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12.浙江省数学竞赛模拟题(六)答案


浙江省数学竞赛模拟题(六)
班级__________ 一、选择题(共 50 分) 1.已知条件 p : 1 ? sin 2? ? A、充分不必要条件 解:因为 1 ? sin 2? ?
4 3

姓名__________ ( C )

和条件 q : sin ? ? cos ? ? C、充要条件
4 3

/>
4 3

.则 p 是 q 的

B、必要不充分条件
(sin ? ? cos ? )
2

D、既不充分也不必要条件 ,故 p 是 q 的充要条件.故选 C.

? sin ? ? cos ? ?

2.在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为随机变量 ? , 则 ? 的数学期望 E ? 是 A、
6 5

( C )
7 5

B、
C C
?
1 4 2 5

C、
C C
?
2 4 2 5

8 5

D、

9 5

解:数学期望是: 1 ?

? 2?

?

8 5

.故选 C.

3.设正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角的大小是 A、 30 B、 45 C、 60 解:设顶点 S 在底面 ? ABC 的射影是 H ,则 H 为 ? ABC 的外心. 从而 AH ?
2 3
4
?

D、 arctan

2

( A )

?3?

3 2

?
2

3 ,于是可得 ? SAH ? 30 .故选 A.
2

?

4.已知函数 f ( x ) ? A、 ? 4
2

x ? (k ? 2k ? 4) x ? 4 x ? 2x ? 4 B、 ? 2
4 2

的最小值是 0,则非零实数 k 的值是 C、2 D、4
x
4 2 2

( B )

解: f ( x ) ? 1 ? ( k ? 2 k ? 6 )
2

x
4

2 2
4 2 ,因为 x ? 4 ? 4 x ,故 0 ?

x ? 2x ? 4

x ? 2x ? 4

?

1 6

当 k ? 2 k ? 6 ? 0 时, f min ? 1 ,不合题意; 当 k ? 2 k ? 6 ? 0 时, f max ? 1, f min ? 1 ?
2

1 6

(k

2

? 2k ? 6) ,

由条件知 1 ?

1 6

(k

2

? 2 k ? 6 ) ? 0 ,解得 k ? ? 2 或 0(舍去) .故选 B.

5. 长 方 体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的 八 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 AA 1 ? 1 , AB ? 2 2 ,
AD ? 3 3 , 则经过 B 、 C 两点的球面距离是

( C ) C、 2 ? D、 4 ?

A、

2? 3

B、
1 2

4? 3

解:球 O 的半径 R ?

1 ? ( 2 2 ) ? (3 3 )
2

2

? 3 ,在 ? OBC 中 OB ? OC ? 3 ,
2? 3 1 3 ? 2 ? .故选 C.

BC ? AD ? 3 3 ,则 cos ? BOC ? ?

1 2

,从而 ? BOC ?



所以,经过 B 、 C 两点的球面距离是 2 ? ? 3 ?
2

6.对任意实数 m ,过函数 f ( x ) ? x ? mx ? 1 图象上的点 ( 2 , f ( 2 )) 的切线恒过一定点 P ,则点 P
1

的坐标为 A、 ( 0 , 3 ) B、 ( 0 , ? 3 ) C、 ( , 0 )
3

( B ) D、 ( ?
3 , 0)

2 2 ? ( x ) ? 2 x ? m ,故 f ? ( 2 ) ? 4 ? m .于是过 ( 2 , f ( 2 )) 的切线方程是: 解:因为 f
y ? ( 5 ? 2 m ) ? ( 4 ? m )( x ? 2 ) ,即 y ? ( m ? 4 ) x ? 3 ,因此切线方程恒过 ( 0 , ? 3 ) .故选 B.
2 2 2 2

7.设 A1、A2 为椭圆

x a

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P ,使

得 PO ? PA 2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 A、 ( 0 ,
1 2 )

( D ) D、 (
a 2
2

B、 ( 0 ,

2 2

)

C、 ( , 1 )
2

1

2 2

, 1)

解:由题设知∠OPA2=90° ,设 P(x,y)(x>0),以 OA2 为直径的圆方程为 ( x ? 与椭圆方程联立得 (1 ? 由此得 0 ?
a 2 (1 ? b a
2 2

) ? y

2

?

a

2



4

b a

2 2

) x ? ax ? b
2
2

2

? 0 .由题设知,要求此方程在(0, a )上有实根.

? a 化简得 e )

?

1 2

,所以 e 的取值范围为 (

2 2

,1) .故选 D.

8.记 F ( x , y ) ? ( x ? y ) ? (
2

x 3

?

3 y

) , ( y ? 0 ) ,则 F ( x , y ) 的最小值是
2

( D、4
x 3



A、

12 5
x 3

B、

16 5 3
y

C、
) ,则 F ( x , y ) ? PQ
3 x0

18 5
2

解:设动点 P ( x , ? 为双曲线 y ?
x0 ? 3 ? d ? 10

) 与Q ( y,

,点 P 的轨迹为直线 y ? ?

,点 Q 的轨迹

3 x

,双曲线上的任一点 ( x 0 ,

) 到直线 x ? 3 y ? 0 的距离

3 x0 ? 6 10

,当 x 0 ? ? 3 时等号成立.故 F ( x , y ) 的最小值为
*

18 5

.故选 C. ( )

9.设 a n ? 2 ? 解:令 u ? 2 ?
2
n n

?

7

?
2

2 n ?1

, b n 是 a n 的小数部分,则当 n ? N 时, a n b n 的值
B 、必为偶数
C 、必为奇数
n n1 ?

A 、必为无理数

D 、可为无理数或有理数
2

7, v ? 2 ?

7 ,则 u ? v ? 4, uv ? ? 3 , u , v 是方程 x ? 4 x ? 3 的两根,
?3u
n2 ?

则 u ? 4 u ? 3, v ? 4 v ? 3 , 所 以 当 n ? 2 时 , u ? 4 u

, v ? 4 v
n

?n 1

? 3 v, 令

?n 2

S n ? u ? v ,则当 n ? 2 时, S n ? S n ?1 ? S n ? 2 , S 0 ? 2, S 1 ? 4 ,故所有 S n 为偶数,

?

7 ?2

?

2 n ?1

?

? ? ?

7 ?2

?

2 n ?1

?u

2 n ?1

?v

2 n ?1

? S 2 n ?1 ? 2 k ,

?

7 ?2

?

2 n ?1

? 2k ? 7 ?2

?

7 ?2

?

2 n ?1



因0 ?

? ?

7 ?2

2 n ?1

? 1 ,所以 ?

?

7 ?2 ?3

?

2 n ?1

为 a n 的小数部分,即 b n ?

?

?

2 n ?1



a n bn ?

7 ?2

2 n ?1

?

7 ?2

?

2 n ?1

2 n ?1

? 奇数.答: C .
2

10.设 n 为正整数,且 3 n ? 1 与 5 n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:

(甲). 7 n ? 1 3 必为合数; (乙). 8 ? 1 7 n ? 3 n ? 必为两个平方数的和.你的判断是
2





A.甲对乙错;

B. 甲错乙对;
2 2
2

C.甲乙都对;
2

D.甲乙都不一定对.

答案: C 解:设 3 n ? 1 ? a , 5 n ? 1 ? b , a , b 为正整数;则
7 n ? 1 3 ? 9 ? 3 n ? 1 ? ? 4 ? 5 n ? 1 ? ? ? 3 a ? ? ? 2 b ? ? ? 3 a ? 2 b ? ? 3 a ? 2 b ? ?○, 1

由此知, 3 a ? 2 b 为正整数,且 3 a ? 2 b ? 1 ,因为若 3 a ? 2 b ? 1 ,则
2 7 n ? 9 ? ? 3 a ? ? ? 2 b ? 1 ? ? 4 b ? 4 b ? 1 ,即 2 7 n ? 4 ? n ? n ? 2 ? ,则 4 n ,记
2 2 2 2

n ? 4 k ,得 5 n ? 1 ? 20 k ? 1 不为平方数,矛盾!所以 3 a ? 2 b ? 2 ,故由○得, 1
7 n ? 1 3 为合数;又因为 8 ? 1 7 n ? 3 n ? ? ? ? 3 n ? 1 ? ? ? 5 n ? 1 ? ? ? 4 ? 3 n ? 1 ? ? ? 5 n ? 1 ? ? ? ?? ?
2

2 2 2 2 2 2 2 ? ? a ? b ? ? ? 2 a ? ? b ? ? ? 2 a ? b ? ? ? a b ? ,故选 C .(例如 6 5 是上述 n 之一). ? ?? ? 2

二、填空题(共 49 分) 11.已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间 ( ?
内 为 增 函 数 ,则 a=

2 3

,?

1 3

)内 为 减 函 数 , 在 区 间 ( -

1 3

,+? )

.

12.设 A、B 是两个集合,称(A,B)为一个“对子” ,当 A≠B 时,将(A,B)和(B,A)视为 不同的“对子” ,满足集合 AUB={1,2,3,4}的不同对子(A,B)的个数为 .

13.已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i ) ? 1 ? i ( i为 虚 数 单 位 ), 复 数 z 2的 虚 部 为 2,
则 z1 ? z 2 实 数 的 条 件 是 z 2? 为

.

14.已知椭圆 C:

x

2

2

? y ? 1 的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0 ?
2

x0 2

2

? y0 ? 1 ,
2

则|PF1|+|PF2|的取值范围是
3

.

15.已知数列 { a n }满 足 递 推 关 系 式 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ? 1( n ? N ), 且 ?
n

?

? a n +? ? 则λ 的取 ? 为等差数列, n ? 2 ?

值是

.

16.规定一双筷子由同色的两支组成,现黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取出筷子来, 使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 只筷子才能做得到。

17.方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011 一共有

个解.

答案:4.方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0 或 ? 2 ;方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ? 1或 ? 5 ; 方程
x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3的 所 有 解 为 x ? ? 3或 ? 9 ; 方 程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为

x ? ? 6 或 ? 14 ;方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ? 10 或 ? 20 ;

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n ( n ? 2 ) 的所有解为 x ? ? 三、解答题(共 51 分) 18.设 A ? B ? C ? 1 8 0 , 且满足:
0

n ( n ? 1) 2

或 ?

n ( n ? 3) 2

.

sin A ? sin B ? sin C

co s A ? co s B ? co s C

?1, 求

co s 2 A ? co s 2 B ? co s 2 C co s A ? co s B ? co s C

的值.

解:由

sin A ? sin B ? sin C co s A ? co s B ? co s C
2 2 2 2 2 2

? 1 ,即 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ,

平方得 sin A ? sin B ? sin C ? 2(sin A sin B ? sin B sin C ? sin C sin A )
? cos A ? cos B ? cos C ? 2(cos A cos B ? cos B cos C ? cos C cos A )

所以 (cos A ? sin A ) ? (cos B ? sin B ) ? (cos C ? sin C )
2 2 2 2 2 2

? ? 2[cos( A ? B ) ? cos( B ? C ) ? cos( C ? A )] ,

即 cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 C ? 2(cos A ? cos B ? cos C ) , 所以
co s 2 A ? co s 2 B ? co s 2 C co s A ? co s B ? co s C ? 2.
2 2

19.设点 A ( ? 1, 0 ), B (1, 0 ), C ( 2 , 0 ) , D 在双曲线 x ? y ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双曲 线 x ? y ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?
2 2

1 2

上.

4

解:设 D ( x 1 , y 1 ), E ( x 2 , y 2 ), P ( x , y ) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2 ) ,则
x ? k ( x ? 2 ) ? 1 ,所以 x1 ? x 2 ?
2 2 2

?4k 1? k

2 2

, x1 x 2 ? ?

1 ? 4k 1? k
2

2

? ?1 ?

5 4

( x1 ? x 2 ) ,



y1 x1 ? 1

( x ? 1) ? y ?

y2 x2 ? 1

( x ? 1) ,

y2

所以 x ?

x2 ? 1 y2 x2 ? 1

? ?

y1 x1 ? 1 y1 x1 ? 1 ?

x2 ? 2 x2 ? 1 x2 ? 2 x2 ? 1

? ?

x1 ? 2 x1 ? 1 x1 ? 2 x1 ? 1
2 n ?1 ( a 0 ? a 1 ? ... ? a n ? 2 ) .

?

2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 3 x 2 ? x1 ? 4

。 把①代入上式,得 x ?

1 2

.

20.数列 a 0 , a1 , ..., a n , ... 满足 a 0 ? 0, a1 ? 1, a 2 ? 0 ,当 n ? 3 时有 a n ? 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 a n ?
n 10

.

证法 1:证明:由已知得 ( n ? 1) a n ? 2( a 0 ? a1 ? ... ? a n ? 2 ) ,在上式中以 n ? 1 代替 n 得到
n a n ? 1 ? 2 (a 0 ? a 1 . ? .a n ? ? .
1

) ,两式相减得 na n ? 1 ? ( n ? 1) a n ? 2 a n ?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均

成立.设 b n ?

an n?2

,则 n ( n ? 3) b n ? 1 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) b n ? 2 ( n ? 1) b n ?1 .
2 3

由于 n ( n ? 3) ? ( n ? 1)(n ? 2 ) ? 2 (n ? 1) ,故 b n ? 1 应在 b n 与 b n ? 1 之间. 由于 a 3 ? 1, a 4 ?
b3 ? 1 5 , b4 ? 1 9

,故

. 因此当 n ? 3 时,均有 b n ? [ , ] ,故 a n ? ( n ? 2 ) b n ?
9 5

1 1

n?2 9

?

n 10

,证毕.

证法 2:证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时,a3 = 1 ≥

n+2 ?n ≥ 3?. 10

5 2 6 ,a = ≥ .结论成立. 10 4 3 10 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, 2 2 2 5 6 an + 1 = ?a0 + a1 + ? + an-1?= ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? > ?1 + + + ? + n n n 10 10 n+1 ? 10 ?n + 6??n-3? 2 2 n 2 + 3n + 2 n+3 = ?1 + ?= > .所以结论对 n + 1 时亦成立. n 20 n 20 10 n+2 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ ?n ≥ 3? 成立. 10
5

n+2 n > ?n ≥ 3? 成立.从而本题得证. 10 10 四、附加题(共 50 分) 因此 an ≥ 21.求下列方程的实数解 ( x 解:方程两边同除以 x
x ? x ? x ?? ? x
3 5 3 5

2008

? 1)( 1 ? x ? x ? ? ? x
2 4

2006

) ? 2008 x
2006

2007



2007

,得 ( x ?
1 x
2007

1 x 1
2007

)( 1 ? x ? x ? ? ? x
2 4

) ? 2008 ?? 2 分

2007

?

? x ? x

2005

?? ? ? x 1
2005

1 x

? 2008 ?? ? 1 x

???????? 4 分
? 2 ? 2004 ? 2008

2008 ? x ? x ? x ? ? ? x

2007

1
2007

当且仅当 x ?

1 x

,x ?
3

1 x
3

,┅, x

2007

?

1
2007

时,上式取等号,即 x ? ? 1 ??? 10 分

但 x ? ? 1 时,不满足原方程。 ?? 12 分 22.设整数 a , b , c 满足 1≤a≤b≤c,且 a|b+c+1, b|c+a+1, c|a+b+1.求出所有的三元数组 (a,b,c).

x 故 x ? 1 是原方程唯一的实数解。

6

7


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