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高一数学必修4三角函数练习题及答案


高一必修 4 三角函数练习题
一、选择题(每题 4 分,计 48 分) 1. sin(?1560? ) 的值为( )A

?

1 2

B

1 2

C

?

3 2
B

D

/>3 2
C
C
B

2.如果 cos(? ? A) ? ? 3.函数 y ? cos(

1 ? ,那么 sin( ? A) =( ) A 2 2

?

1 2
B

1 2

?

3 2
D

D

3 2

?
3

?

2 x) 的最小正周期是 ( ) A 5

? 5

5 ? 2

2?

5?

4.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 ( 5.已知 tan100 ? k ,则 sin 80 的值等于 (
? ?

)A

? 3
k

2 ? 3
C

C

?

D D ?

4 ? 3

)A

k 1? k 2
)A

B ?

1? k 2
B 2


1? k 2 k
C
1

1? k 2 k

6.若 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? ? cot ? 的值为 ( 7.下列四个函数中,既是 (0,

?1

D ?2

?
2

) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是(
C y ? cos x
D

A

y ?sin x

B y ?| sin x |

y ?| c o x s
1 2

|
B c?b?a C b?c?a D b?a?c 1 1 1 D ? C ? 3 3 2
)象限角

8.已知 a ? tan1 , b ? tan 2 , c ? tan 3 ,则 ( 9.已知 sin(

)A a?b?c )A

?

1 ? ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为( 6 3 3

B

10. ? 是第二象限角,且满足 cos

?
2

? sin

?
2

? (sin

?

? ? ? cos )2 ,那么 是 ( 2 2 2

D 可能是第一,也可能是第三 ? 5 11.已知 f ( x ) 是以 ? 为周期的偶函数,且 x ? [0, ] 时, f ( x) ? 1 ? sin x ,则当 x ? [ ? ,3? ] 时, f ( x ) 等于 ( 2 2 A 1 ? sin x B 1 ? sin x D ?1 ? sin x C ?1 ? sin x
A
第一

B 第二

C 第三



12.函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间 [ a, b] 上是增函数,且 f (a) ? ?M , f (b) ? M ,则 g ( x) ? M cos(?x ? ? ) 在 [ a, b] 上 ( )A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值 M D 可以取得最小值 ? M

二、填空题(每题 4 分,计 16 分) 13.函数 y ? tan( x ?

) 的定义域为 ___________ 。 3 1 2 14.函数 y ? 3 cos( x ? ? )( x ? [0, 2? ]) 的递增区间 __________ 2 3
15.关于 y ? 3sin(2 x ?

?

?

4

) 有如下命题,1)若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 是 ? 的整数倍,

②函数解析式可改为 y ? cos 3(2 x ? 正确的命题是 ___________

?
4

) ,③函数图象关于 x ? ?

?
8

对称,④函数图象关于点 (

?
8

, 0) 对称。其中

16.若函数 f ( x ) 具有性质:① f ( x ) 为偶函数,②对任意 x ? R 都有 f (

?

? x) ? f ( ? x) 4 4

?

则函数 f ( x ) 的解析式可以是: ___________ (只需写出满足条件的一个解析式即可)

三、解答题 17(6 分)将函数 y ? cos(

?

1 x ? ) 的图象作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图象? 3 2

19(10 分)设 a ? 0 , 0 ? x ? 2? ,若函数 y ? cos2 x ? a sin x ? b 的最大值为 0 , 最小值为 ? 4 ,试求 a 与 b 的值,并求 y 使取最大值和最小值时 x 的值。

20(10 分)已知:关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? , ? ? (0, 2? ) 。 求:⑴

tan ? ? sin ? cos ? ? 的值; ⑵ m 的值; ⑶方程的两根及此时 ? 的值。 tan ? ? 1 1 ? tan ?

高一年级三角函数单元测试
一、选择题(10×5 分=50 分)
3 2 2.下列各组角中,终边相同的角是

1. sin 210 ?
?



)A.

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

A.

k ? ? 或 k? ? 2 2

(
B. (2k ? 1)? 或 (4k ? 1)? D. k? (

)

(k ? Z )

(k ? Z )

C. k?

?

?
3



k ? 3

(k ? Z )

?

?
6

或 k?

?

?
6

(k ? Z )

3.已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是 A.第一或第二象限角

) D.第一或第四象限角 ( )

B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角

4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B.

2 C. 2 sin 1 D. sin 2 sin 1 x ? 5.为了得到函数 y ? 2sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所有的点 ( 3 6
A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移



?
6

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

?
6

6.设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) 3?





? 2? 7 ? ? A.在区间 ? , ? 上是增函数 ? 3 6 ? ?? ?? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?
7.函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?? ? ? ? 上是减函数 B.在区间 ? ??, 2? ? ? ? 5? ? D.在区间 ? , ? 上是减函数 ?3 6 ?

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达(



8. 函数 y ? sin(3 x ? A .??

? ? x? ) 8 4 ? ? C. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ?
A. y ? ?4 sin(

? ? x? ) 8 4 ? ? D. y ? 4 sin( x ? ) 8 4
B. y ? 4 sin( ( )

4

) 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是

? ? ? ,0? ? 12 ?

B. ? ?

? 7 ? ? , 0? ? 12 ?

C. ?

? 7 ? ? , 0? ? 12 ?

D. ?

? 11 ? ? , 0? ? 12 ?

9.已知 f ?1 ? cos x ? ? cos 2 x ,则 f ( x ) 的图象是下图的

(

)

A

B

C

D )

10.定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ,当 x ? ?3, 4? 时, f ? x ? ? x ? 2 ,则 ( A. f ? sin

? ?

1? 1? ? ? ? f ? cos ? 2? 2? ?

B. f ? sin

? ?

??

?? ? ? ? f ? cos ? 3? 3? ?
3? 3? ? ? ? f ? cos ? 2? 2? ?

C. f ? sin1? ? f ? cos1?

D. f ? sin

? ?

二、填空题(4×5 分=20 分)
11.若 cos ? 12.若 tan ?

2 ? , ? 是第四象限角,则 sin(? ? 2? ) ? sin(?? ? 3? )cos(? ? 3? ) =___ 3

? 2 ,则 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos2 ? ? ___________

3 ?? ? ? 3? ? ? ? ? 值为 13.已知 sin ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4 ? ?4 ? 2

? ?cos x 3? 14.设 f ? x ? 是定义域为 R,最小正周期为 的周期函数,若 f ? x ? ? ? 2 ?sin x ?
? 15? 则 f ?? ? 4 ? ? ? ____________ ?

? ? ? ? ? ? x ? 0? ? 2 ? ?0 ? x ? ? ?

三、解答题 15. (本小题满分 12 分)已知 A? ?2, a ? 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ?
5 ,求 cos? 的值. 5

1 1 ? ? ? ? 16. (本小题满分 12 分)若集合 M ? ?? sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? , N ? ?? cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 M ? N . 2 2 ? ? ? ?

17. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的方程 2 x 2 ?
1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 的值; 1 ? sin ? ? cos ? (2)求 m 的值.

?

3 ? 1 x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? :

?

(1)求

?? ? 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图象在 y 轴上的截距为 1, 2? ?
3 ? ? 在相邻两最值点 ? x0 , 2? , ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? 上 f ? x ? 分别取得最大值和最小值. 2 ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若函数 g ? x ? ? af ? x ? ? b 的最大和最小值分别为 6 和 2,求 a , b 的值.

1 19. (本小题满分 14 分)已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin y ? cos2 x 的最值. 3

? ?? 20. (本小题满分 16 分)设 ? ? ? 0, ? ,函数 f ? x ? 的定义域为 ?0,1? 且 f ? 0? ? 0 , ? 2? ? x? y? f ?1? ? 1当 x ? y 时有 f ? ? ? f ? x ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? y ? ? 2 ? ?1? (1)求 f ? ? , ?2? ?1? f ? ?; ?4?

(2)求 ? 的值; (3)求函数 g ? x ? ? sin ?? ? 2x ? 的单调区间.

一、选择题
? 1 2

1. sin 163 sin 223

0

0

? sin 253 sin 313 的值为(
0 0

) A.

1 B. 2

C.

?

3 2

3 D. 2

cos 2? 2 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4 ? 2.若 ? ,则 cos ? ? sin ? 的值为(

)A.

?

7 2

1 1 B. 2 C. 2 ?

7 D. 2

?x π? ? π ? y ? 2 cos ? ? ? a ? ?? , ? 2? ? 3 6 ? 的图象按向量 ? 4 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 3.将



?x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? A.

? x π? ?x π ? ?x π ? y ? 2cos ? ? ? ? 2 y ? 2 cos ? ? ? ? 2 y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ? B. C. D.

, ? 1) 的夹角为 ? ,则 4.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1
( )

? ? ? 0, ?

? ?

?? ? ? 的概率是

5 A. 12

1 B. 2

7 C. 12

5 D. 6
)21 世纪教育网 ☆
x?

?x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( 5.已知 f ( x) ? sin(
( ,0) A.关于点 3 对称

?

B.关于直线

x?

?
4 对称

( ,0 ) C.关于点 4 对称

?

?
3 对称

D.关于直线

6.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 ,

? ?

? 2 )的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则(
? 6
? ? 2,? ?
? 3



A.

? ? ,? ?

1 2

? 6

B.

? ? ,? ?

1 2

? 3

? ? 2,? ?
C.

D.

7.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则(



? ? A. f(sin 6 )<f(cos 6 )

2? 2? B. f(sin1)>f(cos1) C. f(cos 3 )<f(sin 3 )

D. f(cos2)>f(sin2)

? 2 8. 将函数 y=f(x) sinx 的图像向右平移 4 个单位后,再作关于 x 轴对称图形,得到函数 y=1- 2 sin x 的图像.则 f(x)
可以是( (A)cosx 二、填空题 ) (B)sinx (C)2cosx (D)2sinx

x2 y2 ? ?1 9.(07 江苏 15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆 25 9 上,则

sin A ? sin C ? sin B

.

2 tan(
11.化简

?

2cos 2 ? ?1 ? ? ) ? sin 2(

?
4

4

? ?)
的值为__________________.

12.已知 三、解答题 21 世纪教育网

sin( ? 2? ) 2 3 sin? ? ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), cos(? ? ? )

?

则 θ 的值为________________.


? ?

2 13.已知 6 sin ? ?

sin? cos? ? 2 cos2 ? ? 0,? ?[ , ? ], 求 sin(2? ? ) 2 3 的值.

2 14.设 f ( x) ? 6cos x ? 3 sin 2 x . (1)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期;

4 tan ? 5 的值. (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求

,x ? R . 15..已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1

? π 3π ? ? , ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最小值和最大值.

o s A? s i n 16.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,a ? 2b sin A . (1) 求 B 的大小; (2) 求c
的取值范围.

C

专题三 三角函数专项训练参考答案 一、选择题
0 0 0 0 0 0 0 0 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 )

? ? sin 17 0 sin 43 00 ? cos 17 0 cos 43 0 ? cos(17 0 ? 43 0 ) ? cos 60 0 ?

1 2

cos2 a ? sin 2 a 2 (sin a ? cos a) 2.原式可化为 2

??

2 2
,化简,可得

sin a ? cos a ?

1 2 ,故选 C.

命题立意:本题主要考查三角函数的化简能力. ? ? ? x ? x? ? , 4 ? x ?

x? ? y ? 2 cos( ? ) y? ? 2 cos( ? ) ? 2 ? y ? y? ? 2 3 6 得平移后的解析式为 3 4 3.将 ? 代入 .

故选 A.命题立意:本题考查向量平移公式的应用.
cos? ? a ?b ? ab , ? ? (0, ) 2 m ?n ? 2 ,∴只需 m ? n ? 0 即可,即 m ? n ,
2 2

m?n

?

4.∵

36 ? 6 ?6 21 7 2 P? ? ? 6?6 36 12 .故选 C. ∴概率

命题立意:本题考查向量的数量积的概念及概率. ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ? 2 3 .21 世纪教育网 5.由题意知 ,所以解析式为
( ,0 ) 经验许可知它的一个对称中心为 3 .故选 A



?

命题立意:本小题主要考查三角函数的周期性与对称性. ? 2? ? ?? ?? ? ? 3 ? 2 sin ? 3 .故选 D 2 ,∴ 6. ? ,∴ ? ? 2 .又∵ f (0) ? 3 ,∴ .∵ 命题立意:本题主本考查了三角函数中周期和初相的求法. 7.由题意知,f(x)为周期函数且 T=2,又因为 f(x)为偶函数,所以该函数在[0,1]为减函数,在[ ?1 ,0]为增函数 ,可以 排除 A、B、C, 选 D. 【点评】由 f(x)=f(x+T)知函数的周期为 T,本题的周期为 2, 又因为 f(x)为偶函数,从而可以知道函数在[0,1]为减函数, 在[ ?1 ,0]为增函数.通过自变量的比较,从而比较函数值的大小.

? ? 8.可以逆推 y=1-2 sin x =cos2x,关于 x 轴对称得到 y=-cos2x , 向左平移 4 个单位得到 y=-cos2(x+ 4 ) 即 y=-
2

? cos(2x+ 2 )=sin2x=2sinxcosx ? f(x)=2cosx

选(C)

点评:本题考查利用倍角公式将三角式作恒等变形得到 y=cos2x,再作关于 x 轴对称变换,将横坐标不变,纵坐标变为相反 ? y ? ? cos 2 x 数, 得到 ,再左 4 平移.,通过逆推选出正确答案. 二、填空题
sin A ? sin C AB ? BC ? sin B AC 9. 解 析 : (1)A、C 恰为此椭圆焦点,由正弦定理得: ,又由椭圆定义得

sin A ? sin C 5 ? AB ? BC ? 2a ? 10, AC ? 2c ? 8 ,故 sin B 4.
10.解析: 设法将已知条件进行变形, 与欲求式发生联系, 然后进行求值。 将已知二式两边分别平方, 得

sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? a2
以上两式相加得
cos?? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 2
cos 2?

cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos2 ? ? b2



11.解析:原式=

2 tan( ? ? ) sin [ ? ( ? ? )] 4 2 4
2

?

?

?

?

cos 2? 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) 4 4

?

?

?

cos 2? ?1 cos 2?

【点评】直接化简求值类型问题解决的关键在于抓住运算结构中角度关系(统一角) 、函数名称关系(切割化弦等统一 函数名称) ,并准确而灵活地运用相关三角公式. cos 2? 3 sin? ? ? cos? ? 1 2 ? cos? 12.解析:由已知条件得: .即 3 sin? ? 2 sin ? ? 0 .
sin? ? 3 3 或 sin? ? 0 sin? ? 2 2 .由 0<θ<π 知 ,21 世纪教育网
2? 3

解得



3 从而 三、解答题 13.解析:本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运 算技能.

??

?

或? ?

方法一:由已知得: (3 sin? ? 2 cos? )(2 sin? ? cos? ) ? 0
? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0

由已知条件可知

cos? ? 0, 所以? ?

?

? 2 , 即? ? ( , ? ). 于是 tan? ? 0,? tan? ? ? . 2 2 3
?

sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 3 3 3

?

?

3 sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? ? ? 2 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? ? sin ? cos? ?

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求 sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 2 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 将 tan? ? ? 代入上式得 3 3 3

?

方法二:由已知条件可知

cos? ? 0, 则? ?

?
2

, 所以原式可化为

6 tan2 ? ? tan? ? 2 ? 0.即(3 tan? ? 2)(2 tan? ? 1) ? 0. ? 2 又 ? ? ? ( , ? ),? tan? ? 0.,? tan? ? ? .下同解法一 . 2 3
【点评】条件求值问题一般需先将条件及结论化简再求值,要注意“三统一”观,优先考虑从角度入手.

f ( x) ? 6 ?
14.解: (1)

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2 6? ? ? ? .故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ;
T?
最小正周期

2? ?? 2 .21 世纪教育网



?? ? ?? ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? ?1 6? 6? ? ? (2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 ,故 .
0 ?? ?

又由

? ? ? ? ? 5 ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? 6 6 ,故 6 2得6 12 . ,解得

4 ? tan ? ? tan ? 3 5 3 从而 .
解析:本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性 质等基础知识,考查基本运算能力.

π? ? f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4?. ? (1)
因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π .

? π 3π ? ? 3π 3π ? ?π? π? ? , ? , ? f ? ??0 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? 4 ? 在区间 ? 8 8 ? 上为增函数,在区间 ? 8 4 ? 上为减函数,又 ? 8 ? ? (2)解法一:因为 , ? 3π ? f ? ?? 2 ? 8 ? , π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 4 ? 4 ? ? 2 4? ,

? π 3π ? ? , ? 故函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . π? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? 在长度为一个周期的区 ? 解法二:作函数
图象如下:

? π 9π ? , ? ? 8 4 ? 上的 ? 间 ? 3π ? f ? ? ? ?1 ? 4 ? .
sin B ? 1 2,

? π 3π ? ? , ? 由图象得函数 f ( x ) 在区间 ? 8 4 ? 上的最大值为 2 ,最小值为
16.解: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以

由 △ ABC 为锐角三角形得

B?

π 6.

? ? ? ?? ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ? (2) ?? ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 3?. ? 2 2
? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?B? ? ? ?A? ?B ? A? ? 2 6 3. 3 2 3 6, 由 △ ABC 为锐角三角形知, 2 ,2

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3 2 3 2 2 3 2 ? ? ? ? 所以 .由此有 ,
? 3 3? ? ? ? 2 , 2? ? ?. cos A ? sin C 所以, 的取值范围为

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