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20072008学年度南昌市高三第一轮复习训练题

时间:2016-12-02


2007-2008 学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(10) (不等式 1) (附答案)

2007-2008 学年度南昌市高三第一轮复习训练题

数学(十) (不等式 1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
2 2 ? a ?b

? a ?b 1.设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成立的 ? ? 2 ? 2 ? 2

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 2.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... A. | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | C. | a ? b | ? B. a 2 ?

D.既不充分也不必要条件

1 a
2

?a?

1 a

1 ?2 a?b

D. a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

3.如果 a ? 0 ? b 且 a ? b ? 0 ,那么以下不等式正确的个数是 ① A.2

1 1 ? a b



1 1 ? a b

③ a b ? ab
3

3

④ a ? ab
3

2

⑤a b ? b
2

3

B.3

C.4

D.5

4.若 f ( x ) ? log 1 x ,A= f ( a ? b ), G ? f ( ab ), H ? f ( 2ab ) ,其中 a,b ? R? , 则A 、G、H 的大小关系是 2 2 a?b A.A≤G≤H B.A≤H≤G
2 2

C.H≤G≤A

D.G≤H≤A

5.已知 a、b ? R ,那么“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的 A.充要条件
2

B.必要不充分条件
2

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.设,y∈R,且 x +y =4,则

2 xy 的最小值为 x? y?2
C. -2 ?2 2 D. 2 ?2 2

A. 2- 2
2

B .2+2 2

7.若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x?(0, A.0 8. “a>b>0”是“ab< B. –2

1 )成立,则 a 的最小值是 2 5 C.D.-3 2

a2 ? b2 ”的 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件
2 9.若 a, b, c ? 0 且 a ? 2ab ? 2ac ? 4bc ? 12 ,则 a ? b ? c 的最小值是

(A) 2 3

(B)3

(C)2

(D) 3

10.若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是 A.

1 1 ? . a b

B. a 2 ? b 2 .

C.

a b ? 2 . c ?1 c ?1
2

D. a | c |? b | c |

11.已知不等式 ( x ? y)( ? A.8

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 y
C.4 D.2

B.6

12.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c) = 4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为

A. 3 -1 题号 答案

B .

3 +1
5 6

C. 2 3 +2

D. 2 3 -2

1

2

3

4

7

8

9

10

11

12

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在答题卡上。
13 . b 克糖水中有 a 克糖( b > a > 0 ) ,若再加入 m 克糖( m > 0 ) ,则糖水更甜了,试根据这个事实写出一个不等 式 。 14.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1,其中能推出:“a、b 中至少有一个 实数大于 1”的条件是___________ 15.若 30 ? x ? 42,16 ? y ? 24, 则x ? 2 y 的取值范围是 16.给出下列命题 (A)当 x ? (B)当 x ? (C)当 x ?
2 2

0 且 x ? 1 时, lg x ?

1 ? 2; lg x

0 时, x ?

1 ? 2; x

1 2 时, x ? 的最小值是 2; x 1 (D)当 0 ? x ? 2 时, x ? 无最大值。 x
其中正确的是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,求证:

(1)a>0 且 ?2 ?

b ? ?1 ; a

(2)方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个实根

18..设 a、 b 为实数,求证:

1 ? a 2 ? 1 ? b2 a?b 2 ? 1? ( ) 2 2

19. (文)比较下列两个数的大小: (1) 2 ? 1与2 ? 3;

2 ? 3与 6 ? 5 ;

(2)从以上两小项的结论中,你否得出更一般的结论?并加以证明 (理)已知: a.b.c.d ? ?0,1? , M ? ?1 ? a ??1 ? b??1 ? c ??1 ? d ?, N ? 1 ? a ? b ? c ? d , 试比较 M,N 的大小:你能得出一个一般结论吗?
2 20.设 f ( x) ? x ? bx ? c(b、c为常数) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个实根为 x1 , x2 ,且满足 x1 ? 0, x2 ? x1 ? 1 .

(1)求证: b ? 2(b ? 2c) ;
2

(2)设 0 ? t ? x1 ,试比较 f (t ) 与 x1 的大小; (3)若当 x ?[?1,1] 时,对任意的 x 都有 f ( x) ? 1|,求证: 1 ? b ? 2 . 21.设曲线 y ?

1 ax3 1 2 ? bx ? cx 在点 x 处的切线斜率为 k ( x) ,且 k (?1 ) ? 0 ,对一切实数 x ,不等式 x ? k ? x ? ? x 2 ? 1 恒 2 3 2 成立( a ? 0 ).
1 2n ? 。 k i n ?2 ? ? i ?1 n

?

?

(1)求 k ?1? 的值; (2)求函数 k ? x ? 的表达式; (3)求证: ?

22.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a、b、c ? R且a ? 0) ,若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x 和 y ? ? x 均无公共点。 (1)求证: 4ac ? b ? 1
2

(2)求证:对于一切实数 x 恒有 | ax ? bx ? c |?
2

1 4|a|

2007-2008 学年度南昌市高三第一轮复习训练题

数学(十) (不等式 1)
一、选择题
1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 C 8 A 9 A 10 C B B 12 D

二、填空题 a?m a > 13、 b?m b 三、解答题

14、 ③

15、 (?18,10)

16、B

17、解: (1)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b 得 a ? c ? 0 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 a 得 a ? b ? 0, 2a ? b ? 0

b ? ?1 a b 1 b 2 ? (2)由 ?2 ? ? ?1 ? ? ? a 3 3a 3
故 ?2 ? 又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 而 f (?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ?0 3a 3a
b b ) 与 ( ? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

18.证: 要证明原不等式成立,则只要证:

1 ? a 2 ? 1 ? b2 ? 2 (1 ? a 2 )(1 ? b2 ) a 2 ? b2 ? 2ab ? 1? 4 4

只要证:

(1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ? 1 ? ab

若 1 ? ab ? 0 ,上式显然成立,从而原不等式成立; 若 1+ab>0,则只要证: 1 ? a ? b ? a b ? 1 ? 2ab ? a b
2 2 2 2 2 2

只要证: (a ? b) ? 0
2

上式显然成立,从而原不等式成立。

19、解: (文) (1) 2 ? 1 ? 2 ? 3 ,
?

2? 3 ? 6 ? 5 n ? 3 ? n ? 2 成立

(2)一般结论:若 n ? N 则 n ? 1 ? n ?

证明 欲证 n ? 1 ? n ? n ? 3 ? n ? 2 成立 只需证

1 n ?1 ? n

?

1 n?3 ? n?2

也就是 n ? 1 ? n ?

n?3 ? n?2

( ? )? n ? N

?

? n ? 1 ? n ? 3, n ? n ? 2从而(?)成立
故 n ?1 ? n ? n ? 3 ? n ? 2 (理)解先考查两个变量的情形 (1-a)(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当 a、b 中至少有 1 个为零时,等号成立 ∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c 当且仅当 a、b、c 中至少有 2 个为零时,等号成立 于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d, 为 0 时,M=N,否则 M>N . 20、解: (1)∵方程 f (x)-x=0 的两根为 x1、x2, ∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-2b+1-4c. ∵x2-x1>1,∴b2-2b+1-4c>1. ∴b2>2(b+2c). (2)∵x1 是方程 f (x)-x=0 的根,∴x1=f (x1). ∴f (t)-x1=f (t)-f (x1)=(t-x1)(t+x1+b)=(t-x1)(t+1-x2). ∵0<t<x1,∴t-x1<0. ∵x2-x1>1,∴x1+1-x2<0. ∴t+1-x2<x1+1-x2<0.故 f (t)-x1>0. (3)∵x∈[-1,1]时,恒有|f (x)|≤1, ∴|f (0)|=|c|≤1,|f (1)|=|1+b+c|≤1. ∴|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2.
1 2 2 1 x ?1 , ? 1 ? k ?1? ? ?1?1? ? 1 , ? k ?1? ? 1 21.解: (1)解: k ? x ? ? ax ? bx ? c , ? x ? k ? x ? ? 2
2
? 1 ? k ( ?1) ?0 ?a ?b ?c ?0 ? b? 2 ? ? (2)解: ? ?? ?? ?k (1) ?1 ? ? ? a ?b ?c ?1 ?a ?c ?1 ? 2

(n ? N ? )

当且仅当 a、b 、c、d 中至少有 3 个为零时,等号成立 ∴a、b、c、d 至少有 3 个

?

?

? k ? x ? ? x ? ax ?
又 ac ?

2

1 1 2 1 1 x ? c ? x , ax ? x ? c ? 0, ? ? ? 4ac ? 0,? ac ? , 2 4 16 2

1 1 1 1 ( a ? c )2 ? ac ? ,? ac ? ,? a ? c ? ? 1 即 4 16 16 16 16 4

? k ? x? ?
(3)证明:

1 2 1 1 1 2 x ? x ? ? ? x?1? 4 2 4 4
1 4 ? k ? x ? ? x ?1?2 4 ? 4 ? 4 ???

∴原式 ?

?1?1?2

? 2?1?2

? 3?1?2

? ?1 1 1 1 ? ? 4? ? ? ? ?? ? ? 22 32 42 ? n?1?2 ? n ?1?2 ? ?
4

? 1 1 1 ? 1 ? ? 4? ? ? ??? ? 2?3 3?4 4?5 ? n?1?? n? 2 ? ? ?

1 n 2n 1 ? ?1 1 ? ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? 4? n?1 n?2 ? 2? n?2? n?2 ? 2 n? 2 ? ?2 3 3 4 4 5

22.解:①由 ax +(b-1)x+c=0 无实根,得Δ 1 =(b-1) 由 ax +(b+1)x+c=0 无实根,得Δ 两式相加得:4ac-b >1,
2 2

2

2

-4ac<0

2

=(b+1)

2

-4ac<0,

b 2 4ac ? b 2 ②∵4ac-b >1>0,∴a(x+ ) 与 同号, 2a 4a
2

∴|ax+bx+c|=|a(x+

b 2 4ac ? b 2 b 2 4ac ? b 2 4ac ? b 2 1 ) + |=|a|(x+ ) + ≥ > 2a 2a 4a 4a 4a 4a