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2013版高三数学一轮精品复习学案:7.2空间点、线、面之间的位置关系


第七章

立体几何

7.2 空间点、线、面之间的位置关系
【高考目标导航】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、考纲点击 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 2、热点提示 (1)以空间几何

体为载体,考查逻辑推理能力; (2)通过判断位置关系,考查空间想象能力; (3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题; (4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、考纲点击 (1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理; (2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。 2、热点提示 (1)以选择、填空的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容; (2)在解答题中,综合考查定理的应用。 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、考纲点击 (1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理; (2)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 2、热点提示 (1)以选择、填空的形式,考查线面垂直的判定定理和性质定理; (2)解答题中,考查线面垂直关系及逻辑能力; (3)通过考查线面角及二面角,考查空间想象能力及计算能力,常以解答题的形式出现。

【考纲知识梳理】
1

一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?相 交 直 线 ?共 面 直 线 ? ? ?平 行 直 线 ? ?异 面 直 线 : 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 , 没 有 公 共 点

(2)异面直线所成的角 ①定义: a,b 是两条异面直线, 设 经过空间中任一点 O 作直线 a ∥a,b ∥b,把 a 与 b 所成的锐角 (或 直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)
? ?? ②范围: ? 0, ? ? 2?
’ ’ ’ ’

3、直线和平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 直线 a 在平面α 内 有无数个公共点
a??

直线 a 与平面α 相交 有且只有一个公共点
a ?? ? A

直线 a 与平面α 平行 没有公共点
a / /?

图形表示

4、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平行

? / /?

0

两平面相交

斜交

??? ?a

有无数个公共点在 一条直线上

2

? ??
垂直

有无数个公共点在 一条直线上

??? ?a
5、平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能 相交,也可能异面) 6、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; (2)性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; 2、平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; (2)性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 注:能否由线线平行得到面面平行?(可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线,这两个平面就平行) 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面α 垂直; (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直; 2、二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 3、平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直;
3

(2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直; (2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注:垂直于同一平面的两平面是否平行?(可能平行,也可能相交) 4、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90 和 0 。
0 0

【要点名师透析】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 (一)异面直线的判定 ※相关链接※ 证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的 推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面处一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

※例题解析※ 〖 例 〗 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 、 N 分 别 是 A1B1 、 B1C1 的 中 点 。 问 :

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。 思路解析: (1)易证 MN//AC,∴AM 与 CN 不异面。 (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线,证明时常
4

用反证法。 解答: (1)不是异面直线。理由:连接 MN、A1C1、AC。∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN// A1C1, 又∵A1A CC1,∴A1ACC1 为平行四边形。∴A1C1//AC,得到 MN//AC,∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM

和 CN 不是异面直线。 (2)是异面直线。证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存在平面α ,使 D1B ? 平面α ,CC1 ? 平面α ,∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾。∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线 (二)平面的基本性质及平行公理的应用 ※相关链接※ 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1:可用来证明点在平面内或直线在平面内; (2)公理 2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理 3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论: (1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面; (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在 这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点 在直线上。 (3)证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证明平面α 、β 重合。
5

※例题解析※ 〖例〗如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90 ,BC G、H 分别为 FA、FD 的中点。
0

1 2

AD,BE

1 2

FA,

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 思路解析: (1)G、H 为中点 ? GH
1 2

AD,又 BC

1 2

AD ? GH

BC; (2)方法一:证明

D 点在 EF、GJ 确定的平面内。方法二:延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M, M ,可证 M 与 M 重合,从而 FE 与 DC 相交。 解答: (1)
由 已 知 FG ? GA , FH ? HD , 可 得 GH / / 1 2 AD .又 BC / / 1 2 AD ,? GH / / BC ,? 四 边 形 BCHG 为 平 行 四 边 形 。

'

'

(2)方法一:
BE / / 1 2 AF , G 为 FA中 点 知 , BE / / FG ,? 四 边 形 BEFG 为 平 行 四 边 形 ,

? EF / / BG .由 (1)知 BG / / CH ,? EF / / CH ,? EF 与 CH 共 面 . 又 D ? FH ,? C 、 D、 F、 E四 点 共 面 .

方法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M, M ,∵BE
1 2

'

1 2
'

AF,∴B 为 MA 中点。∵BC

AD,∴B 为 M A 中点,∴M 与 M 重合,即 FE 与 DC 交于点 M( M ) ,∴C、D、F、E 四点共面。

'

'

(三)异面直线所成的角 〖例〗空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 ,E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小。
6
0

思路解析:要求 EF 与 AB 所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到 E、F 为中点,故可 过 E 或 F 作 AB 的平行线。取 AC 的中点,平移 AB、CD,使已知角和所求的角在一个三角形中求解。 解答:取 AC 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG//AB,GF//CD,且由 AB=CD 知 EG=FG,∴∠GEF(或它的补 角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角。 ∵AB与 CD 所成的角为 30 ,∴∠EGF=30 或 150 。由 EG=FG 知Δ EFG 为等腰三角形,当∠EGF =30 时,∠GEF=75 ;当∠EGF=150 时,∠GEF=15 。故 EF 与 AB 所成的角为 15 或 75 。 注: (1)求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将 两条直线同时平移到某个位置,使其相交。平移直线的方法有:①直接平移②中位线平移③补形平移; (2)求异面直线所成角的步骤: ①作:通过作平行线,得到相交直线; ②证:证明相交直线所成的角为异面直线所成的角; ③求:通过解三角形,求出该角。 二、直线、平面平行的判定及其性质 (一)直线与平面平行的判定 ※相关链接※ 判定直线与平面平行,主要有三种方法: (1)利用定义(常用反证法) ; (2)利用判定定理:关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有,若没 有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。 (3)利用面面平行的性质定理:当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。 注:线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面,另一条不一定平行于该平面。 ※例题解析※ 〖例〗如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 有公共边 BC,BE//CF,∠BCF=90 ,求证:AE//平面 DCF
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7

思路解析:作 EG⊥CF 于 G ? AD / / EG ? AE//DG ? AE//平面 DCF 解答:过点 E 作 EG⊥CF 交 CF 于 G,连接 DG,可得四边形 BCGE 为矩形。

又 ABCD 为矩形, 所以 AD / / EG, 从而四边形 ADGF 为平行四边形, AE//DG。 故 因为 AE ? 平面 DCF, ? DG 平面 DCF,所以 AE//平面 DCF (二)平面与平面平行的判定 ※相关链接※ 判定平面与平面平行的常用方法有: (1)利用定义(常用反证法) ; (2)利用判定定理:转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中,也 可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行; (3)利用面面平行的传递性:

? / /? ? ? / /? ?

? ? ? / /? .

(4)利用线面垂直的性质: ※例题解析※

? ? l? ? ? l?

? ? ? / /? 。

〖例〗如图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 各棱长为 4,E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1C1、A1B1 的中点,求 证:平面 A1EF//平面 BCGH 思路解析:本题证面面平行,可证明平面 A1EF 内的两条相交直线分别与平面 BCGH 平行,然后根据面 面平行判定定理即可证明。
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解答:Δ ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF//BC。又∵EF ? 平面 BCGH,BC ? 平面 BCGH,∴EF// 平面 BCGH。又∵G、F 分别为 A1C1,AC 的中点,∴A1G / / FC。∴四边形 A1FCG 为平行四边形。∴A1F//GC。又 ∵A1F ? 平面 BCGH,CG ? 平面 BCGH,∴A1F//平面 BCGH。又∵A1F∩EF=F,∴平面 A1EF//平面 BCGH (三)直线与平面平行的性质及应用 〖例〗如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么位置时其截面面积 最大。

思路解析:先利用线面平行的性质,判定截面形状,再建立面积函数求最值。 解答:∵AB//平面 EFGH,平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH,∴AB//FG,AB//EH,∴ FG//EH,同理可证 EF//GH,∴截面 EFGH 是平行四边形。设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角) 。 又设 FG=x.GH=y,则由平面几何知识可得 两式相加得
x a ? y b ? 1, 即 y ? b a (a ? x) x a ? CG y BG , ? , BC b BC

b b sin ? x ( a ? x ). ∴ S ? EFGH ? FG ?GH ?sin ? ? x ? ( a ? x ) ?sin ? ? a a

∵ x ? 0, a ? x ? 0且 x ? ( a ? x ) ? a为 定 值 , ∴当且仅当 x ? a ? x 时,
b sin ? a x(a ? x) ? ab sin ? 4

取最大值,此时 x ?

a 2

,即当截面 EFGH 的顶点

E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时,截面面积最大。 注:利用线面平行的性质,可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中,若遇到线 面平行这一条件,就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现 平行转化。至于最值问题,常用函数思想解决,若题目中没有涉及边长,要大胆地设未知量,以便解题。 (四)平面与平面平行的性质及应用 ※相关链接※ 平面与平面平行的判定与性质,同直线与平面平行的判定与性质一样,体现了转化与化归的思想。三 种平行关系如图:
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性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行化为线面平行 并进而化为线线平行,注意作平面时要有确定平面的依据。 ※例题解析※ 〖例〗已知,平面α //平面β ,AB、CD 夹在α 、β 之间,A、C∈α ,B、D∈β ,E、F 分别为 AB、CD 的中点,求证:EF//α ,EF//β 思路解析:通过作辅助平面,利用面面平行得到线线平行,再证线面平行。 解答:当 AB 和 CD 共面时,经过 AB、CD 的平面与α 、β 分别交于 AC、BD。∵α //β ,∴AC//BD。又 ∵AE=EB,CF=FD,∴EF//AC。∵AC ? α ,EF ? α ,∴EF//α ,同理 EF//β ,当 AB 和 CD 异面时,如图:

在 CD 现 E 所确定的平面内, 过点 E 作 C D //CD 与α 、 分别交于点 C 、 。 β D 经过相交直线 AB 和 C D
‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘ ’

‘ ’





‘ ’

作平面分别交α 、β 于 AC 、BD 。∵α //β ,∴AC //BD ,又 AE=EB,∴C E=ED 。∵C D //CD,∴经过 C
‘ ’

D 和 CD 作平面与α 、β 分别交于 C C 和 D D。∵α //β ,∴C C//D D。 在平面四边形 C D DC 中,∵C E=ED ,CF=FD,∴EF// D D。∵D D ? β ,EF ? β ,∴EF//β ,同理
‘ ’ ‘ ’ ’ ’









EF//α 。 三、直线、平面垂直的判定及其性质 (一)直线和平面垂直的判定和性质 ※相关链接※ 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理; (2)利用平行线垂直于平面的传递性

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(3)利用面面平行的性质 (4)利用面面垂直的性质。 当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直。 ※例题解析※ 〖例〗如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45 ,求证: MN⊥平面 PCD。 思路解析:
0

解答:如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE。

(二)平面与平面垂直的判定 ※相关链接※
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证明面面垂直的主要方法是:①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分 利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为 直二面角。③客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个 平面。 ※例题解析※ 〖例〗如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。

(1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。 思路解析:

解答: (1)连接 AC1 交 A1C 于 E,连接 DE,∵AA1C1C 为矩形,则 E 为 AC1 的中点。

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又 CD ? 平面 CA1D,∴平面 CA1D⊥平面平面 AA1B1B。 (三)平面与平面垂直性质的应用 〖例〗 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB//DC, PAD 是等边三角形, Δ 已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5 。

(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积。 思路解析: (1)因为两平面垂直与 M 点位置无关,所以在平面 MBD 内一定有直线垂直于平面 PAD,考 虑证明 BD⊥平面 PAD; (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到面 ABCD 的距离。 解答: (1)在Δ ABD 中,

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(2)过 P 作 PO⊥AD,∵面 PAD⊥面 ABCD,∴PO⊥面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高。又Δ PAD 是 边长为 4 的等边三角形,∴PO= 2 3 。

注: (1)当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面 垂直,进而可以证明线段线线垂直,构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。 (2)已知面面垂直时,通过作辅助线可转化为线面垂直,从而有更多的线线垂直的条件可用,必要 时可以通过平面几何的知识证明垂直关系,通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最 常用方法。 (四)线面角、二面角求法 ※相关链接※ 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查,更多的是在解答题 中考查。 求这两种空间角的步骤: 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)
? 认(指) ? 求。

在客观题中,也可用射影法:
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设斜线段 AB 在平面α 内的射影为 A’B’,AB 与α 所成角为θ ,则 cosθ =

AB AB

'

'

.

设Δ ABC 在平面α 内的射影三角形为 ? A ' B ' C ' ,平面 ABC 与α 所成角为θ ,则 cosθ = ※例题解析※

S ? A ' B 'C ' S ? ABC

.

〖例〗三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点。

(1)证明:平面 GFE//平面 PCB; (2)求二面角 B-AP-C 的正切值; (3)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值。 思路解析: (1)利用三角形的中位线性质; (2)利用定义作出二面角 B-AP-C 的平面角; (3)利用线面垂直构造直线与平面所成角。 解答: (1)因为 E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点,所以 EF//BC,GF//CP。因为 EF,GF ? 平面 PCB, 所以 EF//平面 PCB,GF//平面 PCB。又 EF∩GF=F,所以平面 GFE//平面 PCB。

(2)过点 C 在平面 PAC 内作 CH⊥PA,垂足为 H,连接 HB。

因为 BC⊥PC,

BC⊥AC,且 PC∩AC=C,所以 BC⊥平面 PAC,所以 HB⊥PA,所以∠BHC 是二面角 B-AP-C 的平面角。依条件 容易求出 CH=
2 5

,所以 tan∠BHC=

5 1 5 ? ,所以二面角 B-AP-C 的正切值是 。 2 2 2

5

(3)如图,设 PB 的中点为 K,连接 KC,AK,因为Δ PCB 为等腰直角三角形,所以 KC⊥PB;又 AC⊥PC, AC⊥BC,且 PC∩BC=C,所以 AC⊥平面 PCB,所以 AK⊥PB,又因为 AK∩KC=K,所以 PB⊥平面 AKC;又 PB ? 平面 PAB, 所以平面 AKC⊥平面 PAB。 在平面 AKC 内, 过点 F 作 FM⊥AK, 垂足为 M。 因为平面 AKC⊥平面 PAB,
15

所以 FM⊥平面 PAB,连接 PM,则∠MPF 是直线 PF 与平面 PAB 所成的角。容易求出 PF= 2 ,FM=
1
2 2 sin∠MPF= 3 = .即直线 PF 与平面 PAB 所成的角的正弦值是 6 6 2

1 3

,所以

【感悟高考真题】
1、 (2011·辽宁高考理科·T8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 . 正确的是 .. (A) AC⊥SB

(B) AB∥平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【思路点拨】先逐项分析,再判断结论. 【精讲精析】选 D. 选 具体分析 项 四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,所以 AC⊥BD,又 SD⊥底面 ABCD,所以 SD⊥AC,从而 AC⊥ A 面 SBD,故 AC⊥SB. B C 由 AB∥CD,可得 AB∥平面 SCD. 选项 A 中已证得 AC⊥面 SBD,又 SA=SC,所以 SA 与平面 SBD 所成的角 ? SAC 等于 SC 与平 面 SBD 所成的角 ? SCA AB 与 SC 所成的角为 ? SCD ,此为锐角,而 DC 与 SA 所成的角即 AB 与 SA 所成的角,此为 D 直角,二者不相等. 确 正确 不正 正确 正确 结论

2、 (2011·浙江高考理科·T4)下列命题中错误的是 (A)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? (D)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系.
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【精讲精析】选 D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内垂直于交线的直线都垂直于平面 ? ,其它与交线 不垂直的直线均不与平面 ? 垂直,故 D 项叙述是错误的. 3、 (2011·江苏高考·T16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直,解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需 要的条件,注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】 (1) 在 ? PAD 中,因为 E , F 分别是 AP , AD 的中点,所以 EF // PD ,又因为 EF ? 平面 PCD ,PD ? 平 面 PCD ,所以直线 EF // 平面 PCD . (2)连结 BD.因为 AB ? AD , ?BAD ? 60 ,所以 ? ABD 为等边三角形.因为 F 分别是 AD 的中点,所以
?

BF ? 平面 ABCD ,又因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BF ? AD .因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,

所以 BF ? 平面 PAD .又因为 BF ? 平面 BEF ,所以平面 BEF ? 平面 PAD .

4、 (2010 陕西文数)18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中 点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解答:(Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD,
17

又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=
1 2

PA.
2 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=
1 2

.

AB·BC=

1 2

× 2 ×2= 2 ,
1

∴VE-ABC=

1 3

S△ABC·EG= × 2 ×
3

2 2

=

1 3

.

【考点模拟演练】
一、选择题
1、如图,正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线
Ox , Oy , Oz 上,则在下列命题中,错误的是 ..

A、 O ? ABC 是正三棱锥 B、直线 OB // 平面 ACD C、直线 AD 与 OB 所成的角是 45° D、二面角 D ? OB ? A 为 45° 答案:B 2、正四面体 ABCD 的外接球球心为 O , E 为 BC 中点,则二面角 A ? BD ? E 的大小为 A、
2? 3

B、

5? 6

C、

?
3

D、

?
6

答案:A 3、若直线 a ? b ,且直线 a // 平面 ? ,则直线 b 与平面 ? 的位置关系是 A. b ? ? C. b ? ? 或 b // ? 答案:D B. b // ? D. b 与 ? 相交或 b ? ? 或 b // ? .

? 4、 m , n 是两条不同的直线, , ? 是两个不重合的平面, 设 给定下列四个命题, 其中为真命题的是(

)

18



m ? n? ?? m ?? n??? m ??? ? ? m // n n?? ?



a ?? ? ??? ? ? a? ??





m ??? ? n ? ? ? ? m // n ? // ? ? ?

A. ①和② 答案:B

B. ②和③

C. ③和④

D. ①和④

5、给出下列条件: (其中 l 为直线,α 为平面) ①l 垂直于α 内的一凸五边形的两条边 ②l 垂直于α 内三条不都平行的直线 ③l 垂直于α 内无数条直线 其中是 l⊥α 的充分条件的所有序号是 A.② 答案:C 6、在侧棱长为 a 的正四棱锥中,棱锥的体积最大时底面边长为( A)
2 3 3

④l 垂直于α 内正六边形的三条边

B.①③

C.②④

D.③④

A. 3 答案:A

a

B. 3 a

C. 3 a

D.a

7、 X、 Z 是空间不同的直线或平面, 设 Y、 对下面四种情形, “X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y” 使 为真命题的是( C ) ①X、Y、Z 是直线 ②X、Y 是直线,Z 是平面 ④X、Y、Z 是平面 (C)②③ (D) ③④

③Z 是直线,X、Y 是平面 (A) ①② 答案:C (B) ①③

8、设 a , b , c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间两个不重合的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 ( D )

A.当 b // c 时,若 b ? ? ,则 c ? ? . B.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c . C.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? . D.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? . 答案:D 9、如图所示,甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(A)

19

①长方体 A.④③② 答案:A

②圆锥

③三棱锥

④圆柱 D.③②④

B.②①③

C.①②③

10、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 为侧棱 AA1 上一动点,已知△BCM 面积的最大值是 2 3 ,二面 角 M―BC―A 的最大值是 A. 3 3 答案:A 11、已知在如下图四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF ? AB,则 EF 与 CD 所成 的角为(B)

?
3

,则该三棱柱的体积等于 C.
3

( A ) D. 3 2

B. 2 3

A、90 答案:B



B、45



C、60



D、30



12、如图,设平面 ? ? ? ? EF , AB ? ? , CD ? ? ,垂足 分别为 B , D ,若增加一个条件,就能推出 BD ? EF .
B ?

现有① AC ? ? ; ② AC 与 ? , ? 所成的角相等;
E

D

A

③ AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一条直线上;④ AC ∥ EF . 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是
A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个.
F

C

?

答案:C

二、填空题
20

13、一个多面体的直观图及三视图如图所示,则多面体 A ? CDEF 的体积为



答案:

8

3 14、矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球 的体积为 125

答案:

6

?

15、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点,则 A D1 与 EF 所成角的大小 为 .

答案: 60

?

16、一直角梯形 ABCD,AD 是垂直于上、下底的腰,AB=2,CD=1,BC= 3 ,E 为 AD 的中点,沿 CE、EB 折 成一个三棱锥 E-ABC(缺一个面 ABC) ,使 A、D 重合于 A,则这个三棱锥的体积是_____.
D C C

E

答案:

6 12

A A B E B

三、解答题
17、在四棱锥 P-ABCD 中,已知 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,设 PA=AB=a,BC=2a,求二面角 B-PC-D 的 大小。

21

解析 1.定义法: D 作 DE ⊥PC 于 E, E 作 EF ⊥PC 于 F, 过 过 连接 FD, 由二面角的平面角的定义可知 ? DEF 是所求二面角 B-PC-D 的平面角。求解二面角 B-PC-D 的大小只需解△DEF 即可

【解法一】过 D 作 DE ⊥PC 于 E,过 E 作 EF ⊥PC 于 F,连接 FD,由二面角的平面角的定义可知 ? DEF 是 所求二面角 B-PC-D 的平面角 在四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD 且 ABCD 为矩形,∵AD⊥DC∴PD⊥DC ∵PA=a,AD=BC=2a,∴PD= 5 a ,PC= 6 a ,DE= 同理在 Rt△PBC 中, 在 Rt△EFC 中,FC=
PB BC ? EF EC EF ? PD ? DC PC BC ? ? 3 6 30 a 6 a,

,CE=

CD CP

2

?

6a 6

EC ? PB

1 2

a , 在 Rt△DFC 中,DF=
EF
2

5 2

a,
2

在△DEF 中由余弦定理 cos ? DEF = 所求二面角 B-PC-D 的余弦值为 ?
10

? ED

? DF

2

2 EF ? ED

??

10 5

5 解析 2.垂面法:易证面 PAB⊥面 PBC,过 A 作 AM ⊥BP 于 M,显然 AM ⊥面 PBC,从而有 AM ⊥PC,同法可 得 AN ⊥PC,再由 AM 与 AN 相交与 A 得 PC ⊥面 AMN。设面 AMN 交 PC 于 Q,则 ? MQN 为二面角 B-PC-D 的 平面角;再利用三面角公式可解。 【解法二】略 解析 3.利用三垂线求解:把四棱锥 P-ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB-EDC,显然二面角 E-PC-D 与二面角 D-PC-B 互补,转化为求二面角 E-PC-D。 易证面 PEDA ⊥PDC,过 E 作 EF ⊥ PD 于 F,显然 PF ⊥面 PDC,在面 PCE 内,过 E 作 EG ⊥PC 于 G,连接 GF,由三垂线得 GF⊥ PC 即 ? EGF 为二面角 E-PC-D 的平面角,只需解△EFG 即可。
22

解析 4.在面 PDC 内,分别过 D、B 作 DE ⊥PC 于 E,BF ⊥PC 于 F,连接 EF 即可。利用平面知识求 BF、EF、 DE 的长度,再利用空间余弦定理求出 ? 即可

注:用几何法求二面角的方法比较多,常见的有: (1)定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析1 (2)三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线,如解析2 (3)垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析3 用几何法将二面角转化为其平面角,要掌握以下三种基本做法:①直接利用定义,图(1).②利用三垂线定 理及其逆定理,图 (2).最常用。③作棱的垂面,图(3).

18、 (本小题满分 12 分)如图,正四棱锥 P-ABCD 中,侧面与底面 ABCD 所成角为 60°,点 E 是 PB 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 PD 与 AE 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 P—AC--E 的大小; (Ⅲ)在侧面 PAD 上是否存在一点 F,使 EF⊥平面 PBC, 若存在,确定点 F 的位置,并证明;若不存在,说明理由。 解答:设四棱锥边长为 2,取 AD 中点 M,设对角线交点 O,则∠PMO=60°则 PO= 3 ( Ⅰ ) 连 OE 则 ∠ AEO( 或 其 补 角 ) 即 为 所 求 , 在 Rt △ AOE 中 , AO= 2 ,OE=
? ? ? arccos

P

G D C M F A O

E

1 2

PD= ;

5 2

, ??????(4 分)

2 10 5

N B

(Ⅱ)即求∠POE,PE= ∠POE= arccos
7 15 60

1 2

PB=

5 2

, ??????(8 分)



(Ⅲ) 存在,延长 MO 交 BC 于 N,连结 PN,取 PN 中点 G,连结 EG、MG、EF ∵P—ABCD 为正四棱锥且 M 为
23

AD 的中点, ∴N 为 BC 中点. ∴BC⊥NM,BC⊥PN. ∴BC⊥平面 PMN. ∴平面 PMN⊥平面 PBC.∵PM=PN=2=MN,∠PMN=60°, ∴△PMN 为正三角形. ∴MG⊥PN. ∴MG⊥平面 PBC. 到 MFEG 为平行四边形, ∴FE∥MG. ∴FE⊥平面 PBC. ??????(14 分) 取 AM 中点为 F,连结 FE,则由 EG∥MF 且 GE=MF 得

24


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