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高中数学2-2-2-1对数函数及其性质课件新人教A版必修

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第二章
第 1 课时 对数函数及其性质

课前自主预习

名师辩误做答 方法警示探究

思路方法技巧

基础巩固训练

探索延拓创新

能力强化提升

课前自主预习

温故知新 1.对数式 x=logaN

中,a 的取值范围是 a>0,且 a≠1, N 的取值范围是 N>0 . 2.loga1(a>0,且 a≠1)=0. 3.一般地,我们把函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做 指数 函 数,它的定义域为 R,值域为 化为对数式为 x=logay.
(0,+∞) .把指数式 y=ax

新课引入 一个驾驶员喝了酒后,血液中酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒之后,血液中酒精含量就以每小时 50% 的速度减少.为了保证交通安全,某地交通规则规定:驾驶 员血液中的酒精含量应不大于 0.08 mg/mL,问若喝了少量酒 的驾驶员至少过多少时间才能驾驶?

自主预习 一、某种细胞分裂时,每分裂一次,由一个细胞分裂为 2 个,分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 是分裂次数 x 的函数,这
x y = 2 个函数表达式为 .反过来,如果要求这种细胞经过多少

次分裂,大约可以得到 1 万个,10 万个,??细胞,那么, 分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数, 这个函数的表达 式为 x=log2y .

二、阅读教材 P70~71,回答下列问题: 1.对数函数 形如 y=logax(a>0 且 a≠1,x>0) 的函数叫做对数函数. 2.对数函数的图象都分布在 y 轴右 侧,这是因为对数 函数的 定义域 有
? 2 ? ?- ,+∞? ? 3 ?

是(0,+∞),因此要使函数 y=log3(3x+2)

意义,应有 x∈

.

3.对数函数的图象都过定点(1,0),即当 x= 1 时,y= 0 . 由此可知,函数 y=log1 (2x-3)+3 的图象必过定点
2

(2,3)



4.当 a>1 时,y=logax 的图象是上升的,即函数为增 函 数. 当 0<a<1 时,y=logax 的图象是下降的,即函数为 减 函 数. (1)指出下列函数的单调性或单调区间: y=log1 x 为 减 函数,减区间为 (0,+∞)
3



y=lg x为 增 函数,增区间为 (0,+∞) .

y=ln(x+2)在区间

(-2,+∞) 上为增函数.

要使函数 y=log2(x2+2x)有意义,应有 x∈ (-∞,-2)
∪(0,+∞) ,此函数在区间 (0,+∞) 上为增函数,在区间 (-∞,-2)

上为减函数.

(2)若函数 y=loga-1x 为减函数, 则 a 的取值范围是 (1,2) .

[解析]

由条件知 0<a-1<1.∴1<a<2,

∴1<a<2.

(3)比较下列各组值的大小,用“<”或“>”号填空. ①log20.1 < log20.3 ②log0.32 > log0.33 2 3 ③lg3 < lg4 1 ④ln1.2 > lg 2 ⑤log23 > log43

5.若 a>1,则当 x∈(0,1)时,y∈ (-∞,0) ,当 x∈(1, +∞)时,y∈ (0,+∞) .若 0<a<1,则当 x∈ (0,1) 时,y>0, 当 x∈ (1,+∞)时,y<0. 指出下列值的符号: 1 1 1 log23,log2 ,log315,log ,ln5,lg0.03. 2 3 4
[答案] 1 log23、log315、log1 4、ln5 为正,其余为负
3

思路方法技巧

1

对数概念
对于对数概念要注意以下两点:

学法指导:

(1)在函数的定义中,a>0 且 a≠1. (2)在解析式 y=logax 中,logax 的系数必须为 1,真数必 须为 x,底数 a 必须是大于 0 且不等于 1 的常数.

[例 1]

下列函数表达式中,是对数函数的有(

)

①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx; ⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). A.1 个 C.3 个
[答案] C

B.2 个 D.4 个

[解析]

根据对数函数的定义进行判断. 由于①中自变量

出现在底数上,∴①不是对数函数;由于②中底数 a∈R 不能 保证 a>0 且 a≠1,∴②不是对数函数;由于⑤、⑦的真数分 别为(x+2), (x+1), ∴⑤、 ⑦也不是对数函数; 由于⑥中 log4x 系数虽为 2,但可变形为 y=log2x,∴⑥也是对数函数;只有 ③、④、⑥符合对数函数的定义.

指出下列函数中,哪些是对数函数? ①y=5x;②y=-log3x;③y=log0.5 x;④y=log3 x;⑤y
2

=log2(x+1).

[解析]
3

①是指数函数;②中 log3x 的系数为-1,但可变

形为 y=log1 x;∴②是对数函数;③中的真数为 x,但可变 形为 y=log
0.5x,∴③是对数函数;⑤中的真数是(x+1),∴

⑤不是对数函数;∴②③④是对数函数.

2

对数函数的定义域

学法指导:1.求函数定义域的方法: (1)分母不能为 0; (2)根指数为偶数时,被开方数非负; (3)对数的真数大于 0,底数大于 0 且不为 1.

2.求函数的定义域的步骤: (1)求出满足函数有意义的不等式组或混合组.(含有方程 或不等式). (2)化简并解出自变量的取值范围. (3)明确函数的定义域.

[例 2]

求下列函数的定义域:

1 (1)y= ; log2?x+1?-3 (2)y=log(2x-1)(3x-2).

[解析]

(1)要使函数有意义,则有 即 x>-1 且 x≠7.

? ?x+1>0, ? ? ?log2?x+1?-3≠0,

故所求的函数的定义域为(-1,7)∪(7,+∞).

?3x-2>0, ? (2)要使函数有意义,则有?2x-1>0, ?2x-1≠1, ? 解得 2 x>3且 x≠1.

2 故所求的定义域为(3,1)∪(1,+∞).

(2012~2013 河北广平县期中试题)函数 f(x)=log2(x+1) 定义域为( ) B.[-1,+∞) D(1,+∞)

A.(-∞,-1) C.(-1,+∞)
[答案] C
[解析]

函数有意义满足 x+1>0,∴x>-1,故选 C.

探索延拓创新

3

利用对数函数的性质比较大小

学法指导:对数值比较大小的常用方法. (1)如果同底, 可直接利用单调性求解. 如果底数为字母, 则要分类讨论. (2)如果不同底,一种方法是化为同底的,另一种方法是 寻找中间变量.

(3)如果不同底但同真,可利用图象的高低与底数的大小 解决或利用换底公式化为同底的再进行比较. (4)若底数和真数都不相同,则常借助中间量 1,0,-1 等 进行比较.

[例 3]

比较下列各数的大小

(1)log0.52.7 与 log0.52.8; (2)logm3 与 logm4(m>0,m≠1); (3)log25 与 log75; (4)log35 与 log64.

[分析]

对于(1), 由于底数相同, 可用对数函数单调性比

较.对于(2)由于底数为字母应讨论.对于(3)可根据在同一坐 标系中 y=log2x 与 y=log7x 的图象比较大小.对于(4),由于 底数、真数都不相等,就不能利用函数的单调性和图象比较 大小,这时可化同底或同真,也可借助中间量比较大小.

[解析]

(1)考查函数 y=log0.5x,因为它的底数 0<0.5<1,

所以它在(0,+∞)上是减函数,于是:log0.52.7>log0.52.8. (2)当 m>1 时,y=logmx 为增函数, ∵4>3,∴logm4>logm3; 当 0<m<1 时,y=logmx 为减函数, ∴logm4<logm3.

(3)考查对数函数 y=log2x 和 y=log7x 的图象,如下图

当 x>1 时,y=log2x 的图象在 y=log7x 图象上方. ∴当 x=5 时, ∴log25>log75.(此题也可用换底公式来解. )

(4)∵log35>log33=1,log64<log66=1. ∴log35>log64.

规律总结:(1)是利用对数函数的单调性比较两个数的 大小,底数范围未明确指定时,要对底数进行讨论来比较两 个对数的大小,例如比较 loga3 和 loga2 的大小,要讨论 a>1 和 0<a<1 两种情况. 对于(3)就不能直接利用对数函数的单调性比较大小,这 时可在两个数中间插入一个已知数(如 1 或 0 等)间接比较两个 对数的大小.

比较大小: (1)log23.4,log23.8; (2)log0.51.8,log0.52.1; (3)log75,log67; 3 (4)log23,log45, . 2

[解析]

(1)对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,

于是 log23.4<log23.8. (2) 对数函数 y = log0.5x 在 (0 ,+ ∞) 上是减函数,于是 log0.51.8>log0.52.7. (3)∵log67>log66=1,log75<log77=1,∴log67>log75. 3 (4)∵log23=log49,2=log48,log45<log48<log49, 3 ∴log45< <log23. 2

4
[例 4]

对数函数图象的分布规律

如图是对数函数①y=logax,②y=logbx,③y=

logcx,④y=logdx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是 ( )

A.a>b>1>c>d B.b>a>1>d>c C.1>c>a>b>c>d D.a>b>1>d>c
[答案] B

[解析]

解法一:观察在 x 轴上方的图象,从右至左依次

为②①④③,故 b>a>d>c. 解法二:在上图中画出直线 y=1,发现分别与①,②, ③,④交于 A(a,1) , B(b,1) , C(c,1) , D(d,1) 四点,由图可知 c<d<1<a<b.

规律总结:1.底数对图象的影响

观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图 象越靠近 x 轴,0<a<1 时,a 越小,图象越靠近 x 轴. (2)左右比较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越 大,对应的对数函数的底数越大. 提醒:画对数函数 y=logax 的图象时,应牢牢抓住三个 1 关键点(a,1),(1,0),(a,-1).

2.对数函数图象的性质的记忆 对数增减有思路,函数图象看底数, 底数只能大于 0,等于 1 来也不行, 底数若是大于 1,图象从下往上增; 底数 0 到 1 之间,图象从上往下减. 无论函数增和减,图象都过(1,0)点.

如图所示, 曲线是对数函数 y=logax 的图象, 已知 a 取 3、 4 3 1 3、5、10,则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为( )

4 3 1 A. 3、 、 、 3 5 10 4 1 3 B. 3、3、10、5 4 3 1 C.3、 3、5、10 4 1 3 D. 、 3、 、 3 10 5 [思路点拨] 首先按照底数大于 1 和底数大于 0 小于 1 分 类,然后再比较与 y 轴的远近程度.

[解析]

解法一:先排 c1、c2 底的顺序,底都大于 1,当

4 x>1 时图低的底大,c1、c2 对应的 a 分别为 3、3.然后考虑 c3、 c4 底的顺序,底都小于 1,当 x<1 时底大的图高,c3、c4 对应 3 1 的 a 分别为5、10.综合以上分析,可得 c1、c2、c3、c4 的 a 值 4 3 1 依次为 3、 、 、 .故选 A. 3 5 10

解法二:作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax =1,得 x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底 4 3 1 数小,所以 c1、c2、c3、c4 对应的 a 值分别为 3、 、 、 , 3 5 10 故选 A.

[答案]

A

[规律方法] 结合图象,观察对数式 logax 的符号(x>0, a>0 且 a≠1); (1)当 0<x<1,0<a<1 或 x>1,a>1 时,logax>0,即当真数 x 和底数 a 同大于(或小于)1 时,对数 logax>0,也就是为正数, 简称为“同正”;

(2)当 0<x<1,a>1 或 x>1,0<a<1 时,logax<0,即当真数 x 和底数 a 中一个大于 1,而另一个小于 1 时,也就是说真数 x 和底数 a 的取值范围“相异”时,对数 logax<0,即为负数, 简 称 为 “ 异 负 ” . 因此 对 数的 符 号规 律简称 为 “ 同 正 异 负”(可联想有理数积的符号规则“同号得正,异号得负”帮 助记忆).

名师辩误做答

[例 5] [错解]
2

求函数 y=

log1 x-1的定义域.
2

要使函数有意义,应有 log1 x-1≥0,
2

∴log1 x≥1, 1 ∵y=log1 x 为减函数,∴x≤ , 2 2 1 ∴函数的定义域为(-∞,2].

[辨析]

解决有关对数式的问题时, 一定要牢记真数大于
2

0,底数大于 0 且不等于 1 的限制条件,本题中,若 log1 x 有 意义应有 x>0.

[正解]

要使函数有意义,须 log1 x-1≥0,
2

1 ∴log1 x≥1,∴0<x≤ . 2 2
? 1? ∴定义域为?0,2?. ? ?

基础巩固训练

1.下列函数中,是对数函数的个数为(

)

①y=logax2(a>0,且 a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x; ④y=logxa(x>0, 且 x≠1); ⑤y=log5x; ⑥y=logax(a>0, a≠1). A.1
[答案] C

B.2

C .3

D.4

[ 分析] 条件. [解析]

解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的

⑤⑥为对数函数.③中函数可变形为 y=log

8x;

①中真数不是自变量 x,不是对数函数;②中对数式后减 1, ∴不是对数函数;④中底数是自变量 x,而非常数 a,∴不是 对数函数.故选 C.

2.(2012 ~ 2013 重庆市第 49 中学期中试题 )函数 f(x) = x+1+ln(4-x)定义域为( A.[-1,4) C.(-1,4) ) B.(-1.+∞) D.(4,+∞)

[答案] A

[解析]

? ?x+1≥0 要使函数有意义满足? ? ?4-x>0



∴-1≤x<4,故选 A.

3. 已知 a>0 且 a≠1, 函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只 能是( )

[答案]

B

[解析]

可以从图象所在位置及单调性来判断, 或利用函

数性质来识别,注意底数 a 对图象的影响.首先,曲线 y=ax 只能在上半平面,y=loga(-x)只能在左半平面,从而排除 A、 C.再看单调性,y=ax 与 y=loga(-x)的增减性正好相反,又可 排除 D.故选 B.

[反思升华] 要正确识别函数的图象, 一是要熟悉各种基 本初等函数的图象,如一次函数、二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数的图象等;二是把握函数图象的性质, 根据图象的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性等.

4.下列各式错误的是( A.30.8>30.7 C.0.75-0.1<0.750.1
[答案] C

)

B.log0.50.4>log0.50.6 D.lg1.6>lg1.4

5.函数 y=1+logax 的图象一定经过点( A.(1,0) C.(2,0) B.(0,1) D.(1,1)

)

[答案]

D

1 6.小明同学作出了 a=2,3, 时的对数函数 y=logax 的 2 图象如右图所示,则对应于 C1,C2,C3 的 a 值为( )

1 A.2,3, 2 1 C.2,2,3

1 B.3,2, 2 1 D.2,3,2

[答案] C

25 7.已知函数 f(x)=log5x 则 f(3)+f( )=________. 3

[答案]

2
25 25 25 f(3) + f( 3 ) = log53 + log5 3 = log5(3× 3 ) =

[ 解析 ] log525=2.

8.求下列函数的定义域: (1)y= 1-log3x; (2)y=log1 (3x-4);
2

[分析]

一般情况下, 函数的定义域就是使函数的解析式

有意义.例如分母不等于 0,被开方数大于等于 0,对数的真 数大于 0,底数大于 0 且不等于 1,有实际含义的自变量,取 有实际意义的部分.

[解析]

? ?1-log3x≥0, (1)由题知,应有? ? ?x>0,

? ?log3x≤1=log33, 即? ? ?x>0.

故 0<x≤3.

所以函数 y= 1-log3x的定义域是{x|0<x≤3}. 4 (2)由题知,应有 3x-4>0.解得 x>3,故函数的定义域为 4 {x|x>3}.

[方法点拨] 求函数的定义域, 就是找出使解析式有意义 的自变量的取值范围,如果函数是由实际问题得到的,还要 特别注意自变量在实际问题中的含义,据此确定函数的定义 域.


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