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新课标理科数学第八章第三节圆的方程


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第三节
自 主 落 实 · 固 基 础

圆的方程

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自 主 落 实 · 固 基 础

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1.圆的定义 定长 在平面内, 到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆. 圆心 半径 确定一个圆最基本的要素是______和______. 2.圆的标准方程 (a,b) (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中_____为圆心,r 为半 径. x2+y2=r2 特别地,当圆心在原点时,圆的方程为__________. 3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0. D E 2 2 (1)当_________________时,表示圆心为(- ,- ), D +E -4F>0 2 2 1 2 半径为 D +E2-4F的圆; 2
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D E D2+E2-4F=0 (2)当_______________时,表示一个点(- ,- ); 2 2 D2+E2-4F<0 (3)当_______________时,它不表示任何图形. 4.点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (1)若 M(x0,y0)在圆外,则___________________. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则___________________. (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (3)若 M(x0,y0)在圆内,则___________________. (x0-a)2+(y0-b)2<r2

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1.确定圆的方程必须有几个独立条件?
【提示】 不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个

字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立 的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三 个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.

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2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是什
么? 【提示】 充要条件是D2+E2-4F>0.

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1.(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2+y2+2by- 2b2=0,则圆的圆心和半径分别为( ) A.(0,b), 3b C.(0,-b), 3b B.(0,b), 3|b| D.(0,-b), 3|b|

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【解析】

圆的标准方程为 x2+(y+b)2=3b2,
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从而圆的圆心坐标为(0,-b),半径为 3|b|.
【答案】 D





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2.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( ) 2 2 A.a<-2 或 a> B.- <a<0 3 3 2 C.-2<a<0 D.-2<a< 3
由题意知 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0, 2 解得-2<a< . 3 【解析】

2

2

2

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【答案】

D





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3.(2012·辽宁高考)将圆x2 +y2 -2x-4y+1=0平分的

直线是(

)

A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 【解析】 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各

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选项验证知选C. 【答案】 C
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4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴

上,则C的方程为________.
【 解 析 】 设 圆 心 坐 标 为 (a , 0) , 易 知

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(a-5)2+(-1)2= (a-1)2+(-3)2,解得 a= 2,∴圆心为(2,0),半径为 10,
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∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.
【答案】 (x-2)2+y2=10
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已知圆心在直线y=-4x,且与直线l:x+y-1=0相切

于点P(3,-2),求圆的方程.
【思路点拨】 (1)设 圆 的 标 准 方 程,待定系数法 求

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解;(2)利用圆的几何性质求圆心和半径.
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【尝试解答】 法一 设圆的标准方程为(x-a) +(y -b)2=r2(r>0), ?b=-4a, ? ?(3-a)2+(-2-b)2=r2, 则有? ?|a+b-1| =r, ? 2 ? 解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

2

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法二 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x -3,与 y=-4x 联立可求得圆心为(1,-4). ∴半径 r=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

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用“待定系数法”求圆的方程.①若已知条件与圆的圆

心和半径有关,则设圆的标准方程,列出关于a,b,r的方
程组求解.②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则 选择圆的一般方程,列出关于D,E,F的方程组求解. (2)几何法:通过研究圆的性质,直线和圆的关系等求 出圆心、半径,进而写出圆的标准方程.

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若一三角形三边所在的直线分别为x+2y-5=0,y-2

=0,x+y-4=0,则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方
程是________.

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【解析】 结合题意, 解得三角形的三个顶点分别是(1, 2),(2,2),(3,1),作出图形可知三角形是以(1,2),(3, 1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形.所以圆的直径为 d 3 32 2 = 5,圆心坐标为(2, ),则圆的方程为(x-2) +(y- ) 2 2 5 = . 4 32 5 2 【答案】 (x-2) +(y- ) = 2 4
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已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值.
【思路点拨】 根据代数式的几何意义,借助于平面几

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何知识,数形结合求解.

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(1)原方程可化为(x-2) +y =3, y 表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,x的几何意义是 圆上一点与原点连线的斜率. y 所以设x=k,即 y=kx. 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值, |2k-0| 此时 2 = 3,解得 k=± 3. k +1 y 所以x的最大值为 3,最小值为- 3.

【尝试解答】

2

2

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(2)设 y-x=b, y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的 截距, 当直线 y=x+b 与圆相切时, 纵截距 b 取得最大值或 最小值, |2-0+b| 此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知, 在原点与圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,

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x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.
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与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 u= 型的最值问题,可转化为过点(a,b)和 x-a (x,y)的直线的斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 型的最值问题, 可转化为动直线的截 距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点 到定点的距离的最值问题.

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若本例中的条件不变. y+2 (1)求 的最大值和最小值; x+1 (2)求 x-2y 的最大值和最小值.
【解】 (1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,

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表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆.
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y+2 的几何意义是圆上一点与(-1,-2)连线的斜率, x+1 y+2 设 =k,即 y+2=k(x+1). x+1
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当此直线与圆相切时,斜率 k 取得最大值或最小值,
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|2k+k-2| 此时 = 3, 2 k +1 6+ 30 6- 30 解得 k= 或 k= . 6 6
y+2 6+ 30 ∴ 的最大值为 , 6 x+1

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6- 30 最小值为 . 6

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(2)x-2y 可看作是直线 x-2y=b 在 x 轴上的截距, 当直线与圆相切时,b 取得最大值或最小值. |2-b| 此时: = 3, 5 ∴b=2+ 15或 b=2- 15. ∴x-2y 的最大值为 2+ 15,最小值为 2- 15.

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设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O

是坐标原点,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点
P的轨迹.
【思路点拨】 → 四边形 MONP 为平行四边形?OP=

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→ → OM+ON?把点 P 的坐标转移到动点 N 上?而点 N 在圆上 运动,故可求解.需注意 O、M、N 三点共线的情况.

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【尝试解答】

∵四边形 MONP 为平行四边形,

→ → → ∴OP=OM+ON, 设点 P(x,y),点 N(x0,y0),则 → → → ON=OP-OM=(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4). 又点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, ∴(x+3)2+(y-4)2=4. 又当 OM 与 ON 共线时,O、M、N、P 构不成平行四 边形. 9 12 21 28 故动点 P 的轨迹是圆且除去点(- , )和(- , ). 5 5 5 5

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1.本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点,因此在

点M、O、N三点共线时,点P是不存在的,故所求的轨迹中
应除去两点. 2.求与圆有关的轨迹问题的常用方法:直接法;定义 法 ;相关点法

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已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任 意弦,求这些弦的中点P的轨迹方程.

【解】 法一 直接法 设 P(x,y),圆心 C(1,1), ∵P 点是过点 A 的弦的中点, → → → → ∴PA⊥PC,又PA=(2-x,3-y),PC=(1-x,1-y), ∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, 32 5 2 即(x- ) +(y-2) = , 2 4 32 5 2 ∴中点 P 的轨迹方程是(x- ) +(y-2) = . 2 4

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法二 定义法 由已知得,PA⊥PC. 由圆的性质知点 P 在以 AC 为直径的圆上,圆心 C(1, 1), ∴|AC|= (2-1)2+(3-1)2= 5, 3 线段 AC 的中点坐标为( ,2), 2 32 5 2 故中点 P 的轨迹方程为(x- ) +(y-2) = . 2 4

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二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

是D2+E2-4F>0.

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求圆的方程主要是待定系数法,一般步骤是:
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①根据题意,选择标准方程或一般方程. ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组. ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方 程.
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1.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何 性质.

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2.求与圆有关的轨迹问题常用的方法有:
(1)直接法:直接根据条件列出方程.
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(2)定义法:根据圆、直线的定义列出方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列出方程. (4)代入法:由动点与已知点的关系列出方程.
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从近两年高考看,圆的方程的求法每年均有涉及,是高 考的必考点,命题形式主要有两大类,一是以选择题、填空 题的形式考查圆的定义及标准方程的求法,另一类是与直 线、向量、圆锥曲线综合命题,注重数形结合思想及圆的几

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何性质的考查,在求解与圆有关的解答题时,应注意解题的
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规范化.

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规范解答之十三

利用待定系数法求圆的方程

(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,
曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2) 若 圆 C 与 直 线 x - y + a = 0 交 于 A , B 两 点 , 且

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OA⊥OB,求a的值.
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【规范解答】

(1)曲线y=x -6x+1与y轴的交点为 2 )2+

2

(0,1),与x轴的交点为(3+2 2,0) ,(3-2 2,0). 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2 t2, 解得t=1.则圆C的半径为 32+(t-1)2=3. 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.·····6分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
?x-y+a=0, ? ? ?(x-3)2+(y-1)2=9. ?

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消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0. a2-2a+1 从而x1+x2=4-a,x1x2= . ①···8分 2 由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0. 又y1=x1+a,y2=x2+a, 所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. ②······10分 由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.···12分

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【解题程序】

第一步:求出二次函数图象与坐标轴的

三个交点坐标;
第二步:求出圆的标准方程; 第三步:联立直线与圆的方程,设出点A、B坐标; 第四步:结合韦达定理,由条件OA⊥OB列出关系式,

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求出a值.
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易错提示:(1)第(1)小题中,求过三点的圆的方程时, 选择方法不恰当,造成构建的方程组过于复杂,导致求解失

误.
(2)第(2)小题中,不能充分利用一元二次方程根与系数 的关系,由条件列出等式. 防范措施:(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或 需利用圆心坐标列方程,通常选用圆的标准方程;若已知条

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件为圆经过三点,一般采用一般式.
(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质;但也 要理解掌握一般的代数法,利用“设而不求”的方法技巧.
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1.(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆形区域
{(x,y)|x2 +y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最 大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 ) B.y-1=0 D.x+3y-4=0

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【解析】

当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,

符合条件.
圆心O与P点连线的斜率k=1, ∴直线OP垂直于x+y-2=0. 【答案】 A

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2.(2013·珠海模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点

A(-1,0)、B(1,0),点P是圆上的动点,则d=|PA|2+|PB|2
的最大值为________,最小值为________.

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【解析】 设点P(x0,y0),则d=(x0+1)2+y 2 2 2 1)2+y0=2(x0+y0)+2,
2 设u= x2+y0, 0

2 0

+(x0-

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则由题意知u的最大值为6,u的最小值为4, 故d的最大值为74,最小值为34.
【答案】 74 34

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课后作业(五十三)

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