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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第五篇 数 列 检测试题 Word版含解析


第五篇 检测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

【选题明细表】 知识点、方法 数列的概念与表示 等差数列 等比数列 数列求和 数列的实际应用 数列的综合问题 题号 2、3、15 1、5、11、13、17 4、7、9、14 6、10、18 8、20 12、16、19、21、22

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.

(2012 济南一模)已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9 等于( (A)24 (B)27 (C)15 (D) 54 解析:法一 由于 a3+a4+a8=9, 所以 3a1+12d=9, 即 a1+4d=3, 因此 a5=3, 那么 S9= 故选 B. ×9=9a5=9×3=27, B )

法二 由等差数列的性质知 a3+a4+a8=a2+a5+a8=3a5=9, ∴a5=3, ∴S9= 故选 B. 2.在数列{an}中,a1=a,a2=b,且 an+2=an+1-an(n∈N*),设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013 等于( (A)0 解 (B)a 析 C ) =9a5=27.

(C)2b (D)a+b : 由 题 意 可 得

a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=(b-a)-b=-a,a5=(-a)-(b-a)=-b,a6=(-b)-(-a)=a-b,a7=(a-b)-( -b)=a,a8=a-(a-b)=b,…,于是可知数列{an}是以 6 为周期的周期数列, 又 S6=0,2013=6×335+3, 所以 S2013=a1+a2+a3+335S6=2b. 故选 C. 3.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· 2· 3· an=n2,则 a3+a5 等于( a a …· (A) (B) (C) (D) C )

解析:∵a1=1, 当 n≥2 时,a1·a2·a3·…·an=n2① ∴a1·a2·a3·…·an+1=(n+1)2②, 则 得 an+1= ,

∴a3= a5=

=, = , = .

∴a3+a5= + = 故选 C.

4.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 若 a1<a2<a3, 则 q>0 且 a1<a1q<a1q2, 解得 a1>0,q>1,或 a1<0,0<q<1, 所以数列{an}为递增数列; 反之,若数列{an}是递增数列, 显然有 a1<a2<a3, 所以 a1<a2<a3 是数列{an}是递增数列的充要条件. 故选 C. 5.(2012 福建四地六校模拟)已知等比数列{an}(n∈N*)中有 a5a11=4a8,数列 {bn}是等差数列,且 a8=b8,则 b7+b9 等于( C ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16

解析:b7+b9=2b8,

又 a5a11=4a8,∴ =4a8, ∵a8≠0,∴a8=4, 即 b8=4,∴b7+b9=8,故选 C. 6.(2012 年高考大纲全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15, 则数列 (A) (B) 的前 100 项和为( (C) (D) A )

解析:由 S5=5a3 及 S5=15 得 a3=3, ∴d= ∴an=n, = 所以数列 =, 的前 100 项和 =1,a1=1,

T100=1- + - +…+ - =1- = ,故选 A. 7.已知数列{an}满足 a1= ,且对任意的正整数 m、 n,都有 am+n=am· n,若数列 a {an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于( D ) (A)2(C)2(B)2(D)2-

解析:令 m=1,得 an+1=a1·an,



=a1= ,

可知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 q= 的等比数列, 于是 Sn= =2× =2. =

故选 D. 8.(2012 威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部 门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害. 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( C ) (B)6 年 (C)7 年 (D)8 年

(A)5 年

解析:由已知可得第 n 年的产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2. 当 n=1 时也适合,据题意令 an≥150? n≥5 , 即数列从第 8 项开始超过 150, 即这条生产线最多生产 7 年.故选 C. 9.已知等比数列{an}中,若 a1006· 1008=4,则该数列的前 2013 项的积为 a ( D )

(A)42013 (B)±42013 (C)22013 (D)±22013

解 析 : 由 等 比 数 列 {an} 的 性 质 知 a1006·a1008=a1005·a1009=a1004·a1010= … =a2·a2012=a1·a2013= 因 此 a1a2 =4, … a2013=(a1·a2013)(a2·a2012) …

(a1006·a1008)a1007=41006·(±2)=±22013,故选 D. 10.已知函数 f(n)= 等于( (A)0 B ) (B)100 (C)-100 (D)10200 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100

解析:由题意,a1+a2+…+a100= 12-22-22+32+32-42-42+52+ … +992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+ …

-(99+100)+(101+100)=100.故选 B. 11.(2012 济宁模拟)设{an}(n∈N+)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( C ) (A)d<0(B)a7=0 (C)S9>S5 (D)S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 解析:∵{an}是等差数列, ∴Sn= n2+ ∵S5<S6=S7>S8, ∴Sn 关于 n 的二次函数开口向下,对称轴为 n=6.5, ∴d<0,S6 与 S7 均为 Sn 的最大值,S9<S5. a7=S7-S6=0,故选 C. 12.(2013 山东省青岛一中调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满 n.

足f

=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足 a1=-1,且 =2× +1(其中 Sn 为{an}的前 C )

n 项和),则 f(a5)+f(a6)等于( (A)-3 (B)-2 (C)3 解析:由 f f =f(x)=-f (D)2

=f(x),可知函数的对称轴为 x= ,又函数为奇函数,所以有 ,所以 f =-f(x),即 f(x-3)=f(x),函数的周期为 3.

由 =2× +1 得 Sn=2an+n, 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1,即 an=2an-1-1,所以 a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63, 所以 f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0), 因为函数为奇函数, 所以 f(0)=0, 由 f(-2)=-3, 可得 f(-2)=f(1)=-3, 所以 f(a5)+f(a6)=3, 故选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.(2012 北京市丰台区高三第一学期期末)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项 和,若 S5= a8+5,S6= a7+a9-5,则公差 d 等于 解析:a6=S6-S5=a7+a9-5-(a8+5)= a7+a9-a8-10, .

∴a6-a7=a9-a8-10, ∴-d=d-10,∴d=5. 答案:5 14.(2013 云南省昆明三中月考)已知数列{an}为等比数列,且 a1a13+2 =5π, 则 cos(a2a12)的值为 .

解析:在等比数列中 a1a13+2 = +2 =3 =5π,所以 = . 所以 cos(a2a12)=cos( )=cos 答案: 15.数列{an}的前 20 项由如图所示的程序框图依次输出的 a 值构成,则数 列{an}的一个通项公式 an= . =cos = .





:













a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,an=an-1+n, 即 an=1+2+3+…+(n-1)+n= 答案: 16.(2012 抚顺模拟)在数列{an}中,若 =p(n≥2,n∈N+,p 为常数),则称{an} .

为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{ }是等差数列; ②{(-1)n}是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N+,k 为常数)也是等方差数列; ④若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数数列.其中正确 命题的序号为 解析:①正确,因为 所以 - =-p, .(将所有正确命题的序号填在横线上) =p,

于是数列{ }为等差数列. ②正确,因为(-1)2n-(-1)2(n+1)=0 为常数, 于是数列{(-1)n}为等方差数列. ③正确,因为 +( )=kp, =( )+( )+( )+ …

则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列. ④显然正确. 答案:①②③④ 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) (2012 年高考陕西卷)设{an}是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn, 且 a5、a3、a4 成等差数列. (1)求数列{an}的公比;

(2)证明:对任意 k∈N+,Sk+2、Sk、Sk+1 成等差数列. (1)解:设数列{an}的公比为 q(q≠0,q≠1), 由 a5、a3、a4 成等差数列, 得 2a3=a5+a4, 即 2a1q2=a1q4+a1q3, 由 a1≠0,q≠0 得 q2+q-2=0, 解得 q1=-2,q2=1(舍去), 所以 q=-2. (2)证明:法一 对任意 k∈N+, Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)= ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1· (-2)=0, 所以,对任意 k∈N+,Sk+2、Sk、Sk+1 成等差数列. 法二 对任意 k∈N+,2Sk= Sk+2+Sk+1= , 2Sk-(Sk+2+Sk+1)= = + = ,

[2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)]= (q2+q-2)=0, 因此,对任意 k∈N+,Sk+2、Sk、Sk+1 成等差数列.

18.(本小题满分 12 分) (2013 北京市东城区高三上学期期末)已知{an}为等比数列,其前 n 项 和为 Sn,且 Sn=2n+a(n∈N*). (1)求 a 的值及数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)当 n=1 时,S1=a1=2+a. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 因为{an}是等比数列,a2=2,公比 q=2. 所以 a1=2+a=21-1=1, 即 a1=1,a=-1. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)得 bn=(2n-1)an=(2n-1)· n-1. 2 则 Tn=1×1+3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)· n-1.① 2 2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)· n-1+ 2 (2n-1)· n,② 2 ①-②得-Tn=1×1+2×2+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)· n 2 =1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)· n 2 =1+4(2n-1-1)-(2n-1)· n 2 =-(2n-3)· n-3. 2 所以 Tn=(2n-3)· n+3. 2 19.(本小题满分 12 分) (2013 南通模拟)设数列{an}的各项均为正数.若对任意的 n∈N*,存在 k∈N*,

使得

=an· n+2k 成立,则称数列{an}为“Jk 型”数列. a

(1)若数列{an}是“J2 型”数列,且 a2=8,a8=1,求 a2n; (2)若数列{an}既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{an}是等比数列. (1)解:由题意得 a2,a4,a6,a8,…,成等比数列, 且公比 q= =, .

所以 a2n=a2qn-1=

(2)证明:由数列{an}是“J4 型”数列,得 a1,a5,a9,a13,a17,a21,…成等比数列,设公比为 t. 由数列{an}是“J3 型”数列,得 a1,a4,a7,a10,a13,…成等比数列,设公比为α1; a2,a5,a8,a11,a14,…成等比数列,设公比为α2; a3,a6,a9,a12,a15,…成等比数列,设公比为α3. 则 = =t3, = =t3, = =t3, 所以α1=α2=α3,不妨记α=α1=α2=α3, 且 t= . 于是 a3k-2=a1αk-1=a1( a3k-1=a5αk-2=a1tαk-2=a1 )(3k-2)-1, =a1( )(3k-1)-1,

a3k=a9αk-3=a1t2αk-3=a1 所以 an=a1( )n-1,

=a1(

)3k-1,

故{an}为等比数列. 20.(本小题满分 12 分) 某外商到中国一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各 种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元, 设 f(n)表示前 n 年的纯收入.(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投 资额) (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该外商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大 时以 48 万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂, 问哪种方案最合算? 解:由题意,知每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯利润与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n-72=-2n2+40n-72.

(1)获取纯利润就是要求 f(n)>0, 故有-2n2+40n-72>0, 解得 2<n<18. 又 n∈N*,知从第三年开始获利. (2)①平均利润为 =40-2 ≤16,

当且仅当 n=6 时取等号. 故此方案获利 6×16+48=144(万美元), 此时 n=6. ②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128, 当 n=10 时,f(n)max=128. 故此方案共获利 128+16=144(万美元). 比较两种方案,第①种方案只需 6 年, 第②种方案需要 10 年, 故选择第①种方案. 21.(本小题满分 12 分) (2012 年高考湖南卷)已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+… +an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,……. (1)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求 数列{an}的通项公式. (2)证明:数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N*, 三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. (1)解:对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)是等差数列, 所以 B(n)-A(n)=C(n)-B(n), 即 an+1-a1=an+2-a2, 亦即 an+2-an+1=a2-a1=4. 故数列{an}是首项为 1,公差为 4 的等差数列. 于是 an=1+(n-1)×4=4n-3.

(2)证明:①必要性:若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则对任意 n∈N*,有 an+1=anq.由 an>0 知,A(n),B(n),C(n)均大于 0,于是 = = 即 = =q, = = =q, =q,

所以三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. ②充分性:若对于任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比 数列, 则 B(n)=qA(n),C(n)=qB(n), 于是 C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)], 得 an+2-a2=q(an+1-a1), 即 an+2-qan+1=a2-qa1. 由 n=1 有 B(1)=qA(1), 即 a2=qa1,从而 an+2-qan+1=0. 因为 an>0, 所以 = =q,

故数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列, 综上所述,数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. 22.(本小题满分 14 分)

已知数列{bn}满足:bn+1= bn+ ,且 b1= ,Tn 为{bn}的前 n 项和. (1)求证:数列 是等比数列,并求{bn}的通项公式; ≥2n-7 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(2)如果对任意 n∈N*,不等式 (1)证明:对任意 n∈N*, 都有 bn+1= bn+ , 所以 bn+1- = 则 ,

是等比数列,

首项为 b1- =3, 公比为 , 所以 bn- =3× 即 bn=3× +. +, += +. ≥2n-7, ,

(2)解:因为 bn=3× 所以 Tn=3 + =6 因为不等式

化简,得 k≥ 设 cn= ,

,对任意 n∈N*恒成立,

则 cn+1-cn=

-

=

,

当 n≥5 时,cn+1≤cn, 数列{cn}为单调递减数列; 当 1≤n<5 时,cn+1>cn, 数列{cn}为单调递增数列. 而 =c4<c5= , 所以 n=5 时,cn 取得最大值 . 所以要使 k≥ 对任意 n∈N*恒成立,k≥ .


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