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湖北省部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末考试数学试卷(word含答案)


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高一期末考试

数 学 试 卷
命题人: 49 中 唐和海
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不 成立的是 . A.

审题人:武汉四中

晏海燕

1 1 ? a b<

br />
B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

D.

b ?1 a

2、与直线 4x-3y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( ) A.4x+3y+5=0 B. 4x-3y+5=0 C. 4x+3y-5=0 D. 4x-3y-5=0 3、下列命题正确的是 ( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几 何体叫棱柱。 4、已知圆锥的母线长为 8,底面圆周长为 6? ,则它的体积是( ) A 3 55? 5、直线(cos B 9 55 C 9 55? ) D 3 55

? ? )x+(sin )y+2=0 的倾斜角为( 6 6
B.

A.

? 6

5? 6

C.

? 3

D.

2? 3

6、设a,b,c分别是△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x+ay+c=0与直线 bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 7、如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 的俯视图可以是( )

1 。则该几何体 2

湖北省部分重点中学联考高一期末数学试题

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8、已知直线方程为 ( 2 ? m ) x ? (1 ? 2m ) y ? 4 ? 3m ? 0 .这条直线恒过一定点, 这个定点坐标为





A. (-2m,-m-4) B. (5,1) C. (-1,-2) D. (2m,m+4) 9、设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为( ) D.不确定 )

A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形
10、已知 a ? b, ab ? 1, 则

a2 ? b2 的最小值是( a?b
C.2

A. 2 2

B. 2

D.1

?x ? y ? 5 ? 11、已知 x、y 满足以下约束条件 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?
无数个,则 a 的值为 A.4 B.3 C.2 ( D.1 )

,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有

12、平面上的整点(横、纵坐标都是整数)到直线 y ?

5 4 x ? 的距离中的最小值是 3 5

A.

34 170

B.

34 85

C.

3 34 170

D.

1 30

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、已知直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a= 14、在 ?ABC 中,已知 b ? 3, c ? 3 3, B ? 300 ,则 ?ABC 的面积 S?ABC ? ___________. 15、下列命题正确的有 ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为 1 的直线的方程为

y ?1 ?1; x ?1

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 16、设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn = an ? 1 an ? 1

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

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17、 (本小题 10 分)某几何体的三视图如下图所示,作出该几何体直观图的简图,

并求该几何体的体积。

18、(本小题 12 分)光线从点 A(2,3)射出,若镜面的位置在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,反 射线经过 B(1,1) ,求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A 到 B 所走过的 路线长.

19、 (本小题 12 分) 在 △ ABC 中, 内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c , 已知 c ? 2 ,

? . 3 (1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. C?

20、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中分离出来 的。 (1)直接写出∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数。 (2)求∠A1C1D 的真实度数。 (3)设 BC=1m,如果用图示中这样一个装置来盛水,那 么最多能盛多少体积的水?

D

C B

D1 A1

C1 B1

21、(本小题 12 分)(本题只限文科学生做) 已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 到直线 AB 的距离.
湖北省部分重点中学联考高一期末数学试题 第 3 页 共 8 页

21、(本小题 12 分)(本题只限理科学生做) 已知两定点 A(2,5) ,B(-2,1) ,M(在第一象限)和 N 是过原点的直线 l 上的两个动 点,且|MN|=2 2 ,l//AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标。

22、(本小题 12 分)(本题只限文科学生做)

已知函数 f (x) = a·bx 的图像过点 A(1,

1 ), 8

B (2 ,

1 ) 4

(1)求函数 f (x)的解析式. (2)设 an ? log2 f(n) , n∈N+, Sn 是数列 {an } 前 n 项和,求 S20. 1 (3)在(2 )的条件下,若 bn ? an ( ) n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2

22、(本小题 12 分)(本题只限理科学生做) (Ⅰ)求证: 数列 ?an ? 2n? 为等比数列;

已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ,n=1,2,3… (Ⅱ)设 bn ? an ? cos n? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 P n; (Ⅲ)设 cn ?

5 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 6 an ? n

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数 学 参 考 答 案
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1、B 2、A 3、D 12 、 d ?

4、A

5、D 6、C 7、C 8、C 9、B 10、A 11、D 12、B

25x0 ? 15 y0 ? 12 850

?

5(5 x0 ? 3 y0 ) ? 12 5 34

, 当 5x0 ? 3 y0 ? ?2 ( 可取 x0 ? y0 ? ?1 ) 时 ,

d min ?

34 (其中 ( x0 , y0 ) 为平面上任意整点). 85
14、

13、0 或 1;

9 9 3或 3 ; 2 4

15、⑤ ;

16、 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1

17、由三视图可作出该几何体的简图如下…………5 分。

P A B
1 ……………………10 分。 3 18、设点 A 关于直线 l 的对称点为 A?( x0 , y0 )
由三视图可得:V=

D C

? x0 ? 2 y 0 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ? x0 ? ?4 …………3 分 ? AA?被l 垂直平分 ? ? 解得? . ?y ?3 y 0 ? ?3 ? ? 0 ?1 ? ? x0 ? 2

?点A?(?4,?3), B(1,1) 在反射光线所在直线上.
? 反射光线的方程为
y?3 x?4 ? 即4 x ? 5 y ? 1 ? 0 …………6 分 1? 3 1? 4 ?4 x ? 5 y ? 1 ? 0 2 1 解? 得入射点的坐标为 (? ,? ) .…………7 分 3 3 ?x ? y ? 1 ? 0 1 2 y? x? 3? 3 即5 x ? 4 y ? 2 ? 0 …………10 分 由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 1 2 3? 2? 3 3
光线从 A 到 B 所走过的路线长为 | A?B |? (?4 ? 1) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 41 …………12 分

2 2 19、(1)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

湖北省部分重点中学联考高一期末数学试题

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解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?ab ? 4, (2)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? ? 4 3 2 3 当 cos A ? 0 时, A ? , B ? , a ? ,b ? , 2 6 3 3 当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a, 联立方程组 ? 所以 △ ABC 的面积 S ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4,

1 2 3 . ……………12 分 ab sin C ? 2 3

20、 (1)∠DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数都是 45°;……………2 分 (2)连结 DA1,则△A1C1D 的三条边都是正方体的面对角线,都是 2a ,所以△A1C1D 是等边三角形,所以∠A1C1D=60°; (直接写出结果亦可)……………5 分 (3) 如果用图示中的装置来盛水, 那么最多能盛的水的体积等于三棱锥 C1—C B1D1 的体积, 而VC
1 ? CB 1D 1

=VC ?C B D =
1 1 1

1 1 S ?B1C 1D1 ? CC 1 = ……………12 分 3 6

21(文) 、解: ∵ k BH ?

2?4 ?2 5?6

∴ k AC ? ?

1 2


∴直线 AC 的方程为 y ? 2 ? ? x+2y+6=0 (1)

1 (x ? 10) 2

又∵ k AH ? 0

∴BC 所直线与 x 轴垂直 故直

线 BC 的方程为 x=6 (2) 解 (1)(2) 得 点 C 的 坐 标 为 C(6,-6) …………………8 分 由已知直线 AB 的方程为:x-8y+26=0,所以点 C 到直线 AB 的距离为: d=

6 ? 8 ? (?6) ? 26 1 ? 64



16 65 ……………12 分 13

21(理) 、 由点 A、B 的坐标并利用斜率公式得 k AB ? 1,于是 k1 ? 1 ,从而 l 的方程为 y=x,……2 分
2 2 设 M(a,a) (a>0) ,N(b,b) ,由 | MN |? 2 2 ,得 (a ? b) ? (a ? b) ? 2 2 ,

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故|a-b|=2……………4 分 直线 AM 的方程为: y ? 5 ? 直线 BN 的方程为: y ? 1 ? 故

a ?5 3a ( x ? 2) ,令 x=0,则得 C 的坐标为 (0, ) a?2 a?2

3b b ?1 ) ……9 分 ( x ? 2) ,令 x=0,则得 C 的坐标为 (0, b?2 b?2

3a 3b ? ,化简得 a=-b,将其代入|a-b|=2,并注意到 a>0,得 a=1,b=-1 a?2 b?2

所以点 C 的坐标为(0,-3)……………12 分

22、 (文)1)因图像过点 A(1,

1 ), 8

?1 ? ab ? 1 ?8 ? B(2, ) ? 4 ? 1 ? ab 2 ? ?4

??an ? 是首项为-3 公差为 1 的等差数列………………………………………(6 分) n(n ? 1) 1 ∴Sn = -3n+ = n (n-7) 2 2 ∴ S20 = 130 ……………………………………………… (8 分) 1 n 1 n (3) bn ? an ( ) ? (n ? 4)( ) 2 2 1 1 2 1 Tn = -3· + (-2)· ( ) + …… + (n- 4) ( ) n ① 2 2 2 1 1 1 1 ∴ Tn = (-3)· ( )2 + …… + (n-5) ( ) n + (n-4 ) ( )n+1 ② 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ① ②得: Tn = -3· + ( )2 + …… + ( )n-(n-4) ( )n+1 2 2 2 2 2 1 ∴ Tn = -2- (n-2) ( )n …………………………… (12 分) 2 22(理) (Ⅰ)解: Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ,
? S n ?1 ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 2 .
2

1 , b=2 …………………………………………………………(2 分) 16 x ?4 ∴ f(x)= 2 ……………………………………………………… (4 分) (2) an ? log2 f (n) ? log2 2n?4 ? n ? 4
解之得 a =

?an?1 ? 2an ? 2n ? 2,?an?1 ? 2 ? n ?1? ? 2(an ? 2n) . ??an ? 2n? 是以 2 为公比的等比数列
?an ? 2n ? 2n ,?an ? 2n ? 2n .
当 n 为偶数时, ………… 3 分 (Ⅱ) a1 ? S1 ? 2a1 ? 4,? a1 ? 4 ,? a1 ? 2 ?1 ? 4 ? 2 ? 2 . ………… 4 分

P n ?b 1 ? b2 ? b3 ?

? ? ? 2 ? 2 ?1? ? ? 23 ? 2 ? 3? ?

? bn ? (b1 ? b3 ?

? bn?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? bn )

n ?1 ?? ? 2 ? 2 ? n ? 1? ? ?

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?

4 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

? ? 22 ? 2 ? 2 ? ? ? 24 ? 2 ? 4 ? ?

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

? ? 2n ? 2 ? n ?

当 n 为奇数时,

2 ? n ? ? (2n ? 1) ? n ; …………6 分 3
…………8 分

2n?1 ? 2 P n= ? ? ? n ? 1? . 3 ? 2n ?1 5 ? ?n? ( , n为奇数) ? ? 3 3 综上, Pn ? ? . ? 2 ? (2n ? 1) ? n,(n为偶数) ? ?3 1 1 (Ⅲ) cn ? . ? n an ? n 2 ? n 5 1 当 n=1 时, T1 ? ? 3 6
当 n≥2 时,

…………9 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? n < ? 2? 3? ? n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n 3 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 5 1 5 1 4 2 ? ? ? n ? ? n? = ? 1 3 2 2 6 2 6 3 1? 2 5 综上可知:任意 n ? N *, Tn ? . ………… …………12 分 6 Tn ?
1

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