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§12.4 离散型随机变量及其分布列

时间:2016-07-27


§ 12.4

离散型随机变量及其分布列

1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;按一定次序 一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1, x2, ?, xi, ?, xn, X 取每一个值 xi(i=1,2, ?, n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,具有性质: ①pi__≥__0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=__1__. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X P 0 1-p 1 p

其中 0<p<1,则称离散型随机变量 X 服从两点分布. 3.超几何分布列 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取出 的 n 件产品中次品的件数,那么
n k Ck MCN-M P(X=k)= (k=0,1,2,?,m). n CN


即 X P 0
n 0 C0 MCN-M Cn N


1
n 1 C1 MCN-M Cn N


? ?

m
n m Cm MCN-M n CN


其中 m=min{M,n},n,M,N∈N*. 如果一个随机变量的分布列具有上表的形式,则称 X 服从超几何分布.

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ ) (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ ) (3)某人射击时命中的概率为 0.5,此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布.( × ) (4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名,其中女演员的人数 X 服从超几何分布.( √ ) (5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( × (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ ) )

1.从标有 1~10 的 10 支竹签中任取 2 支,设所得 2 支竹签上的数字之和为 X,那么随机变 量 X 可能取得的值有( )

A.17 个 B.18 个 C.19 个 D.20 个 答案 A 解析 X 可能取得的值有 3,4,5,?,19 共 17 个. 2.随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b ) 1 c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于( 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 答案 D 解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3

k 1 5 3.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,则 P( <X< )=________. 15 2 2 答案 1 5

k 解析 ∵P(X=k)= , 15 1 ∴P(X=1)= , 15 2 P(X=2)= , 15 1 5 1 2 3 1 ∴P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = = . 2 2 15 15 15 5

4.随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,则 n=________. 答案 10 1 1 1 3 解析 P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3, n n n n 得,n=10.

题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例 1 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为 X P 则 q 等于( ) -1 1 2 0 1-2q 1 q2

2 2 2 A.1B.1± C.1- D.1+ 2 2 2 思维点拨 利用分布列的性质求解. 答案 C 解析 由分布列的性质知 1-2q≥0, ? ?q ≥0, ?1 ? ?2+1-2q+q =1,
2 2

得,q=1-

2 . 2

思维升华 (1)任一随机变量所代表的随机事件发生的概率 P≥0; (2)分布列中各概率之和等于 1. 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 求:(1)2X+1 的分布列; (2)|X-1|的分布列. 解 由分布列的性质知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为 X 2X+1 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

|X-1| 从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1 的分布列 2X+1 P (2)|X-1|的分布列 |X-1| P 题型二 求离散型随机变量的分布列 1 0.2

1

0

1

2

3

3 0.1

5 0.1

7 0.3

9 0.3

0 0.1

1 0.3

2 0.3

3 0.3

例 2 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件,当 天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 ,将频 ...3 件,否则不进货 ... 率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 思维点拨 先确定随机变量 X=i(i=0,1,2,3)的取值,由表可计算出 P(X=i)(i=0,1,2,3). 1 5 解 (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= + 20 20 3 = . 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为 3 件) 1 9 5 3 = + + = . 20 20 20 4 所以 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

思维升华 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤: ①理解 X 的意义, 写出 X 可能取的全部值; ②求 X 取每个值的概率;③写出 X 的分布列. 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用 计数原理、古典概型等知识.

4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. (1)从中任取一支,求其标价 X 的分布列; (2)从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的分布列. 解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40,且取得任一支的概率相等,故 X 的分布列为 X P 10 1 4 20 1 4 30 1 4 40 1 4 1 1 = , C2 6 4

(2)根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40,且 P(Y=20)= 2 1 P(Y=30)= 2= , C4 3 3 1 P(Y=40)= 2= . C4 2 所以 Y 的分布列为 Y P 题型三 超几何分布 20 1 6 30 1 3

40 1 2

例 3 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个 7 白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列. 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设袋中白球的个数为 x, C2 7 10-x 则 P(A)=1- 2 = , C10 9 得到 x=5.故白球有 5 个. (2)X 服从超几何分布,
3 k Ck 5C5 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10


于是可得其分布列为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几 何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考 查某类个体数 X 的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、 摸不同类别的小球等概率模型, 其实质是古典概型.

盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取 出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. C3 7 7 解 (1)P=1- 3= . C9 12 (2)记“取出 1 个红色球, 2 个白色球”为事件 B, “取出 2 个红色球, 1 个黑色球”为事件 C,
2 1 C1 C2 5 2C3 2C4 则 P(B+C)=P(B)+P(C)= 3 + 3 = . C9 C9 42

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布,
3 k Ck 3C 6 P(ξ=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C9


2 C3 5 C1 15 6 3C6 故 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = ; C9 21 C9 28 1 C2 3 3C6 P(ξ=2)= 3 = , C9 14

C3 1 3 P(ξ=3)= 3= . C9 84 ξ 的分布列为 ξ P 0 5 21 1 15 28 2 3 14 3 1 84

随机变量取值不全致误 典例:(12 分)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标 号为 5 的球 3 个.第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球 的可能性都相同).记第一次与第二次取得球的标号之和为 ξ. (1)求随机变量 ξ 的分布列; (2)求随机变量 ξ 的均值. 易错分析 由于随机变量取值情况较多, 极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误. 规范解答 解 (1)由题意可得,随机变量 ξ 的取值是 2,3,4,6,7,10.[2 分] 且 P(ξ=2)=0.3×0.3=0.09, P(ξ=3)=C1 2×0.3×0.4=0.24,

P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16, P(ξ=6)=C1 2×0.3×0.3=0.18, P(ξ=7)=C1 2×0.4×0.3=0.24, P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.[8 分] 故随机变量 ξ 的分布列为 ξ P [10 分] (2)随机变量 ξ 的均值 E(ξ)=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.[12 分] 温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值,正确应用概率公式. (2)此类问题还极易发生如下错误: 虽然弄清随机变量的所有取值, 但对某个取值考虑不全面. (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1. 2 0.09 3 0.24 4 0.16 6 0.18 7 0.24 10 0.09

方法与技巧 1.对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内 的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些 值的概率. 2.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 ξ 的取值情况,然后利用排列、组 合与概率知识求出 ξ 取各个值的概率. 失误与防范 掌握离散型随机变量的分布列,须注意: (1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”, 只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件 发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)

a 1 5 1. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4), 其中 a 是常数, 则 P( <X< ) 2 2 n?n+1? 的值为( )

2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6 答案 D a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4 1 5 5 1 5 1 5 ∴P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= × + × = . 2 2 4 2 4 6 6 2.抛掷两颗骰子,所得点数之和为 ξ,那么 ξ=4 表示的随机试验结果是( A.一颗是 3 点,一颗是 1 点 B.两颗都是 2 点 C.两颗都是 4 点 D.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2 点 答案 D 解析 ξ=4 即点数之和为 4,故试验结果为一颗 3 点,一颗 1 点或两颗都是 2 点. 3.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒子中任取 3 个球来用,用完后装 回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布规律为 P(X),则 P(X=4)的值为( 1 27 27 21 A. B. C. D. 220 55 220 55 答案 C 解析 由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,
1 C2 27 3C9 故 P(X=4)= 3 = . C12 220

)

)

4.随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10,且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10),则 a 值为( )

1 1 A. B. C.110D.55 110 55 答案 B 解析 ∵随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10, 且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10), ∴a+2a+3a+?+10a=1, 1 ∴55a=1,∴a= . 55 5.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄

6 C4 7C8 中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( C15

)

A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 答案 C
10 k Ck 7C8 解析 X 服从超几何分布 P(X=k)= 10 ,故 k=4. C15


6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到 题的队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误的扣 1 分(即得-1 分);若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则 X 的所有可能取值是________. 答案 -1,0,1,2,3 解析 X=-1,甲抢到一题但答错了,而乙抢到了两个题目都答错了, X=0,甲没抢到题,乙抢到题目答错至少 2 个题或甲抢到 2 题,但答时一对一错,而乙答错 一个题目, X=1,甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题,且 1 错 2 对, X=2,甲抢到 2 题均答对, X=3,甲抢到 3 题均答对. 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设得分为随机变量 ξ,则 P(ξ≤6)=________. 答案 13 35

1 4 C3 13 4C3 C4 解析 P(ξ≤6)=P(取到 3 只红球 1 只黑球)+P(取到 4 只红球)= 4 + 4= . C7 C7 35

8.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)=________. 答案 1 6

解析 相应的基本事件空间有 36 个基本事件, 其中 X=2 对应(1,1);X=3 对应(1,2),(2,1);X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1). 所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 1 2 3 1 = + + = . 36 36 36 6 9. 某超市在节日期间进行有奖促销, 凡在该超市购物满 300 元的顾客, 将获得一次摸奖机会, 规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回地每 次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到 红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,随机变量 X 的分布列.

解 (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A, A2 1 3 则 P(A)= 3= , A4 4 1 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为 . 4 (2)随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15,20. 1 2 1 P(X=0)= ,P(X=5)= 2= , 4 A4 6 P(X=10)= 1 A2 1 C1 A2 2 2· 2 1 2+ 3= ,P(X=15)= 3 = , A4 A4 6 A4 6

A3 1 3 P(X=20)= 4= . A4 4 所以,随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 4 5 1 6 10 1 6 15 1 6 20 1 4

B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 10.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为( A.第一次出现的点数 C.两次出现点数之和 答案 C 解析 A、B 中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都不是本题涉及试验 的结果.D 中出现相同点数的种数就是 6 种,又不是变量.C 整体反映两次投掷的结果,可 以预见两次出现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这 11 种结果,但每掷一次前,无法预见 是 11 种中的哪一个,故是随机变量,选 C. 11.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的分布列为 X P 答案 0.1 0.6 0.3 C2 2 解析 P(X=0)= 2=0.1, C5 C1 C1 6 C2 3· 2 3 P(X=1)= 2 = =0.6,P(X=2)= 2=0.3. C5 10 C5 12.由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20 0 1 2 )

B.第二次出现的点数 D.两次出现相同点的种数

则丢失的两个数据依次为________. 答案 2,5 解析 由于 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1, 得 0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为 2,5. 13.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一 球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数 η 的分布列为_______________________. 答案 η P 解析 η 的所有可能值为 0,1,2.
1 1 C1 C1 1 1C1×2 1C1 1 P(η=0)= 1 1= ,P(η=1)= 1 1 = , C2C2 4 C2C2 2 1 C1 1C1 1 P(η=2)= 1 1= . C2C2 4

0 1 4

1 1 2

2 1 4

∴η 的分布列为 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

14.已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球(x,y≥0,且 x+y=6),乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其他区别).若从甲箱中任取 2 个球,从乙箱中任取 1 个 球. (1)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x,y 的值; (2)当 x=2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ξ 的分布列.
1 1 C1 xy 1 x+y 2 3 x Cy C1 解 (1)由题意知 P= 2 1 = ≤ ( )= , C6C4 60 60 2 20

当且仅当 x=y 时等号成立, 所以,当 P 取得最大值时 x=y=3. (2)当 x=2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.
1 C2 1 4C2 则 P(ξ=0)= 2 1= , C 6C 4 5 1 1 2 1 C1 7 2C4C2+C4C2 P(ξ=1)= = , 2 1 C6C4 15 1 1 1 1 C2 3 2C2+C2C4C2 P(ξ=2)= = , 1 C2 10 6C4 1 C2 1 2C2 P(ξ=3)= 2 1= , C6C4 30

所以红球个数 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 7 15 2 3 10 3 1 30


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