公式

69、 如果函数 f ( x) ? log2 | ax ? 1 | (a ? 0) , x ? 当 值为

1 时, f ( x) ? f (1 ? x) , 有 则实数 a 的 2

71、 A、 分别为椭圆 设 B 是它的右准线, (1) 求椭圆方程;

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、 右顶点, 椭圆长半轴长等于焦距, x ? 4 且 a 2 b2

72、已知二次函数 y ?

f (x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {a n } 的前 n f (x ) 的图像上.

项和

为 Sn ,点 (n, S n ) (n?N*) 均在函数 y ? (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? 数m;

m 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n?N*都成立的最小正整 20 a n a n ?1

已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点 M ? 1,

? 2 5? ? 5? ? ,N ? ?2, ? ,若圆 C 的不圆心与椭圆的 ? ? 5 ? 5 ? ? ? ? ?

右焦点重合,圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长,已知点 A ( x, y ) 为圆 C 上的一点. (1)求椭圆的标准方程和圆的标准方程; (2)求 AC ? AO ? 2 | AC ? AO | (O 为坐标原点)的取值范围; 24

(3)求 x 2 ? y 2 的最大值和最小值.

4 ? ?m ? 5 n ? 1, 1 ? 解(1)设椭圆的标准方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 ,依题意可得 ? ,可得 m ? , n ? 1 , 5 ? 4m ? 1 n ? 1 ? 5 ?
所以,所求椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.…………………………………………3 分 5

因为圆的圆心 C 和椭圆的右焦点重合,圆的半径恰为椭圆的短半轴长, 故园的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1.…………………………………………………5 分 (2)由(1)得圆心 C(1,2) ,所以,而 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0, 则 x ? y2 ? 4x ? 3,
2

所以 AC ? AO ? 2 AC ? AO ? 2 x ? 1 ,…………………………………………………7 分 而 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1, 则 ( x ? 2)2 ? 1,即 ?1 ? x ? 2 ? 1, 即 1 ? x ? 3 , 因此,从而 AC ? AO ? 2 AC ? AO (O 为坐标原点)的取值范围为 [3, 7] .………10 分 (3) x 2 ? y 2 表示圆上点 P ( x, y ) 与坐标原点 O 的距离的平方,因为原点 O 到圆心 C(2,0)的 距离为 2, 圆的半径为 1,所以 P ( x, y ) 与坐标原点 O 的距离的最小值为 2-1=1, 与坐标原点 O 的距离的最大值为 2+1=3,故 x ? y 的最大值为 9,最小值 1. …………14
2 2

???? ????

???? ????

???? ????

???? ????



83、设 f ( x) ?

a ? x ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在 x=1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0,2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M;

高考抢分大演练八

25

96、已知平面向量 | a |? 2, | b |? 1, 且(a ? b) ? (a ?

5 b) 则 a 与 b 的夹角为 2

97、曲线 y ? e x 在点 (2, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 98、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0, S50 ? 0.设bn ? an an?1an?2 (n ? N * ) ,则当数列

?bn ?的前 n 项和 Tn 最大时,n 的值为
99、若 ? ? [

? ?
1 2

, ) ,则直线 2 x cos? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 6 2

2 2 100、过点 M ( ,1) 的直线 l与圆C : ( x ? 1) ? y ? 4 交于 A、B 两点,当 ?ACB 最小时,直线

l 的方程为

{ 101、 若数列 {a n } 、 bn } 的通项公式分别为 a n ? (?1)
任意 n ? N 恒成立,则实数 a 的取值范围为
*

n ? 2009

? a, bn ? 2 ?

(?1) n ? 2010 , a n ? bn 对 且 n

102、在 ?ABC 中,已知 2 sin A ? 3 cos A. (1)若 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc 求实数 m 的值;(2)若 ,

a ? 3, 求 ?ABC 的面积的最大值。

103、设锐角 ?ABC 中, a ? 2b sin A ,(1)求角 B 的大小;(2)求 cos A ? cos C 的取值范围

104、已知向量 a ? ( 3 sin 3x,? y),b ? (m, cos3x ? m)(m ? R),且a ? b ? 0, 设y ? f ( x)

26

(1)求 f (x) 的表达式,并求函数 f (x) 在 [ (2)若对任意 x ? [0,

, ? ] 上图像最低点 M 的坐标; 18 9

? 2

?
9

], f ( x) ? t ? 9 x ? 1 恒成立,求实数 t 的范围

105、已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创立 3.5 万元,为应对国际金融危机给企 业带来的不利影响,该企业实施“优化重组、分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗。为 维持生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗员工发放生活 补贴 0.5 万元。据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员工每人每年可为企业 多创利 (1 ?

16 ) 万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留岗员工每人每年可为企业多 25 x

创利 0.9 万元。为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?

高考抢分大演练九
106、在 ?ABC 中,若 sin A sin B cos C ? sin A sin C cos B ? sin B sin C cos A, 则 为 107、已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x, ? ? 0 ,如果存在实数 x1 ,使得对任意的实数 x,都有

ab 的最大值 c2

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2009 成立,则 ? 的最小值为 )
2 108、函数 f ( x) ? x ( x ? a) 在区间 (0, ) 内是减函数,则实数 a 的取值范围

2 3

109、连续掷两次骰子,出现点数之和等于 4 的概率为

(结果用数值表示)

1 110、若双曲线经过点(3, 2),且渐近线方程是 y=± x,则这条双曲线的方程是 3 x-m+1 1 1 111、若不等式 <0 成立的一个充分非必要条件是 <x< ,则实数 m 的取值范围是 x-2m 3 2 112、已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是 .

27

113、已知 x ? 0, y ? 0, 且x ? 2 y ? 2, 则

1 2 ? 的最小值为 x y
20 ,?? ) 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 使 方 程 3

114 、 若 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 .(a ? 0) 在 区 间 (

f ( x) ? 1 0 0 有整数解的实数 a 的个数是 0
115、已知数列 ?an ? 的各项为正数, a1 ? 3 且S n ? 式为 116、已知?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长分别为 a , b, c ,向量 m ? (sin B,1 ? cos B) 与向 量 n ? (2,0) 夹角 ? 余弦值为 (1)求角 B 的大小; 117、

a n (a n ? 1) , n ? N * ,求数列 ?an ? 的通项公 2

1 。 2
(2)?ABC 外接圆半径为 1,求 a ? c 范围

118、已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有 一个元素; ②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。 设数列 {an } 的 前 n 项和 S n ? f (n) 。 (1)求 f (x) 表达式; (2)求数列 {an } 的通项公式;

28

已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b (a, b ? R) . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 为 f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 a, b 值

17.某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一车 型的车队 (这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s)匀速通过该隧道, , 设车队的速度为 xm/s, 根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 10 ? x ? 20

( x ? 时,相邻两车之间保持
2

1 6

1 x ) m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第 55 辆车尾离 3

开隧道所用的时间为 y (s) 。 (1) y 表示为 x 的函数。 2) 将 ( 求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。 3 ? 1.73

?

?

16、(1) ? m ? 2sin

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ? B B B m?n B m ? n ? 4sin cos ? , | m |? 2sin , | n |? 2 ,? cos ? ? ?? ? ? cos 2 2 2 2 | m|?| n |
B ? B 1 2? ? , 0 ? ? ? ? 得 ? ,即 B ? 2 3 2 2 3 2? ? (2)? B ? ,? A ? C ? 3 3
由 cos

? B B B (cos ,sin ) , n ? 2(1,0) , 2 2 2

? sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? A) 3 ? sin A ? sin sin A 3 3 1 3 ? ? sin A ? cos A ? sin( ? A) 2 2 3
又0 ? A ?

?

?

cos A ? cos

?

?
3

,?

?
3

?

?
3

? A?

2? 3 ? ? sin( ? A) ? 1 ,? 3 2 3

所以 sin A ? sin C ? (

3 ,1] 2
29

又 a ? c = 2 R sin A ? 2 R sin C = 2 17、解:当 0 ? x ? 10 时, y ?

?sin A ? sin C ? ,所以 a ? c ? ?

3, 2 ? 。 ?

2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? x x 1 1 2150? 10 ? 55 ? ( x 2 ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时, y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x 3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 ? 378( s) (1) 当 x ? (0,10] 时,在 x ? 10 时, y min ? 10
当 x ? (10,20]时, y ?

2700 2700 ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x

? 329.4( s)
当且仅当 9 x ?

2700 ,即: x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x

因为 17.3 ? (10,20] ,所以 当 x ? 17.3(m / s) 时, y min ? 329.4(s) 因为

378 ? 329 .4

所以,当车队的速度为 17.3(m / s) 时,车队通过隧道时间 y 有最小值 329.4( s) 18、解: (1)设函数 g ( x) 图像与 x 轴的交点坐标为( a ,0) , 又∵点( a ,0)也在函数 f ( x ) 的图像上,∴ a ? a ? 0 .
3 2

而 a ? 0 ,∴ a ? ?1 .

(2)由题意可知

f ( x) ? g ( x) ? a( x ? p)( x ? q) .
1 ,∴ a( x ? p)( x ? q) ? 0 ,∴当 x ? ? 0, p ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0, a

?0 ? x ? p ? q ?
即 f ( x) ? g ( x) .

又 f ( x) ? ( p ? a) ? a( x ? p)( x ? q) ? x ? a ? ( p ? a) ? ( x ? p)(ax ? aq ? 1) ,

x ? p ? 0, 且ax ? aq ? 1 ? 1 ? aq ? 0, ∴ f ( x) ? ( p ? a) <0, ∴ f ( x) ? p ? a ,
综上可知, g ( x) ? f ? x ? ? p ? a . 30

19、解(1)? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,? ? ? a 2 ? 4a ? 0 ? a ? 0或a ? 4, 当 a=4 时 , 函 数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4在(0,2) 上 递 减 , 故 存 在 0 ? x1 ? x2 , 使 得 不 等 式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,当 a=0 时,函数 f ( x) ? x 2 在(0,??) 上递增
故不存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,综上,得 a=4, f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4 (2)由(1)可知 S n ? n 2 ? 4n ? 4 ,当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (n 2 ? 4n ? 4) ? [(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 4] ? 2n ? 5

?1, n ? 1 ? an ? sn ? sn?1 ? ? n?2 ?2n ? 5
117、

112、已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是

2



如图 1, ?ABC 中, AB ? AC , AD ? DC , BD ? 3 . 解法 1:设 AD ? CD ? m ,则 AB ? 2m ,在 ?ABD 中, cos ?ADB ? 中 , cos ?CDB ?
3 ? m2 ? BC 2 2 3m 3 ? m 2 ? 4m 2 2 3m

,在 ?BDC

? s ? 0 , 由 c o s A D B? c o? C D B 可 得 , BC 2 ? 6 ? 2m2 , 所 以

cos A ?

?9m4 ? 30m2 ? 9 5m2 ? 3 , sin A ? 则 , S?ABC 故 4m 2 4m2

5? ? ?9 ? m 2 ? ? ? 16 3? ?9m 4 ? 30m 2 ? 9 ? ? ? , 2 2

2

易知当 m2 ?

5 时,面积的最大值是 2. 3

注:避免求边 BC ,优化此解法,考虑 ?ABD 中,有 cos A ? 样可解.

5m2 ? 3 ,而 S?ABC ? 2S?ABD ,同 4m2

解法 2:以 BD 中点 O 为原点, BD 所在直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系,设
2 2 ?? ? ? 3? 3? 2 ? y 2 ? 4 ?? x ? A ? x, y ? ,则 AB ? 2AD ,即 ? x ? ? ? ? y ? ,整理得, ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?? ?

? 2 5 3? 4 2 ,所以 S?ABC ? BD ? y ? 3 y ? 2 . ?x? ? ? y ? ,即有 y ? ? 6 ? 3 3 ? ?

2

31

解法 3:以 BC 中点 O 为原点, BC 所在直线为 x 轴建立如图 3 所示的平 ?m n? 面 直 角 坐 标 系 , 设 C ? m,0 ? , B ? ?m,0 ? , A ? 0, n ? , 则 D ? , ? , 所 以 ? 2 2?
2 2

? 3m ? ? n ? BD 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ,而 S?ABC ? 2 ? ? 2?

? 3m ? ? n ? ? 4 3m n 4 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ,当 ? mn ? ? ? ? ? 2 3 2 2 3

2

2

且仅当 n ? 3m 时,取等. 解法 4:如图 4,作 AO ? BC 于点 O ,交 BD 于点 G ,则 G 为 ?ABC 的 重心,则有 BG ? CG ? 所 以 S?A
2 2 3 BD ? , 3 3

B

? 3 ?S C

1 ? B ?G 3 2

C

?B G ? i Gn? s C

B G 2 Cs i , 当 G C ? ? n B 2

?B G ?C 时,取等. 2

?

114 、 若 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 .(a ? 0) 在 区 间 (

20 ,?? ) 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 使 方 程 3

f ( x) ? 1 0 0 有整数解的实数 a 的个数是 0

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 0 又 x=0 时 取 极 大 值 f (0) ? 0 2a x? 或想 ? 0..即0 ? a ? 10 3
x?


故 f ( x) ? 1000的 解 只 能 在

2a 1000 2a 3 2 时单增 上取,由 x ? ax ? 1000 得到 a ? x ? 2 ? h( x)在x ? 3 3 x

h(10) ? 0 故 x 只能取 11,12,13,14 h(15) ? 10

课后作业: 95、已知圆 P: x ? ( y ? 2) ? 1 ,Q 为 x 轴上的动点,圆 Q 与圆 P 相外切,圆 Q 与 x 轴交于
2 2

M,N 两点。 (1)若圆 Q 与圆 P 的内公切线恰好过坐标原点,求圆 Q 的方程; (2) y 轴上是否存在定点 A, 在 使得 ?MAN 为定值?若存在, 求出定点 A 的坐标; 若不存在, 请说明理由。

32

高考抢分大演练十
119、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 120、若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 121、 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A(,2 点 0) 到该抛物线准线的距离为_____________ .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, B 则

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线 122、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 a b 25 9
的焦点坐标为 123、 已知双曲线 ;渐近线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物 a 2 b2

线 y 2 ? 16 x 的焦点相同。则双曲线的方程为
2 x0 x2 2 2 ? y ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0 ? ? y0 ? 1 ,则| PF1 |+ PF2 | 124、 已知椭圆 c : 2 2

的取值范围为_______,直线 125、设 a>b>0 ,则 a ?
2

x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数 2

1 1 的最小值是__________. ? ab a ? a ? b ?
2

126、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为__________. 127、已知 正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么 当该棱锥的体 积最大时 ,它的高 为 __________.

B C 128、 已知向量 m ? (sin A, sin B) , ? (cosB, cos A) , ? n ? sin 2C , 其中 A 、 、 为 ?ABC m n 的内角. (Ⅰ)求角 C 的大小;
(Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 AB 的长.

33

129、如图,在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, ?ACB ? 90 , E, F , G 分别是 AA , AC, BB1 的中点, 1 1
0

且 CG ? C1G .

学科网

(Ⅰ)求证: CG // 平面BEF ;

学科网

(Ⅱ)求证:平面 BEF ? 平面 AC1G . 1

C1

A1

B1

E

C
F

G

A

B

130、已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A( a, 0) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、 l2 都相切,求圆 M 的 方程; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程.

34

高考抢分大演练十一
131、将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频 率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 132、在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 133、 集合 A ? ?( x, y) | y ?| x ? 1 |?,集合 A ? ?( x, y) | y ? ? x ? 5?,先后掷两颗骰子,设掷 一颗骰子得到的点数为 a,掷第二颗骰子得到的点数为 b,则 (a, b) ? ( A ? B) 的概率是 134、 在复平面内,复数

2i 的共轭复数对应的点的坐标为 1? i

135、 函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的一个零点所在区间为 (k , k ? 1), (k ? N ) ,则 k 的值为 136、 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? a3 ? 1 ,则使不等式

(a1 ?

1 1 1 1 ) ? (a2 ? ) ? (a3 ? ) ? ??? ? (an ? ) ? 0 成立的最大自然数 n 是 a1 a2 a3 an


2 x b 137、已知函数 f ( x) ? x ? 2x , ? ? a ,? 的值域为 ? ?1,? ,则 b ? a 的取值范围是 3

138、 若关于 x 的不等式 ax 2 ? 6 x ? a 2 ? 0 的解集为(1, m),则实数 m= . 139、将边长为 2 的正三角形 ABC 沿高 AD 折成直二面角 B-AD-C,则三棱锥 B-ADC 的外接圆 的表面积是 140、 在数列 {an } 中, 已知 a1 ? 2 , a2 ? 3 , n ? 2 时, n ?1 是 an ? an ?1 的个位数, a2010 ? 当 则 a 141、已知向量 a ? (1,?2),b ? ( x, y). (1)若 x ,y 分别表示将一枚质地均匀的正方形骰子,先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足 a ? b ? ?1 的概率; .

(2)若 x, y ? [1,6] ,求满足 a ? b ? 0 的概率。

35

142、如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,E 是 CD 的中点。 (1)求证: A1C // 平面AD1 E; (2)在对角线 A1C 上是否存在点 P,使得 DP ? 平面AD1 E ?若存在,求出 CP 的长;若不存在, 请说明理由。

143、已知函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a), a ? R ,求此函数在[1,2]上的最小值 h(a).

36

高考抢分大演练十二
144、 (全国 2) (1) ?ABC 中,D 为边 BC 上的点,BD=33, sin B ? AD.

5 3 , cos ?ADC ? , 求 13 5

(2) (四川)已知 ?ABC 的面积 S ?

1 3 , AB ? AC ? 3, 且 cos B ? , 求 cos C 2 5

145、 (湖北)已知函数 f ( x) ? cos( (1)求函数 f (x) 的最小正周期;

?
3

? x) cos(

?
3

? x), g ( x) ?

1 1 sin 2 x ? . 2 4

(2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值,并求使 h(x) 取得最大值的 x 的集合。

146、 (重庆)设函数 f ( x) ? cos( x ? (1) 求函数 f (x) 的值域;

2? x ) ? 2 cos 2 , x ? R 。 3 2

(2)在 ?ABC 中,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3, 求实数 a 的值。

147、 (新课标)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 ? 2 (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 S n .

2n?1

.(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

148、 (湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。 37

某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:

C ( x) ?

k (0 ? x ? 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f (x) 为隔热层建 3x ? 5
(1)求 k 的值及 f (x) 的表达式;

造费用与 20 年的能源消耗费用之和。

(2)隔热层修建多厚时,总费用 f (x) 达到最小值,并求最小值。

149、 (北京) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE ? AC, EF // AC ,

AB ? 2, CE ? EF ? 1. (1)求证: AF // 平面BDE;

(2)求证: CF ? 平面BDE

150、 (全国 1)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1. (1)若 xf ( x) ? x ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围;
/ 2

(2)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0.

x 2 151、 (新课标)设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax . (1)若 a =0,求 f (x) 的单调区间;

(2)若当 x ? 0时,f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围

38

高考抢分大演练十三
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭圆 0) 0) a 2 b2

152、已知椭圆

上存在点 P (异于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF F2 ? a sin ?PF2 F ,则该椭圆离心率的取值范 1 1 围是 .

153、已知函数 f ( x ) ? x ? 则实数 p 的值为

p ( p 为常数且 p ? 0 ) ,若 f ( x ) 在区间 (1, ? ?) 的最小值为 4 , x ?1
.
3

154、已知 t 为常数,函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? t ? 1 在区间 ? ?2 ,1? 上的最大值为 2,则实数

t?



155、已知圆 O: x2+y2=2 交 x 轴于 A,B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆,其左焦点 2

为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; y Q P

A

F

O

B x

156、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

157、 已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 , P 在直线 l 上, P 点 点 过 作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点 39

的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ? 2 时,求直线 CD 的方程;

158、已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a , a2 ? a1 ,当 n ? N 且

?

n ? 2 时,an ? f (an ?1 ) 且 f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) .其中 a 、k 均为非零常数.若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值;

159、已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D ,且 | CD |? 4 10 .(1)求直线 CD 的方程; ⑵求圆 P 的方程。

160、已知椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的左、右两个顶点分别为 A, 2 2 a b

B,AB=4,直线 x ? t (?2 ? t ? 2) 与椭圆相交于 M,N 两点,经过三点 A,M,N 的圆与经过三 点 B,M,N 的圆分别记为圆 C1 与圆 C2. (1)求椭圆的方程; (2)求证:无论 t 如何变化,圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值; A O N y l:x=t M B x

40

答案:

152、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭圆 0) 0) a 2 b2

上存在点 P (异于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF F2 ? a sin ?PF2 F ,则该椭圆离心率的取 1 1 值范围是 .

153、已知函数 f ( x ) ? x ? 则实数 p 的值为

p ( p 为常数且 p ? 0 ) ,若 f ( x ) 在区间 (1, ? ?) 的最小值为 4 , x ?1
.
3

154、已知 t 为常数,函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? t ? 1 在区间 ? ?2 ,1? 上的最大值为 2,则实数

t?
155、已知椭圆



x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的左、右两个顶点分别为 A, 2 2 a b

B,AB=4,直线 x ? t (?2 ? t ? 2) 与椭圆相交于 M,N 两点,经过三点 A,M,N 的圆与经过三 点 B,M,N 的圆分别记为圆 C1 与圆 C2. (1)求椭圆的方程; (2)求证:无论 t 如何变化,圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值; (3)当 t 变化时,求圆 C1 与圆 C2 的面积的和 S 的最小值. A O N y l:x=t M B x

c 3 解: (1)由题意: ? ,2a ? 4 可得: a ? 2, c ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1, a 2

x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆方程为: 4

?????????3 分

4 ?t2 4 ?t2 ) ,N 的坐标 (t ,? ), (2)易得 A 的坐标(-2,0),B 的坐标(2,0),M 的坐标 (t , 2 2
4 ?t2 1 2?t 2 ? t?2 2 2 ? t ????5 分

线段 AM 的中点 P (

k1 ? t ? 2 4 ?t2 , ) ,直线 AM 的斜率 2 4

又 PC1 ? AM , ? 直线 PC1 的斜率

k 2 ? ?2

2?t 2?t

? 直线 PC 的方程
1

y ? ?2

2?t t ?2 4 ?t2 (x ? )? 2?t 2 4 ,

41

3t ? 6 ,0) ? C1 的坐标为 8 ( C1C 2 ?

3t ? 6 ,0 ) 8 同理 C 2 的坐标为 ?????????? 8 分 (

?

3 2 ,即无论 t 如何变化,为圆 C1 与圆 C2 的圆心距是定值.????? 11 分

(2)圆 C1 的半径为
2

AC1 ?

3t ? 10 10 ? 3t BC 2 ? 8 ,圆 C 2 的半径为 8 ,
2



S ? ? AC1 ? ? BC 2

?

?
32

(9t 2 ? 100 )

( ? 2 <t < 2 )

显然 t ? 0 时, S 最小,

S min ?

25? 8 .

????? 15 分

156、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

???? ???? ???? ? OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
解: (Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3 ,满足题意 ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 ∴1 ?

? ?

?

?

| ?k ? 2 | k ?1
2

,k ?

3 , 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4

综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? ∵ OQ ? OM ? ON , ∴ ? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ?

??? ?

???? ???? ?

即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2

y2 ?4 又∵ x ? y ? 4 ,∴ x ? 4
2 0 2 0
2

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ? 0 ,∴ Q 点的轨迹方程是 42

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) , 16 4

轨迹是焦点坐标为 F (0, ?2 3), F2 (0,2 3) ,长轴为 8 的椭圆,并去掉 (?2, 0) 两点.—15 分 1 157、 已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 , P 在直线 l 上, P 点 点 过 作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点 的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ? 2 时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

解: (1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m)2 ? (m ? 2)2 ? 4 ,解之得: m ? 0, m ? 故所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) .

4 5

8 4 5 5

?????????4 分

(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

2 2 ?2k ? 1 ,所以 , ? 2 2 1? k 2
解得, k ? ?1 或 k ? ? 分 (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

??????????6 分

1 ,故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .??8 7

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 ???????????10 分 2 2

化简得: x ? y ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,
2 2

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? 0 ? x ? 1, 故? 解得 ? 或? ? y ? 2 ? y ? 1. ? x ? y ? 2 ? 0,
所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .?????????????14 分 158、已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a , a2 ? a1 ,当 n ? N 且
?

n ? 2 时, an ? f (an ?1 ) 且 f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) .
其中 a 、 k 均为非零常数. (1)若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值; (2)令 bn ? an ?1 ? an (n ? N ) ,若 b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式;
?

43

解: (1)由已知 an ? f (an ?1 ) , f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得

an?1 ? an ? f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?)
由数列 {an } 是等差数列,得 an ?1 ? a n ? an ? an?1 (n ? 2,3,4,? ? ?) 所以, an ? an?1 ? k (an ? an?1 ) , (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得 k ? 1 .???????5 分 (2)由 b1 ? a2 ? a1 ? 0 ,可得

b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1 ) ? k (a2 ? a1 ) ? 0.
且当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) ? ? ? ? ? k n ?1 (a2 ? a1 ) ? 0 所以,当 n ? 2 时,

bn a ?a f (an ) ? f (an ?1 ) k (an ? an ?1 ) ? n ?1 n ? ? ? k ,???????4 分 bn ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 an ? an ?1
因此,数列 {bn } 是一个公比为 k 的等比数列.????????????????1 分 159、已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D ,且 | CD |? 4 10 . (1)求直线 CD 的方程; ⑵求圆 P 的方程;

⑶设点 Q 在圆 P 上,试问使△ QAB 的面积等于 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论. 解:⑴ 直线 AB 的斜率 k ? 1 , AB 中点坐标为 ?1, 2 ? , ∴ 直线 CD 方程为 y ? 2 ? ? ? x ?1?即x+y-3=0 ⑵ 设圆心 P ? a, b ? ,则由 P 在 CD 上得: (4 分)

a ?b?3 ? 0


2 2

又直径 | CD |? 4 10 ,? PA |? 2 10 ,?(a ? 1) ? b ? 40 | 又 PA ? PB ? 24
2 2 ∴ a ? b ? 2a ? 4b ? 27 ? 0

??? ??? ? ?



(7 分)

由① 解得 ②

?

a ? ?3 b ?6 或

?

a ?5 b ? ?2

44

∴ 圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴ P 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 6 ? ? 40 圆
2 2

或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 40
2 2

(9 分)

⑶ AB ?

42 ? 42 ? 4 2 ,∴ 当△ QAB 面积为 8 时 ,点 Q 到直线 AB 的距离为
(12 分)

2 2 。

又圆心 P 到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 且

4 2 ? 2 2 ? 2 10
∴ 圆上共有两个点 Q 使 △ QAB 的面积为 8 . (14 分)

160、已知圆 O: x2+y2=2 交 x 轴于 A,B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆,其左焦点 2

为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; y Q *(3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说 明理由. 解: 因为 a ? (1) 则 b=1, 即 P

2, e ?


2 ,所以 c=1…………………… 分) (2 2
C
的 标 准 方 程 为

A

F

O

B x



x2 ? y 2 ? 1…………………………(4 分) 2
(2)因为 P (1,1),所以 k PF ?

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x(6 分) 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) …………………………(7 分) 所以 kPQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切……………………………………………………(9 分) (3)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ? 2 ? x0 ,所以 k PF ?
2 2

………(10 分)

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 1 x y0
45

……………(12 分)

所以点 Q(-2,

2 x0 ? 2 ) y0

……………… (13 分)

y0 ?
所以 k PQ ?

2 x0 ? 2 y0 y0 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x ? ? ?? 0 , x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0

又 kOP ?

y0 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切……(15 分) x0

80. 已 知 等 差 数 列

{an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a3 ? 5 , S15 ? 225 . 数 列 {bn } 是 等 比 数 列 ,

b3 ? a2 ? a3 , b2b5 ? 128 (其中 n ? 1, 2,3,? ).
(I)求数列

{an } 和 {bn } 的通项公式;

(II)记

cn ? anbn , 求数列{cn }前n项和Tn .

(1) ( x ? 2 3) 2 ? y ? 9 或 ( x ? 2 3) 2 ? y ? 9 (2)定点为 (0, 3), (0,? 3)

46


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