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高二圆锥曲线知识点和题型汇总

时间:2014-10-16


《圆锥曲线》小结与复习
一、基本知识点(圆锥曲线的定义、方程及其性质)框架:
1、圆锥曲线的定义、方程及其性质: 【见下表一、表二】 【表一】 名 称 椭
y






y

线

图 象
O

x

O

x

两 种 定 义

第 一 定 义

MF1 ? MF2 ? 2a
1、当 a ﹥ c 时,轨迹是椭圆 2、当 a = c 时,轨迹是一条线段 3、当 a ﹤ c 时,轨迹不存在

MF1 ? MF 2 ? 2a
1、当 a ﹤ c 时,轨迹是双曲线 2、当 a = c 时,轨迹是两条射线 3、当 a ﹥ c 时,轨迹不存在 4、若没有绝对值符号,轨迹是双 曲线的一支

统 一 定 义

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数 e , 那么 这个点的轨迹叫做圆锥曲线 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
王新敞
奎屯 新疆

标 准 方 程

x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
焦点在 y 轴上时:

x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
焦点在 y 轴上时:

y2 x2 ? ?1 a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

注: 分母 a、 b 的大小决定焦点位置 参数 abc 的关 系 离心率

注:正负号决定焦点位置

a2 ? c2 ? b2 , a ? b ? 0
e? c a

c2 ? a2 ? b2 , c ? a ? 0

渐 近 线 准线 方程



x y ? ?0 a b y x 焦点在 y 轴上时: ? ? 0 a b
焦点在 x 轴上时:

焦点在 x 轴上时: x ? ? 焦点在 x 轴上时:

a2 a2 ;焦点在 y 轴上时: y ? ? c c
焦点在 x 轴上时:

r1 ? a ? ex0 r2 ? a ? ex0
☆焦半 径公式 焦点在 y 轴上时:

r1 ? a ? ex0 r2 ? a ? ex0
焦点在 y 轴上时:

r1 ? a ? ey0 r2 ? a ? ey0
记忆:左加右减,上减下加 通径

r1 ? a ? ey0 r2 ? a ? ey0
记忆:左加右减,上加下减

2b 2 定义:过焦点且垂直于焦点所在轴的相交弦----------- d ? a

【表二】
y
y

y
l

y O F

抛物线 图象
l

x

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

方程 焦点 离心率 准线 ☆焦半 径公式 通径

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2
e=1

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2

x??

p 2 r ?? p ? x0 2

x?

p 2

y??

p 2 r ?? p ? y0 2

y?

p 2

d ? 2p

2、等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质: (1)渐近线互相垂直; (2)渐近线方程为: y ? ? x ; (3)离心率 e ? 3、共轭双曲线 把双曲线

2。

x2 y2 x2 y2 ? ? ?1 叫做共轭双曲线。 ? ? 1 与双曲线 a2 b2 a2 b2

4、圆锥曲线的焦点弦:(解题时用“圆锥曲线的第二定义”来解题会很方便! !) 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

二、直线与圆锥曲线的位置关系:
(1) 、位置关系有: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点) 。 (2) 、 解题思路: (其中 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 可表示所有的圆锥曲线) 将 l : y ? kx ? b 与 C : Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 建立方程组, 消去 y,得到关于 x 的二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

若 ? ? 0 ,相交;

? ? 0 ,相切;

? ? 0 ,相离。

(3) 、相交弦长:某曲线与斜率为 k 的直线相交与 A(x1,y1)B 则相交所成的线段 AB 长,叫做弦长,且弦长公式为:

(x2,y2)两点,

d ? 1? k 2 ?

? 2 或 d ? 1 ? k ? x1 ? x 2 A

(4) 、常见问题有: (详见(五) :直线与圆锥曲线的相交问题) 交点问题、弦长(焦点弦)问题、中点问题、内积问题等等

三、圆锥曲线中的典型问题:
(一) 、双曲线中的“共渐近线”问题: 已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b x y x (或 ? ? 0 ) ,那么此双曲线方程 a a b

可统设为:

x2 y2 ? ? ? ( ? 的正负----调节焦点位置) a2 b2
x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A(3 3,?3) 的双曲线的方程 16 9

例 1:求与双曲线

王新敞
奎屯

新疆

解:统设所求双曲线的方程为

x2 y2 ? ?? 4 2 32



11 (3 3 ) 2 (?3) 2 ? 2 ? ? ,从而有 ? ? 2 16 4 3

王新敞
奎屯

新疆

所求双曲线的方程为

x 2 16 y 2 ? ?1 11 99

(二) 、圆锥曲线中的“共焦点”问题:

x2 y2 ? ?1 9 例 2:过点 A(-1,-2)且与椭圆 6 共焦点的椭圆标准方程是____答
x2 y2 ? ?1 6 案: ( 3 )

(可设为:

x2 y2 ? ?1, (k>-6) ) 6?k 9?k

例 3: 过点 A (-1, -1) 且与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共焦点的双曲线标准方程是____ 6 9 x2 y2 ? ? 1, (可设为: (-6<k<9) ) 6?k 9?k

答案: (略)

例 4:与椭圆

5 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线方程是 4 49 24
(可设为:



(

x2 y2 ? ? 1) 16 9

x2 y2 ? ? 1, (-49<k<24) ) 49 ? k k ? 24

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 n 的值是 例 5:椭圆 34 n 2 16 n
(B) A ?5 B ?3 (三) 、圆锥曲线中的过“两点”问题: 例 6:已知椭圆经过两点 ( ? C 5 D9

3 5 , )与( 3 , 5 ) ,求椭圆的标准方程。 2 2

解:统设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) m n

则有

5 ? 3 2 ( )2 ? (? 2 ) ? 2 ?1 ? ,解得 m ? 6, n ? 10 m n ? ? ( 3) 2 ( 5 ) 2 ? ?1 ? n ? m
x2 y2 ? ?1 6 10

王新敞
奎屯

新疆

所以,所求椭圆的标准方程为

(四) 、圆锥曲线的最值问题: (1) 、圆锥曲线定义求最值:

x2 y2 ? ?1 例 7:若点 P 在坐标(-1,-3) ,F 为椭圆 16 12 的左焦点,点 Q 在椭圆
| QF | ?
上移动,为使

1 | PQ | 2 有最小值,求点 Q 的坐标。

Q(-2,-3)

例 8: 已知 M 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,F 为抛物线的焦点, 定点 P?3 , 1? , 则 | MP | ? | MF | 的最小值为( B ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(2) 、直线与圆锥曲线位置关系(涉及到位置关系中的相离、相切)中的最值: 例 9:在抛物线 y=x 上照一点 P 使得它到直线 y=2x-4 的距离最小,且求出该
2

最小值。

P(1,1) 、d=

3 5 5

解:可设过点 P 的直线为 y=2x+b 且与抛物线 y=x2 相切,然后建立方程组,利 用△=0 求出 b,再求 P 点坐标、用两平行直线间的距离公式求最小距离 d。 (五) 、直线与圆锥曲线的相交问题: (1) 、焦点弦问题: 例 10:过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两
2

点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =( B ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 例 11:已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、 6 9

B 两点,求弦 AB 的长__2__。 (2) 、中点弦问题: 例 12:中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得 弦的中点横坐标为

1 ,求椭圆的方程。 2

解 : 由 F1 ( 0 ,

50 ) 得

a 2 ? b 2 ? 50 , 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 把 直 线 方 程 y ? 3x ? 2 代 入 椭 圆 方 程 整 理 得 : a2 b2

(a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? b 2 (4 ? a 2 ) ? 0
设 弦 的 两 个 端 点 为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 由 根 与 系 数 的 关 系 得 :

x1 ? x 2 ?

x1 ? x2 1 12b 2 6b 2 1 ? ? ? ,又 AB 的中点横坐标为 , 2 2 2 2 2 2 2 a ? 9b a ? 9b

? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

y2 x2 ? ?1 75 25
y2 ? 1, 2

例 13:已知双曲线 x ?
2

(1)过点 P(1,2)作直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中点,求 直线 AB 的方程; (答案:x-y+1=0) (2)是否存在过点 P(-1,-1)的直线 L 与双曲线交于 A、B 两点且 P 为 AB 的 中点?若存在求该直线 AB;反之,说明理由。 (不存在) (3) 、内积问题: 2 2 例 14、直线 y-ax-1=0 与双曲线 3x -y =1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时, 以 AB 为直径的圆过坐标原点? 解:在方程组 y-ax-1=0 2 2 2 2 3x -y =1 中消去 y 得,(3-a )x -2ax-2=0 设 A(x1, y1)、B(x2, y2),因为以 AB 为直径的圆过原点,则 x1x2+y1y2=0,又

2 x1x2= a ? 3
2

2a 2 x1+x2= 3 ? a , ∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)

2 2a2 2 2 2 ∴(a +1) a ? 3 + 3 ? a +1=0
解方程组得 a=±1,即当 a=±1 时,以 AB 为直径的圆过原点。 (六) 、圆锥曲线的开放题型: 例 15、已知 ? ? [0, ? ) ,试讨论当 ? 的值变化时,方程 x 2 sin? ? y 2 cos? ? 1 表示 的曲线形状。 (分类讨论:当 ? ? 0 时,为两条直线 y ? ?1 ;当 ? ? (0, 椭圆;当 ? ? 当? ?

?
4

) 时,为 x 轴上的

?
4

时,为圆;当 ? ? (

? ?

?
2

, ) 时,为 y 轴上的椭圆; 4 2

时,为两条直线 x ? ?1 ;当 ? ? (

?

2

, ? ) 时,为 x 轴上的双曲线)

例 16、已知关于 e 的不等式 P:e<2 (1) 、请你写出一个使不等式 P 成立的充分必要条件:_______e<1______;

x2 y2 ? 1。 (2) 、 写出一个离心率 e 满足不等式 P 的双曲线标准方程为: 如: ? 4 4 x2 y2 ? ?1 例 17、试写出两个条件使得方程为 16 9
(1) 、_________________________ (焦点为 F( ? 7 ,0 ) ,长轴长为 8) (2)、 _________________________ (准线方程为 x ? ?

16 7 , 半焦距为 7 ) 7


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