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四川成都龙泉第一中学2015-2016学年高二(人教版)第三章《直线与方程》综合素能检测试题(含答案)


第三章《直线与方程》综合素能检测试题
一、选择题 1. 1.已知点 A(1, 3), B(?1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是( A. 60
? ?

)

B. 30

? ?

C. 120

D. 150

[答案] C 2.直线

l 过点 P(?1, 2) ,倾斜角为 45 ,则直线 l 的方程为(
?

)

A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 [答案] D

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

3.如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,则 a 的值为( A. ? 3 C. B. ? 6 D.

)

3 2 x y ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距为( 2 a b

2 3

[答案] B 4.直线 A. b C. b
2

) B. ? b D. ? b
2

[答案] B 5.已知点 A(3, 2), B(?2, a), C (8,12) 在同一条直线上,则 a 的值是( A. 0 C. ? 8 [答案] C 6.如果 AB ? 0, BC ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过( A.第一象限 C.第三象限 [答案] D 7.已知点 A(1, ?2), B(m, 2) ,且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则实 数 m 的值是( A. ? 2 C. 3 ) B. ? 7 D. 1 B.第二象限 D.第四象限 ) B. ? 4 D. 4 )

[答案] C 8. 经过直线 l1 : x ? 3 y ? 4 ? 0 和 l2 : 2x ? y ? 5 ? 0 的交点, 并且经过原点的直线方程是 ( ) A. 19 x ? 9 y ? 0 C. 3x ? 19 y ? 0 [答案] C 9.已知直线 (3k ? 1) x ? (k ? 2) y ? k ? 0 ,则当 k 变化时,所有直线都通过定点( A. (0, 0) C. ( , ) [答案] C 10.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 [答案] D 11.已知直线 l 的倾斜角为 135 ,直线 l1 经过点 A(3, 2), B(a, ?1) ,且 l1 与 l 垂直,直线
?

B. 9 x ? 19 y ? 0 D. 19 x ? 3 y ? 0

)

B. ( , ) D. ( ,

1 2 7 7

2 1 7 7

1 1 ) 7 14
)

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

l2 : 2 x ? by ? 1 ? 0 与直线 l1 平行,则 a ? b 等于(
A. ? 4 C. 0 [答案] B

)

B. ? 2 D. 2

12.等腰直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 ,若点 A, C 的坐标分别为 (0, 4),(3,3) ,则点
?

B 的坐标可能是(

) B. (2, 0) 或 (6, 4) D. (0, 2)

A. (2, 0) 或 (4, 6) C. (4, 6) [答案] A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13. 直线 l 与直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点, 线段 AB 的中点为 M (1, ?1) , 则直线 l 的斜率为_________. 2 [答案] - 3 y1+y2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =-1,又 y1=1,∴y2=-3,代入方程 x-y 2

x1+x2 -3-1 -7=0,得 x2=4,即 B(4,-3),又 =1,∴x1=-2,即 A(-2,1),∴kAB= = 2 4-?-2? 2 - . 3 14.点 A(3, ?4) 与点 B(5,8) 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为_________. [答案] x+6y-16=0 1 [解析] 直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线,AB 的中点为(4,2),kAB=6,所以 kl=- , 6 1 所以直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+6y-16=0. 6 15.若动点 A, B 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,则 AB 的中点

M 到原点的距离的最小值为_________.
[答案] 3 2 [解析] 依题意,知 l1∥l2,故点 M 所在直线平行于 l1 和 l2,可设点 M 所在直线的方程 |m+7| |m+5| 为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得 = ?|m+7|=|m+5|?m=-6, 2 2 |-6| 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 16 .若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是① 15? ② 30? ③ 45? ④ 60? ⑤ 75? ,其中正确答案的序号是
_________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d= |3-1| = 2, 1+1

由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30° ,l1 的倾斜角为 45° , 所以直线 m 的倾斜角等于 30° +45° =75° 或 45° -30° =15° . [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的 思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、 思想深刻, 这一问题还是不难解决的. 所以在学习中知识是基础、 方法是骨架、 思想是灵魂, 只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 . ( 本小题满分 10 分 )(2015· 河南省郑州市高一上学期期末试题 ) 已知直线 l 经过点

P(?2, 5) 且斜率为 ?

3 , 4

(1)求直线 l 的方程;

(2)若直线 m 平行于直线 l ,且点 P 到直线 m 的距离为 3 ,求直线 m 的方程. 3 [解析] (1)直线 l 的方程为:y-5=- (x+2)整理得 4 3x+4y-14=0. (2)设直线 m 的方程为 3x+4y+n=0, |3×?-2?+4×5+n| d= =3, 32+42 解得 n=1 或-29. ∴直线 m 的方程为 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0. 18.(本小题满分 12 分)求经过两直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 x ? 3 y ? 4 ? 0 的交点,且垂直 于直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的直线方程. [解析] 解法一:设所求直线方程为 3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即(3+λ)x+(3λ-2)y +(1+4λ)=0. 由所求直线垂直于直线 x+3y+4=0,得 3+λ 1 - · (- )=-1. 3 3λ-2 3 解得 λ= . 10 故所求直线方程是 3x-y+2=0. 解法二:设所求直线方程为 3x-y+m=0.
?3x-2y+1=0, ?x=-1, ? ? 由? 解得? ? ? ?x+3y+4=0, ?y=-1,

即两已知直线的交点为(-1,-1). 又 3x-y+m=0 过点(-1,-1), 故-3+1+m=0,m=2. 故所求直线方程为 3x-y+2=0. 19.(本小题满分 12 分)已知 A(4, ?3), B(2, ?1) 和直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,求一点 P , 使 PA ? PB ,且点 P 到直线 l 的距离等于 2 . [分析] 解决此题可有两种思路, 一是代数法, 由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为 2” 列方程求解;二是几何法,利用点 P 在 AB 的垂直平分线上及距离为 2 求解. [解析] 解法 1:设点 P(x,y).因为|PA|=|PB|, 所以 ?x-4?2+?y+3?2= ?x-2?2+?y+1?2. 又点 P 到直线 l 的距离等于 2, |4x+3y-2| 所以 =2. 5 ② ①

27 8 由①②联立方程组,解得 P(1,-4)或 P( ,- ). 7 7 解法 2:设点 P(x,y).因为|PA|=|PB|, 所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 由题意知 kAB=-1,线段 AB 的中点为(3,-2),所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y =x-5. 所以设点 P(x,x-5). |4x+3?x-5?-2| 因为点 P 到直线 l 的距离等于 2,所以 =2. 5 27 解得 x=1 或 x= . 7 27 8 所以 P(1,-4)或 P( ,- ). 7 7 [点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置,所以只要将 题目中的几何条件用坐标表示出来,即可转化为方程的问题.其中解法 2 是利用了点 P 的 几何特征产生的结果,所以解题时注意多发现,多思考. 20 . ( 本小题满分 12 分 ) ?ABC 中, A(0,1), AB 边上的高 CD 所在直线的方程为

x ? 2 y ? 4 ? 0 , AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 .
(1)求直线 AB 的方程; (2)求直线 BC 的方程; (3)求 ?BDE 的面积. [解析] (1)由已知得直线 AB 的斜率为 2, ∴AB 边所在的直线方程为 y-1=2(x-0), 即 2x-y+1=0.

? ?2x-y+1=0, ?x= , ? (2)由? 得? 2 ?2x+y-3=0 ? ? ?y=2.
1 即直线 AB 与直线 BE 的交点为 B( ,2). 2 设 C(m,n), m+2n-4=0, ? ? 则由已知条件得? m n+1 + -3=0, ? 2 2 ?2·
?m=2, ? 解得? ∴C(2,1). ?n=1, ?

1

y-1 x-2 ∴BC 边所在直线的方程为 = ,即 2x+3y-7=0. 2-1 1 -2 2 (3)∵E 是线段 AC 的中点,∴E(1,1). ∴|BE|= 1 5 ? -1?2+?2-1?2= , 2 2

?2x-y+1=0, ? 由? 得 ? ?x+2y-4=0

?x=5, ? 9 ?y=5,

2

2 9 ∴D( , ), 5 5 2 9 |2× + -3| 5 5 2 ∴D 到 BE 的距离为 d= , 2 2 = 5 5 2 +1 1 1 ∴S△BDE= · d· |BE|= . 2 10 21.(本小题满分 12 分)直线过点 P ( , 2) 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件: (1) ?AOB 的周长为 12 ; (2) ?AOB 的面积为 6 . 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由. x y [解析] 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 若满足条件(1),则 a+b+ a2+b2=12,① 4 4 2 又∵直线过点 P( ,2),∵ + =1.② 3 3a b 由①②可得 5a2-32a+48=0,
? ?a=4, 解得? 或 ?b=3, ?

4 3

? a= 5 , ? 9 ?b=2,

12

x y 5x 2y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 12 9 即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则 ab=12,③ 4 2 由题意得, + =1,④ 3a b 由③④整理得 a2-6a+8=0,

? ? ?a=4, ?a=2, 解得? 或? ?b=3 ? ? ?b=6,

x y x y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 2 6 即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0. 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为 3x+4y-12=0. 22.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2 ,宽为 1 ,

AB, AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上, A 点与坐标原点重合,如图,将矩形折叠,使 A
点落在线段 DC 上.

(1)若折痕所在直线的斜率为 k ,试求折痕所在直线的方程; (2)当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,求折痕长的最大值. 1 [解析] (1)①当 k=0 时,A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y= . 2 ②当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G(a,1), ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kOG· k=-1? · k=-1?a=-k. a 故 G 点坐标为(-k,1), k 1 从而折痕所在直线与 OG 的交点坐标(即线段 OG 的中点)为 M(- , ). 2 2 1 k k2 1 故折痕所在的直线方程为 y- =k(x+ ),即 y=kx+ + . 2 2 2 2 k2 1 由①②得折痕所在的直线方程为 y=kx+ + . 2 2 (2)当 k=0 时,折痕的长为 2. k2 1 当-2+ 3≤k<0 时,折痕所在直线交直线 BC 于点 E(2,2k+ + ), 2 2 k2+1 交 y 轴于点 N(0, ). 2 k2+1 k2 1 则|NE|2=22+[ -(2k+ + )]2=4+4k2≤4+4(7-4 3)=32-16 3. 2 2 2 此时,折痕长度的最大值为 32-16 3=2( 6- 2). 而 2( 6- 2)>2, 故折痕长度的最大值为 2( 6- 2).


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