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空间向量在立体几何中的应用


空间向量在立体几何中的应用
? 以下 n 是平面 ? 的法向量。
一、空间向量解决平行、垂直、空间角和空间距离的基本模型。 ? ? ? ? 1、直线与平面平行与垂直的判定 n a a n (1) . a // ? ? a ? n
? ? ? ?

?
? ?

(2) . a ? ? ? a// n

? a ? ? n 2、平面与平面平行与垂直 (1) . ? // ? ? n1 // n2
? ?

?? ?? ? ?? ?? ? (2) . ? ? ? ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0

?? n1

? ?? n2

?? n1 ? ?? n2

? ?
?
3、立体几何中的角 (1) .异面直线所成的角 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? A B? C D c o? s ? ? ? ?? ? ? ?? A B. C D (2).平面与平面所成的角 ?? ?? ? n1 ? n2 cos(? ? ? ) ? ?? ?? ? (图一) n1 ?n2
A

?
B

C
D

?? ?? ? n1 ? n2 或 cos? ? ?? ?? ? (图二) n1 ?n2

?? n1 ?? ? n2
(图一)

?? n1

? ?? n2
(图二)

(3)直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的
? ?

角为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则有 sinφ =|cosθ |=

e? n



?

e?n

?

π 取值范围是[0, 2 ].

4、点到平面的距离
??? ? ? ? ??? ? ? 由 PB ? n ? n PB cos ? ? n d
P

??? ? ? P B? n ?d ? ? n

? n
B A

二、空间向量在高考中的应用。
例 1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形,AB//CD, ?DAB ? 90 ,PA ? 底面 ABCD,
0

1 ,AB=1,M 是 PB 的中点。 2 (1) 证明:平面 PAD ? 平面 PCD
且 PA=AD=DC= (2) 求 AC 与 PB 所成的角 (3) 求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的大小

例 2.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,

AB ? 3, BC ? 1, PA ? 2, E 为 PD 的中点。
(1) 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 (2)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,

例 3:已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.:(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

例 4:如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD, AB ? 2 3 。 (1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

练习: 1、在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M 为线段 AB 的中点.将 △ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD;(2)求异面直线 DM 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 A-CD-M 的余弦值.

2、 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ? 底面 ABCD,PA=AB= 6 ,点 E 是棱 PB 的中点。 (1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离; (2)若 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。

D 底面是正方形, 3 、 如 图 , 四 棱 锥 P? A B C 的

P D? 底面 A B C D E 在棱 PB 上. ,点 (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与
平面 PDB 所成的角的大小.

4、如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2,底面 ABCD 为 直角梯形, 其中 BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点. (1)求证: PO⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 A 到平面 PCD 的距离.


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