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12.浙江省数学竞赛模拟题(六)答案

时间:2017-07-29


浙江省数学竞赛模拟题(六)
班级__________ 一、选择题(共 50 分) 1.已知条件 p : 1 ? sin 2? ? A、充分不必要条件 解:因为 1 ? sin 2? ? 姓名__________ ( C )

4 4 和条件 q : sin ? ? cos ? ? .则 p 是 q 的 3 3
C、充要条件

/>B、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ?

2.在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为随机变量 ? , 则 ? 的数学期望 E? 是 A、 ( C )

4 ,故 p 是 q 的充要条件.故选 C. 3

6 5

B、

7 5

C、

8 5

D、

9 5

1 2 C4 C4 8 解:数学期望是: 1? 2 ? 2 ? 2 ? .故选 C. C5 C5 5 3.设正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角的大小是 ? ? ? A、 30 B、 45 C、 60 D、 arctan 2 ( A ) 解:设顶点 S 在底面 ?ABC 的射影是 H ,则 H 为 ?ABC 的外心. 2 3 从而 AH ? ? 3 ? ? 3 ,于是可得 ?SAH ? 30? .故选 A. 3 2 4 x ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 4.已知函数 f ( x) ? 的最小值是 0,则非零实数 k 的值是 ( B ) x4 ? 2x2 ? 4 A、 ? 4 B、 ? 2 C、2 D、4 2 x x2 1 2 4 2 0 ? ? x ? 4 ? 4 x 解: f ( x) ? 1 ? (k ? 2k ? 6) 4 ,因为 ,故 2 4 2 x ? 2x ? 4 x ? 2x ? 4 6 2 当 k ? 2k ? 6 ? 0 时, f min ? 1 ,不合题意; 1 2 2 当 k ? 2k ? 6 ? 0 时, f max ? 1, f min ? 1 ? (k ? 2k ? 6) , 6 1 2 由条件知 1 ? (k ? 2k ? 6) ? 0 ,解得 k ? ?2 或 0(舍去) .故选 B. 6 5. 长 方 体 A B CD ? A1 B1C1 D1 的 八 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 其 中 AA1 ? 1 , AB ? 2 2 ,

则经过 B、C 两点的球面距离是 ( C ) AD ? 3 3 , 2? 4? A、 B、 C、 2? D、 4? 3 3 1 1 ? (2 2 ) 2 ? (3 3 ) 2 ? 3 ,在 ?OBC 中 OB ? OC ? 3 , 解:球 O 的半径 R ? 2 1 2? . BC ? AD ? 3 3 ,则 cos ?BOC ? ? ,从而 ?BOC ? 2 3 1 所以,经过 B、C 两点的球面距离是 2? ? 3 ? ? 2? .故选 C. 3 2 6.对任意实数 m ,过函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 图象上的点 (2, f (2)) 的切线恒过一定点 P ,则点 P
1

的坐标为 A、 (0, 3) B、 (0, ? 3) C、 ( , 0)

( B )

3 3 D、 ( ? , 0) 2 2 ? ? 解:因为 f ( x) ? 2 x ? m ,故 f (2) ? 4 ? m .于是过 (2, f (2)) 的切线方程是: y ? (5 ? 2m) ? (4 ? m)(x ? 2) ,即 y ? (m ? 4) x ? 3 ,因此切线方程恒过 (0, ? 3) .故选 B.
7.设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P ,使 a2 b2 得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( D )
A、 (0,

2 , 1) 2 a 2 a2 2 解:由题设知∠OPA2=90° ,设 P(x,y)(x>0),以 OA2 为直径的圆方程为 ( x ? ) ? y ? , 2 4 b2 2 2 与椭圆方程联立得 (1 ? 2 ) x ? ax ? b ? 0 .由题设知,要求此方程在(0, a )上有实根. a 1 a 2 ? a 化简得 e 2 ? ,所以 e 的取值范围为 ( 由此得 0 ? ,1) .故选 D. 2 2 b 2 2(1 ? 2 ) a x 3 2 2 8.记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) ? ( ? ) , ( y ? 0) ,则 F ( x, y ) 的最小值是 ( ) 3 y 12 16 18 A、 B、 C、 D、4 5 5 5 x x 2 3 解:设动点 P ( x,? ) 与 Q( y, ) ,则 F ( x, y ) ? PQ ,点 P 的轨迹为直线 y ? ? ,点 Q 的轨迹 3 3 y 3 3 为双曲线 y ? ,双曲线上的任一点 ( x0 , ) 到直线 x ? 3 y ? 0 的距离 x x0
B、 (0, C、 ( , 1) D、 (

1 ) 2

2 ) 2

1 2

x0 ? 3 ? d?

3 x0

9.设 an ? 2 ? 7

?

10

?

?

18 6 ,当 x0 ? ?3 时等号成立.故 F ( x, y ) 的最小值为 .故选 C. 5 10
*

2 n ?1

, bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N 时, anbn 的值





D 、可为无理数或有理数 C 、必为奇数 2 解:令 u ? 2 ? 7, v ? 2 ? 7 ,则 u ? v ? 4, uv ? ?3 , u , v 是方程 x ? 4 x ? 3 的两根,
A 、必为无理数 B 、必为偶数
2 2 n n ?1 n ?2 n ?n 1 ?n 2 则 u ? 4u ? 3, v ? 4v ? 3 , 所 以 当 n ? 2 时 , u ? 4 u ? 3 u , v ? 4 v ? 3 v , 令

? 7 ? 2? ? u ? v 因 0 ? ? 7 ? 2? ? 1 ,所以 ? 7 ? 2 ? a b ? ? 7 ? 2? ? ? 7 ? 2? ?3
7 ?2
2 n ?1

?

Sn ? u n ? vn ,则当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? Sn?2 , S0 ? 2, S1 ? 4 ,故所有 Sn 为偶数,

?

?

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1 2 n ?1

? S2n?1 ? 2k ,

?

7 ?2

?

2 n ?1

2 n ?1

为 an 的小数部分,即 bn

? ? ? 7 ? 2?
? 2k ?

7 ?2


?

2 n ?1



2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

2 n ?1

n n

? 奇数.答: C .
2

10.设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题:

2 (甲). 7 n ? 13 必为合数; (乙). 8 17 n ? 3n 必为两个平方数的和.你的判断是

?

?





A.甲对乙错;

B. 甲错乙对;
2 2
2

C.甲乙都对;
2

D.甲乙都不一定对.

答案: C 解:设 3n ? 1 ? a , 5n ?1 ? b , a , b 为正整数;则

7n ? 13 ? 9 ? 3n ? 1? ? 4 ? 5n ? 1? ? ? 3a ? ? ? 2b ? ? ? 3a ? 2b ?? 3a ? 2b ? ?○ 1,
由此知, 3a ? 2b 为正整数,且 3a ? 2b ? 1 ,因为若 3a ? 2b ? 1 ,则
2 2

27 n ? 9 ? ? 3a ? ? ? 2b ? 1? ? 4b 2 ? 4b ? 1 ,即 27 n ? 4 ? n 2 ? n ? 2 ? ,则 4 n ,记
7 n ? 13 为合数;又因为 8 ?17n 2 ? 3n ? ? ? ?? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? ?? ? 4 ? 3n ? 1? ? ? 5n ? 1? ? ?
2 2 ? 2? 2 2 ?? ?a ? b ? ? ?? 2a ? ? b ? ? ? 2a ? b ? ? ? ab ? ,故选 C .(例如 65 是上述 n 之一). 2 2 2

n ? 4k ,得 5n ? 1 ? 20k ? 1 不为平方数,矛盾!所以 3a ? 2b ? 2 ,故由○ 1 得,

二、填空题(共 49 分) 11.已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间 (?

2 1 1 , ? )内为减函数,在区间(- ,+?) 3 3 3
.

内为增函数,则a=

12.设 A、B 是两个集合,称(A,B)为一个“对子” ,当 A≠B 时,将(A,B)和(B,A)视为 不同的“对子” ,满足集合 AUB={1,2,3,4}的不同对子(A,B)的个数为 .

13.已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i(i为虚数单位), 复数z2的虚部为2,

则z1 ? z2 为实数的条件是 z2?

.

14.已知椭圆 C:

x02 x2 2 ? y 2 ? 1的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0 ? ? y0 ?1, 2 2
.
3

则|PF1|+|PF2|的取值范围是

15.已知数列 {an }满足递推关系式an ?1 ? 2an ? 2n ? 1(n ? N ? ), 且 ? 值是 .

? a n +? ? 为等差数列, 则λ 的取 n ? ? 2 ?

16.规定一双筷子由同色的两支组成,现黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取出筷子来, 使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 只筷子才能做得到。

17.方程 ?

x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011 一共有

个解.

答案:4.方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ;方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3的 所 有 解 为 x ? ?3或 ? 9 ; 方 程

x ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的 所 有 解 为

x ? ?6或 ? 14 ;方程
一般地,方程 ?

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;
n(n ? 1) n(n ? 3) 或? . 2 2

x ? 1 ? 2 ? ? n ? n(n ? 2) 的所有解为 x ? ?
0

三、解答题(共 51 分) 18.设 A ? B ? C ? 180 , 且满足: 解:由

sin A ? sin B ? sin C ? 1 ,即 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C , cos A ? cos B ? cos C 2 2 2 平方得 sin A ? sin B ? sin C ? 2(sin A sin B ? sin B sin C ? sin C sin A)

sin A ? sin B ? sin C cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C ?1, 求 的值. cos A ? cos B ? cos C cos A ? cos B ? cos C

? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 2(cos A cos B ? cos B cos C ? cos C cos A) 2 2 2 2 2 2 所以 (cos A ? sin A) ? (cos B ? sin B) ? (cos C ? sin C) ? ?2[cos( A ? B) ? cos( B ? C) ? cos(C ? A)] , 即 cos 2 A ? cos 2B ? cos 2C ? 2(cos A ? cos B ? cos C ) , cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C ? 2. 所以 cos A ? cos B ? cos C 2 2 19.设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) , D 在双曲线 x ? y ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双曲 1 2 2 线 x ? y ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ? 上. 2
4

解:设 D( x1 , y1 ),E ( x2 , y 2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以 x1 ? x2 ?

?4k 2 1 ? 4k 2 5 , x x ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 1 2 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1 y2 y x2 ? 2 x1 ? 2 ? 1 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 1 ? ? 所以 x ? 。 把①代入上式,得 x ? . y2 y1 x2 ? 2 x1 ? 2 2 3x2 ? x1 ? 4 ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 2 (a0 ? a1 ? ... ? an ? 2 ) . 20.数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0 ,当 n ? 3 时有 an ? n ?1 n 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . 10 证法 1:证明:由已知得 (n ?1)an ? 2(a0 ? a1 ? ... ? an?2 ) ,在上式中以 n ? 1 代替 n 得到 nan?1 ? 2 ( a 0? a 1 ? .? . .an? 1,两式相减得 ) nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均 a 成立.设 bn ? n ,则 n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn?1. n?2 2 由于 n( n ? 3) ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2(n ? 1),故 bn ?1 应在 bn 与 bn ?1 之间 . 由于 a3 ? 1, a4 ? ,故 3 1 1 1 1 n?2 n b3 ? , b4 ? . 因此当 n ? 3 时,均有 bn ? [ , ] ,故 an ? (n ? 2)bn ? ? ,证毕. 5 9 9 5 9 10
证法 2:证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时,a3 = 1 ≥ n+2 ?n ≥ 3?. 10

5 2 6 ,a = ≥ .结论成立. 10 4 3 10 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, 2 2 2 5 6 an + 1 = ?a0 + a1 + ? + an-1?= ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? > ?1 + + + ? + n n n 10 10 n+1 ? 10 ?n + 6??n-3? 2 2 n 2 + 3n + 2 n+3 = ?1 + ?= > .所以结论对 n + 1 时亦成立. n 20 n 20 10 n+2 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ ?n ≥ 3? 成立. 10
5

n+2 n > ?n ≥ 3? 成立.从而本题得证. 10 10 四、附加题(共 50 分) 因此 an ≥ 21.求下列方程的实数解 ( x 2008 ? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2006 ) ? 2008 x 2007 。 解:方程两边同除以 x
2007

,得 ( x ?

1 x 1
2007

)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2006 ) ? 2008 ?? 2 分

1 ? 2008 ???????? 4 分 x x x 1 1 1 2008 ? x ? x 3 ? x 5 ? ? ? x 2007 ? 2007 ? 2005 ? ? ? ? 2 ? 2004 ? 2008 x x x 1 1 1 3 2007 ? 2007 时,上式取等号,即 x ? ?1 ??? 10 分 当且仅当 x ? , x ? 3 ,┅, x x x x 但 x ? ?1 时,不满足原方程。 故 x ? 1 是原方程唯一的实数解。 ?? 12 分 22.设整数 a, b, c 满足 1≤a≤b≤c,且 a|b+c+1, b|c+a+1, c|a+b+1.求出所有的三元数组 (a,b,c). x ? x 3 ? x 5 ? ? ? x 2007 ?
2007

1

?

2005

???

6

7


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