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甘肃省张掖市临泽二中2016届九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版


甘肃省张掖市临泽二中 2016 届九年级数学上学期期末考试试题
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 2 1.一元二次方程 x ﹣2x=0 的根是( ) A.x1=0,x2=﹣2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2 2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A.对角相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂

直 )

3.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°.若 sinA= ,则 cosA 等于( A. B. C. D.1



4.若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似比为 2:3,则 S△ABC:S△DEF 为( A.2:3 B.4:9 C. : D.3:2



5.已知点(﹣5,2)在反比例函数 y= 的图象上,下列不在此函数图象上的点是( A. (2,﹣5) B. (5,﹣2) C. (﹣5,﹣2) D. (﹣2,5)



6.某校 2016 届九年级(1)班 50 名学生中有 20 名团员,他们都积极报名参加学校开展的“文明劝 导活动”.根据要求,该班从团员中随机抽取 1 名参加,则该班团员京京被抽到的概率是( ) A. B. C. D. )

7.如图所示的几何体的左视图为(

A.

B.
2

C.

D. )

8.对于二次函数 y=(x﹣1) +2 的图象,下列说法正确的是( A.开口向下 B.对称轴是 x=﹣1 C.顶点坐标是(1,2) D.与 x 轴有两个交点
2 2

9.关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x +x+a ﹣1=0 的一个根是 0,则 a 的值为(



1

A.1

B.﹣1 C.1 或﹣1

D.

10. 在反比例函数

, 当 x>0 时, y 随 x 的增大而减小, 则二次函数 y=kx +2kx 的图象大致是 (

2



A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 2 11. 抛物线 y= (x+2) ﹣1 的开口
2

, 顶点坐标为

, 对称轴为 .



12.如果关于 x 的方程 x ﹣6x+m=0 有两个相等的实数根,那么 m=

13.反比例函数 (k>0)的图象与经过原点的直线 l 相交于 A、B 两点,已知 A 点的坐标为(2, 1) ,那么 B 点的坐标为 .

14.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1,2,3,4,5, 6) .记甲立方体朝上一面上的数字为 x,乙立方体朝上一面上的数字为 y,这样就确定点 P 的一个坐 标(x,y) ,那么点 P 落在双曲线 y= 上的概率为 15.如图,∠BAC 位于 6×6 的方格纸中,则 tan∠BAC= . .

16.小明身高 1.8m,王鹏身高 1.50m,他们在同一时刻站在阳光下,小明影子长为 1.20m,则王鹏 的影长为 m.

2

17 .如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB?DE=AD?BC”成立,则这个条件可以 是 . (只填一个即可)

18.如图,在△ABC 中,点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上,且 DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法: ①四边形 AEDF 是平行四边形; ②如果∠BAC=90°,那么四边形 AEDF 是矩形; ③如果 AD 平分∠BAC,那么四边形 AEDF 是菱形; ④如果 AD⊥BC 且 AB=AC,那么四边形 AEDF 是菱形. 其中,正确的有 (只填写序号) .

三、解答题 19. (1)解方程: (x﹣1) (x+2)=2(x+2) (2)6tan30°﹣ cos30°﹣2sin45°.

20.画出如图几何体的三视图.

21.如图,在△ABC 中,已知 DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3. (1)求 的值; (2)求 BC 的长.

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22.白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014 年达到 82.8 公顷. (1)求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷? 23.有 A、B 两个黑布袋,A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字 0,1,2, 3,B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字 0,1,2.小明先从 A 布袋中随 机取出一个小球,用 m 表示取出的球上标有的数字,再从 B 布袋中随机取出一个小球,用 n 表示取 出的球上标有的数字. (1)用(m,n)表示小明取球时 m 与 n 的对应值,画出树状图(或列表) ,写出(m,n)的所有取 值; (2)求关于 x 的一元二次方程 没有实数根的概率.

24.为响应国家的“节能减排”政策,某厂家开发了一种新型的电动车,如图,它的大灯 A 射出的 光线 AB、AC 与地面 MN 的夹角分别为 22°和 31°,AT⊥MN,垂足为 T,大灯照亮地面的宽度 BC 的 长为 m. (1)求 BT 的长(不考虑其他因素) . (2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 0.2s,从发现危险到电动车完全停下所 行驶的距离叫做最小安全距离.某人以 20km/h 的速度驾驶该车,从做出刹车动作到电动车停止的刹 车距离是 ,请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求(大灯与前轮前端间水平距 离忽略不计) ,并说明理由. (参考数据:sin22°≈ ,tan22°≈ ,sin31°≈ ,tan31°≈ )

25.如图,一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A(2,3) ,B(﹣3,n)两点. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)根据所给条件,请直接写出不等式 kx+b> 的解集; (3)过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为 C,求 S△ABC.

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26.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线 于点 F. (1)求证:△AEF≌△DEB; (2)证明四边形 ADCF 是菱形; (3)若 AC=4,AB=5,求菱形 ADCF 的面积.

27.某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品.根据市场分析,若按每千克 50 元销售,一 个月能销售 500 千克;销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克.针对这种水产品的销售情况, 请解答以下问题: (1)当销售单价定为每千克 55 元时,计算月销售量和月销售利润; (2)设销售单价为每千克 x 元,月销售利润为 y 元,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当销售单价定为每千克多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少? 28.已知抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,O 是坐标原点,点 A 的坐标是 (﹣1,0) ,点 C 的坐标是(0,﹣3) . (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线 BC 的函数表达式和∠ABC 的度数; (3)P 为线段 BC 上一点,连接 AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点 P 的坐标.
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甘肃省张掖市临泽二中 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 2 1.一元二次方程 x ﹣2x=0 的根是( ) A.x1=0,x2=﹣2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 2 【解答】解:x ﹣2x=0, x(x﹣2)=0, x=0,x﹣2=0, x1=0,x2=2, 故选 D. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方 程,难度适中. 2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 【考点】矩形的性质;平行四边形的性质. 【分析】A 矩形每个角都是直角当然相等,不符;B 平行四边形中矩形特有的,符合题意; C 平行四边形都具备,矩形是平行四边形,不符; D 平行四边形都具备,矩形是平行四边形,不符; 【解答】解:A、矩形每个角都是直角当然相等,故本选项不符合; B、平行四边形中矩形特有的,故本选项符合; C、平行四边形都具备,矩形是平行四边形,故本选项不符合; D、平行四边形都具备,矩形是平行四边形,故本选项不符合; 故选 B. 【点评】本题考查了矩形的性质,以及矩形的判定定理.比较简单.

3.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°.若 sinA= ,则 cosA 等于( A. B. C. D.1 【考点】同角三角函数的关系. 【分析】把 sinA= 代入 sin A+cos A=1,即可求出答案. 【解答】解:∵sin A+cos A=1,sinA= , ∴ +cos A=1, ∵∠A 为锐角,
2 2 2 2 2



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∴cosA= . 故选 A. 2 2 【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用,能理解等式 sin A+cos A=1 是解此题的关键. 4.若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似比为 2:3,则 S△ABC:S△DEF 为( A.2:3 B.4:9 C. : D.3:2 )

【考点】相似三角形的性质.

【分析】因为两相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以 【解答】解:因为△ABC∽△DEF,所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方, 所以 S△ABC:S△DEF=( ) = ,故选 B. 【点评】本题比较容易,考查了两个相似三角形面积比等于相似比的平方的性质.
2



5.已知点(﹣5,2)在反比例函数 y= 的图象上,下列不在此函数图象上的点是( A. (2,﹣5) B. (5,﹣2) C. (﹣5,﹣2) D. (﹣2,5) 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】先求出 k 的值,再把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可.



【解答】解:∵点(﹣5,2)在反比例函数 y= 的图象上, ∴k=(﹣5)×2=﹣10. A、∵2×(﹣5)=﹣10,∴此点在函数图象上,故本选项错误; B、∵5×(﹣2)=﹣10,∴此点在函数图象上,故本选项错误; C、∵(﹣5)×(﹣2)=10≠﹣10,∴此点不在函数图象上,故本选项正确; D、∵(﹣2)×5=﹣10,∴此点在函数图象上,故本选项错误. 故选 C. 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适 合此函数的解析式是解答此题的关键. 6.某校 2016 届九年级(1)班 50 名学生中有 20 名团员,他们都积极报名参加学校开展的“文明劝 导活动”.根据要求,该班从团员中随机抽取 1 名参加,则该班团员京京被抽到的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】概率公式. 【分析】让 1 除以团员总数即为该班团员京京被抽到的概率. 【解答】解:全部是 20 名团员,抽取 1 名,所以被抽到的概率是 【点评】用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 7.如图所示的几何体的左视图为( ) .故选 C.

8

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.

【解答】解:从左面看易得左视图为:



故选 D. 【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图. 8.对于二次函数 y=(x﹣1) +2 的图象,下列说法正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是 x=﹣1 C.顶点坐标是(1,2) D.与 x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质. 【专题】常规题型. 【分析】根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2) ,对称轴 为直线 x=1,从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点. 2 【解答】解:二次函数 y=(x﹣1) +2 的图象开口向上,顶点坐标为(1,2) ,对称轴为直线 x=1, 抛物线与 x 轴没有公共点. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)的顶点式为 y=a( x ﹣
2 2



2

+

, 的顶点坐标是 (﹣



) , 对称轴直线 x=﹣b2a, 当 a>0 时, 抛物线 y=ax +bx+c
2

2

(a≠0)的开口向上,当 a<0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的开口向下. 9.关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x +x+a ﹣1=0 的一个根是 0,则 a 的值为(
2 2



A.1 B.﹣1 C.1 或﹣1 D. 【考点】一元二次方程的解. 【分析】根据方程的解的定义,把 x=0 代入方程,即可得到关于 a 的方程,再根据一元二次方程的 定义即可求解. 2 【解答】解:根据题意得:a ﹣1=0 且 a﹣1≠0, 解得:a=﹣1. 故选 B. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,特别需要注意的条件是二次项系数不等于 0.

9

10. 在反比例函数

, 当 x>0 时, y 随 x 的增大而减小, 则二次函数 y=kx +2kx 的图象大致是 (

2



A.

B.

C.

D.

【考点】二次函数的图象;反比例函数的性质. 【分析】根据反函数的图象,y 随 x 的增大而减小,判定 k 的符号,由此即可判断二次函数的图象. 【解答】解:在反比例函数 ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,故 k>0,又对称轴 x=﹣ =﹣ 1. 故选 B. 【点评】本题是形数结合的问题,根据函数图象的特点判断函数的增减性是需要熟练掌握的内容. 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 2 11.抛物线 y=(x+2) ﹣1 的开口 向上 ,顶点坐标为 (﹣2,﹣1) ,对称轴为 x=﹣2 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标. 2 【解答】解:∵y=(x+2) ﹣1,二次项系数为 1>0, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线 x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,﹣1) . 故答案为:向上, (﹣2,﹣1) ,x=﹣2; 【点评】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系,根据二次项系数的符号确定开口方 向,根据顶点式确定顶点坐标及对称轴. 12.如果关于 x 的方程 x ﹣6x+m=0 有两个相等的实数根,那么 m= 9 . 【考点】根的判别式. 2 【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以△=b ﹣4ac=0,根据判别式列出方程求解即 可. 2 【解答】解:∵关于 x 的方程 x ﹣6x+m=0 有两个相等的实数根, 2 ∴△=b ﹣4ac=0, 2 即(﹣6) ﹣4×1×m=0, 解得 m=9 故答案为:9 【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根.
2

13.反比例函数

(k>0)的图象与经过原点的直线 l 相交于 A、B 两点,已知 A 点的坐标为(2,

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1) ,那么 B 点的坐标为 (﹣2,﹣1) .

【考点】反比例函数图象的对称性. 【专题】数形结合. 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称. 【解答】解:∵A 点的坐标为(2,1) , ∴B 点的坐标为(﹣2,﹣1) . 故答案为: (﹣2,﹣1) . 【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性,较为简单,容易掌握. 14.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1,2,3,4,5, 6) .记甲立方体朝上一面上的数字为 x,乙立方体朝上一面上的数字为 y,这样就确定点 P 的一个坐 标(x,y) ,那么点 P 落在双曲线 y= 上的概率为 . 【考点】列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征. 【专题】计算题. 【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出 P 坐标落在双曲线上的情况数,即可求出所求的概率. 【解答】解:列表得: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 所有等可能的情况数有 36 种,其中 P(x,y)落在双曲线 y= 上的情况有 4 种, 则 P= = .

故答案为: 【点评】此题考查了树状图与列表法,以及反比例函数图象上点的特征,用到的知识点为:概率= 所求情况数与总情况数之比.

15.如图,∠BAC 位于 6×6 的方格纸中,则 tan∠BAC=



11

【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】根据三角函数的定义解答.

【解答】解:观察图形可知,tan∠BAC=

= .

【点评】本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比 斜边;正切等于对边比邻边. 16.小明身高 1.8m,王鹏身高 1.50m,他们在同一时刻站在阳光下,小明影子长为 1.20m,则王鹏 的影长为 1 m. 【考点】相似三角形的应用. 【分析】利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可. 【解答】解:设王鹏的影长为 xm, 由题意可得: = , 解得:x=1. 故答案为:1. 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用,正确利用物体高度与影长的关系是解题关键. 17.如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB?DE=AD?BC”成立,则这个条件可以是 ∠B=∠D . (只填一个即可)

【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】压轴题;开放型. 【分析】 要使 AB?DE=AD?BC 成立, 需证△ABC∽△ADE, 在这两三角形中, 由∠1=∠2 可知∠BAC=∠DAE, 还需的条件可以是∠B=∠D 或∠C=∠AED 【解答】解:这个条件为:∠B=∠D ∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE ∵∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE ∴AB?DE=AD?BC 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用. 18.如图,在△ABC 中,点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上,且 DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法: ①四边形 AEDF 是平行四边形; ②如果∠BAC=90°,那么四边形 AEDF 是矩形;

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③如果 AD 平分∠BAC,那么四边形 AEDF 是菱形; ④如果 AD⊥BC 且 AB=AC,那么四边形 AEDF 是菱形. 其中,正确的有 ①②③④ (只填写序号) .

【考点】菱形的判定;平行四边形的判定;矩形的判定. 【专题】压轴题. 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答. 【解答】解:①∵DE∥CA,DF∥BA, ∴四边形 AEDF 是平行四边形;故①正确; ②若∠BAC=90°,则平行四边形 AEDF 是矩形;故②正确; ③若 AD 平分∠BAC,则 DE=DF; 所以平行四边形是菱形;故③正确; ④若 AD⊥BC,AB=AC; 根据等腰三角形三线合一的性质知:DA 平分∠BAC; 由③知:此时平行四边形 AEDF 是菱形;故④正确; 所以正确的结论是①②③④. 【点评】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 三、解答题 19. (1)解方程: (x﹣1) (x+2)=2(x+2) (2)6tan30°﹣ cos30°﹣2sin45°.

【考点】解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函数值. 【分析】 (1)首先提取公因式(x+2)得到(x+2) (x﹣3)=0,然后解两个一元一次方程即可; (2)把 tan30°= 、cos30°= 和 sin45°= 代入原式进行化简求值即可. 【解答】解: (1)解方程(x﹣1) (x+2)=2(x+2) , (x﹣1) (x+2)﹣2(x+2)=0, (x+2) (x﹣1﹣2)=0, (x+2) (x﹣3)=0, x1=﹣2,x2=3; (2)6tan30°﹣ cos 30°﹣2sin 45°

=6×



×

﹣2×

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=2 ﹣ ﹣ . 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及特殊角的三角函数值等知识,解答本题的 关键是掌握因式分解法解方程的方法与步骤以及熟记特殊角的三角函数值,此题难度不大. 20.画出如图几何体的三视图.

【考点】作图-三视图. 【分析】分别画出从几何体的正面看,左边看和上面看所得到的图形即可. 【解答】解:如图所示:

. 【点评】本题考查实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见 的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉. 21.如图,在△ABC 中,已知 DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3. (1)求 的值; (2)求 BC 的长.

【考点】平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)由已知条件求得 AB 的值,再求 AD:AB 即可; (2)已知 DE∥BC,可证△ADE∽△ABC,可得出 值. 【解答】解: (1)∵AD=4,DB=8 ∴AB=AD+DB=4+8=12 ∴ = ; ,把 DE,AD,AB 的值代入,即可求得 BC 的

(2)∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

14

∴ ∵DE=3 ∴ ∴BC=9. 【点评】本题利用了平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例. 22.白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014 年达到 82.8 公顷. (1)求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷? 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】增长率问题. 【分析】 (1)设每绿地面积的年平均增长率为 x,就可以表示出 2014 年的绿地面积,根据 2014 年 的绿地面积达到 82.8 公顷建立方程求出 x 的值即可; (2)根据(1)求出的年增长率就可以求出结论. 【解答】解: (1)设绿地面积的年平均增长率为 x,根据意,得 2 57.5(1+x) =82.8 解得:x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去) 答:增长率为 20%; (2)由题意,得 82.8(1+0.2)=99.36 公顷, 答:2015 年该镇绿地面积不能达到 100 公顷. 【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用,运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运 用,一元二次方程的解法的运用,解答时求出平均增长率是关键. 23.有 A、B 两个黑布袋,A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字 0,1,2, 3,B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字 0,1,2.小明先从 A 布袋中随 机取出一个小球,用 m 表示取出的球上标有的数字,再从 B 布袋中随机取出一个小球,用 n 表示取 出的球上标有的数字. (1)用(m,n)表示小明取球时 m 与 n 的对应值,画出树状图(或列表) ,写出(m,n)的所有取 值; (2)求关于 x 的一元二次方程 没有实数根的概率. 【考点】列表法与树状图法;根的判别式. 【分析】 (1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果, (2)利用 m,n 的值确定△<0 时的个数,根据概率公式求出该事件的概率. 【解答】解: (1)列表为 A 0 1 2 3 B 0 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) 1 (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) 2 (0,2 ) (1,2 ) (2,2) (3,2)

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由列表知, (m,n)有 12 种可能; (2)由方程得△=m ﹣2n, 当(m,n)的对应值是(0,1) , (0,2) , (1,1) , (1,2)时, △<0,原方程没有实数根,故 ,
2

答:关于 x 的一元二次方程 没有实数根的概率为 . 【点评】此题主要考查了列表法求概率,解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知 识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 24.为响应国家的“节能减排”政策,某厂家开发了一种新型的电动车,如图,它的大灯 A 射出的 光线 AB、AC 与地面 MN 的夹角分别为 22°和 31°,AT⊥MN,垂足为 T,大灯照亮地面的宽度 BC 的 长为 m. (1)求 BT 的长(不考虑其他因素) . (2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 0.2s,从发现危险到电动车完全停下所 行驶的距离叫做最小安全距离.某人以 20km/h 的速度驾驶该车,从做出刹车动作到电动车停止的刹 车距离是 ,请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求(大灯与前轮前端间水平距 离忽略不计) ,并说明理由. (参考数据:sin22°≈ ,tan22°≈ ,sin31°≈ ,tan31°≈ )

【考点】解直角三角形的应用. 【分析】 (1)在直角△ACT 中,根据三角函数的定义,若 AT=3x,则 CT=5x,在直角△ABT 中利用三 角函数即可列方程求解; (2)求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程,加上刹车距离,然后与 BT 的长进行比较即可. 【解答】解: (1)根据题意及图知:∠ACT=31°,∠ABT=22° ∵AT⊥MN ∴∠ATC=90° 在 Rt△ACT 中,∠ACT=31° ∴tan31°= 可设 AT=3x,则 CT=5x 在 Rt△ABT 中,∠ABT=22° ∴tan22°=

16

即: 解得: ∴ ∴ (2) , , ; ,

∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求. 【点评】本题考查了解直角三角形,正确利用三角函数列出方程进行求解,正确理解方程思想是关 键.

25.如图,一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A(2,3) ,B(﹣3,n)两点. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)根据所给条件,请直接写出不等式 kx+b> 的解集; (3)过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为 C,求 S△ABC.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)由一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A(2,3) ,B(﹣3,n)两点,首 先求得反比例函数的解析式,则可求得 B 点的坐标,然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析 式; (2)根据图象,观察即可求得答案; (3)因为以 BC 为底,则 BC 边上的高为 3+2=5,所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案. 【解答】解: (1)∵点 A(2,3)在 y= 的图象上,

17

∴m=6, ∴反比例函数的解析式为:y= , ∵B(﹣3,n)在反比例函数图象上,

∴n=

=﹣2,

∵A(2,3) ,B(﹣3,﹣2)两点在 y=kx+b 上,





解得:



∴一次函数的解析式为:y=x+1; (2)﹣3<x<0 或 x>2; (3)以 BC 为底,则 BC 边上的高 AE 为 3+2=5, ∴S△ABC= ×2×5=5.

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键. 26.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线 于点 F. (1)求证:△AEF≌△DEB; (2)证明四边形 ADCF 是菱形; (3)若 AC=4,AB=5,求菱形 ADCF 的面积.

【考点】菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线

18

定理. 【专题】证明题. 【分析】 (1)根据 AAS 证△AFE≌△DBE; (2)利用①中全等三角形的对应边相等得到 AF=BD.结合已知条件,利用“有一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形”得到 ADCF 是菱形,由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到 AD=DC,从而得出结论; (3)由直角三角形 ABC 与菱形有相同的高,根据等积变形求出这个高,代入菱形面积公式可求出结 论. 【解答】 (1)证明:①∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, ∵E 是 AD 的中点,AD 是 BC 边上的中线, ∴AE=DE,BD=CD, 在△AFE 和△DBE 中,

, ∴△AFE≌△DBE(AAS) ; (2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则 AF=DB. ∵DB=DC, ∴AF=CD. ∵AF∥BC, ∴四边形 ADCF 是平行四边形, ∵∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点, ∴AD=DC= BC, ∴四边形 ADCF 是菱形; (3)解:设菱形 DC 边上的高为 h, ∴RT△ABC 斜边 BC 边上的高也为 h, ∵BC= ∴DC= BC= ∴h= = = , , ,

菱形 ADCF 的面积为:DC?h= × =10. 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,菱形的面 积计算,主要考查学生的推理能力. 27.某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品.根据市场分析,若按每千克 50 元销售,一 个月能销售 500 千克;销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克.针对这种水产品的销售情况,

19

请解答以下问题: (1)当销售单价定为每千克 55 元时,计算月销售量和月销售利润; (2)设销售单价为每千克 x 元,月销售利润为 y 元,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当销售单价定为每千克多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少? 【考点】二次函数的应用. 【分析】 (1)根据“销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克”,可知:月销售量=500﹣(销售 单价﹣50)×10.由此可得出售价为 55 元/千克时的月销售量,然后根据利润=每千克的利润×销售 的数量来求出月销售利润; (2)方法同(1)只不过将 55 元换成了 x 元,求的月销售利润变成了 y; (3)得出(2)的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值. 【解答】解: (1)∵当销售单价定为每千克 55 元时,则销售单价每涨(55﹣50)元,少销售量是(55 ﹣40)×10 千克, ∴月销售量为:500﹣(55﹣50)×10=450(千克) , 所以月销售利润为: (55﹣40)×450=6750 元; (2)当销售单价定为每千克 x 元时,月销售量为:[500﹣(x﹣50)×10]千克. 每千克的销售利润是: (x﹣40)元, 2 所以月销售利润为:y=(x﹣40)[500﹣(x﹣50)×10]=(x﹣40) (1000﹣10x)=﹣10x +1400x﹣ 40000, 2 ∴y 与 x 的函数解析式为:y=﹣10x +1400x﹣40000; 2 (3)由(2)的函数可知:y=﹣10(x﹣70) +9000 因此:当 x=70 时,ymax=9000 元, 即:当售价是 70 元时,利润最大为 9000 元. 【点评】本题主要考查了二次函数的应用,能正确表示出月销售量是解题的关键.求二次函数的最 大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是 后两种方法. 28.已知抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,O 是坐标原点,点 A 的坐标是 (﹣1,0) ,点 C 的坐标是(0,﹣3) . (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线 BC 的函数表达式和∠ABC 的度数; (3)P 为线段 BC 上一点,连接 AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点 P 的坐标.
2

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)直接将 A,C 点坐标代入抛物线解析式求出即可;

20

(2) 首先求出 B 点坐标, 进而利用待定系数法求出直线 BC 的解析式, 进而利用 CO, BO 的长求出∠ABC 的度数; (3)利用∠ACB=∠PAB,结合相似三角形的判定与性质得出 BP 的长,进而得出 P 点坐标. 【解答】解: (1)将点 A 的坐标(﹣1,0) ,点 C 的坐标(0,﹣3)代入抛物线解析式得:



解得:


2

故抛物线解析式为:y=x ﹣2x﹣3; (2)由(1)得:0=x ﹣2x﹣3, 解得:x1=﹣1,x2=3,故 B 点坐标为: (3,0) , 设直线 BC 的解析式为:y=kx+d,
2





解得:



故直线 BC 的解析式为:y=x﹣3, ∵B(3,0) ,C(0,﹣3) , ∴BO=OC=3, ∴∠ABC=45°; (3)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D, ∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA, ∴△ABP∽△CBA, ∴ = , ∵BO=OC=3, ∴BC=3 ,

∵A(﹣1,0) ,B(3,0) , ∴AB=4, ∴ = ,

解得:BP= , 由题意可得:PD∥OC, ∴DB=DP= ,

21

∴OD=3﹣ = , 则 P( ,﹣ ) .

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等 知识,熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA 是解题关键.

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