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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月24日)

时间:2014-07-08


【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 24 日)
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,将答案填在题 后括号内. 1.盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色 不同的概率是( A. 1 2 ) 1 B. 6 2 C. 3 1

D. 3

解析 记 3 只白球为 A、B、C,1 只黑球为 D,则随机摸出两只球的基本事件空间为 Ω = {(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共 6 个.其中,颜色不同的有 3 3 1 种,故所求概率为 P= = . 6 2 答案 A 2.同时掷 3 枚均匀硬币,恰好有 2 枚正面向上的概率为( A.0.5 C.0.125 B.0.25 D.0.375 )

? 1? 解析 掷 3 枚均匀硬币,设正面向上的个数为 X,则 X 服从二项分布,即 X~B?3, ?, ? 2? ?1?2 1 3 2 ∴P(X=2)=C3·? ? · = =0.375. ?2? 2 8
答案 D 3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子 向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( A. C. 5 12 7 12 B. D. 1 2 3 4 )

解析 事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 - - ? 1? ? 1? 7 1-P( A · B )=1-?1- ?×?1- ?= . ? 2? ? 6? 12 答案 C 4.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再嬴一局就获冠军,乙队需要再 嬴两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( A. 1 2 B. 3 5 )

C.

2 3

D.

3 4

解析

1 由甲、乙两队每局获胜的概率相同,知甲每局获胜的概率为 ,甲要获得冠军有 2

1 两种情况:第一种情况是再打一局甲赢,甲获胜概率为 ;第二种情况是再打两局,第一局 2 1 1 3 ? 1? 1 1 甲输,第二局甲赢.则其概率为?1- ?× = .故甲获得冠军的概率为 + = . 2 4 4 ? 2? 2 4 答案 D 5.(2013·四川卷)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一 次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔 闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( A. C. 1 4 3 4 B. D. 1 2 7 8 )

解析 由题意得此概率为一几何概型,设第一串彩灯亮的时刻为 x,第二串彩灯亮的时
? ?0≤x≤4 刻为 y, 则? ?0≤y≤4 ?

0≤x≤4, ? ? 要使它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒, 则?0≤y≤4, ? ?|x-y|≤2.



12 3 图所示,正方形面积为 16,阴影部分面积为 16-2×2=12,故 P= = . 16 4

答案 C 6.(2013 ·湖北卷)如图所示,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大 小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值

E(X)=(

)

A. C.

126 125 168 125
3

B. D.

6 5 7 5

解析

P(X=0)=

3 27 9×6 54 3×12 36 = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 125 125 125 125 125 125

8 54 36 8 150 6 ,E(X)= ×1+ ×2+ ×3= = ,故选 B. 125 125 125 125 125 5 答案 B 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.将答案填在题中横线上. 7.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ -1 0 1

P

a

b

c

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ )= ,则 D(ξ )的值为________. 3

解析

1 c-a= , ? 3 ? 由题意知:? 2b=a+c, ? ?a+b+c=1,

? ? 1 解得?b= , 3 1 ? ?c=2,
a= ,
1 6

1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 ? ∴D(ξ )=?-1- ? × +?0- ? × +?1- ? × = . 3? 6 ? 3? 3 ? 3? 2 9 ? 答案 5 9

8.(2013·福建卷)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”发 生的概率为________. 1 2 解析 此概率为一几何概型,概率为区间长度的比,3a-1>0 即 a> ,所以 P= . 3 3

答案

2 3

9.(2013·江苏卷)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选 取,则 m,n 都取到奇数的概率为________. 4×5 20 解析 正奇数 m 有 4 个,正奇数 n 有 5 个,故 P= = . 7×9 63 答案 20 63

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题 10 分)(2013·天津卷)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到 任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数 学期望. 解 6 . 7 6 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7 ( 2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. C3 1 C4 4 P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= , C7 35 C7 35
3 3

C2C5+C2C5 (1)设“取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片”为事件 A, 则 P(A)= = 4 C7

1 3

2 2

P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= .
所以随机变量 X 的分布列是

C5 2 C7 7

3

C6 C7

3

4 7

X P

1 1 35

2 4 35

3 2 7

4 4 7

1 4 2 4 17 随机变量 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5 11.(本 小题 10 分)(2013·陕西卷)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登 台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演 唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;

(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. 解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”, B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ,
1 2

C2 2 C4 3 则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5 ∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为

P(A B )=P(A)·P( B )=P(A)·[1-P(B)]= × = .(或 P(A B )=
C4 3 (2)设 C 表 示事件“观众丙选中 3 号歌手”,则 P(C)= 3= . C5 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
2





2 2 4 3 5 15



C2·C4 4 .) 2 3= C3·C5 15

1

3

P(X=0)=P( A B C )= × × = , P(X=1)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C)= × × + × × + × × = , P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)= × × + × × + × × = , P(X=3)=P(ABC)= × × = ,
∴X 的分布列为 2 3 3 5 3 18 5 75 - - - 2 3 3 2 2 2 5 5 3 5 3 1 3 3 33 5 3 5 5 75 -- - - -- 2 2 2 3 5 5 1 3 3 5 2 1 5 3 2 3 5 5 20 75

---

1 2 3 5

2 4 5 75

X P

0 4 75

1 20 75

2 33 75

3 18 75

4 20 33 18 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 75 75 75 75 75 15 12.(本小题 10 分)(2013·浙江卷)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规 定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3, b=2, c =1 时, 从该袋子中任取(有放回, 且每球 取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分 5 5 数.若 Eη = ,Dη = ,求 a b c. 3 9 解 (1)由题意得 ξ =2,3,4,5,6.

3×3 1 故 P(ξ =2)= = , 6×6 4

P(ξ =3)=

2×3×2 1 = , 6×6 3

P(ξ =4)= P(ξ =5)= P(ξ =6)=

2×3×1+2×2 5 = , 6×6 18 2×2×1 1 = , 6×6 9 1×1 1 = . 6×6 36

所以 ξ 的分布列为 ξ 2 1 4 3 1 3 4 5 18 5 1 9 6 1 36

P

(2)由题意知 η 的分布列为 η 1 2 3

P
所以 E(η )=

a a+b+c

b a+b+c

c a+b+c

a 2b 3c 5 + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3

D(η )=?1- ?2· 3

? ?

5?

?

a b c 5 ? 5?2 ? 5?2 +?2- ? · +?3- ? · = . a+b+c ? 3? a+b+c ? 3? a+b+c 9
解得 a=3c,b=2c,

? ?2a-b-4c=0, 化简得? ?a+4b-11c=0, ?

故 a:b:c=3:2:1.


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