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一元二次不等式及其解法


解法 编辑 解法一 当△=b?-4ac≥0 时, 一元二次方程 ax?+bx+c=0 有两个实根,那么 ax?+bx+c 可分解为如 a(x-x1)(x-x2)的形式。 这样, 解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。 一元二次不等式的解集就是 这两个一元一次不等式组的解集的交集。 举例: 试解一元二次不等式 解: 利用十字相乘法: 2x -3 x -2 得(2x-3)

(x-2)<0 然后,分两种情况讨论。 口诀同一元一次不等式的“数轴法” :大大取大,小小取小;大小小大取中间,小小大大没 有解。 1) 2x-3<0,x-2>0 得 x<1.5 且 x>2(不成立) 2)2x-3>0,x-2<0 得 x>1.5 且 x<2。 得最终不等式的解集为: 解法二 此外,亦可用配方法解一元二次不等式。 如上例题中: 2x? -7x+6 =2(x? -3.5x)+6 =2(x? -3.5x+3.0625-3.0625)+6 =2(x? -3.5x+3.0625)-6.125+6 =2(x-1.75)? -0.125<0 2(x-1.75)? <0.125 (x-1.75)? <0.0625 两边开平方,得:x-1.75<0.25 且 x-1.75>-0.25 x<2 且 x>1.5 得不等式的解集为 解法三 一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。 通过看图象可知, 二次函数图象与 X 轴的两个交点, 然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出 答案。 求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行

因式分解分类讨论求出解集。 解一元二次不等式, 可将一元二次方程不等式转化成二次函数 的形式,求出函数与 X 轴的交点,将一元二次不等式,二次函数,一元二次方程联系起来, 并利用图象法进行解题,使得问题简化。 解法四 数轴穿根:用穿根法解高次不等式时,就是先把不等式一端化为零,再对另一端分解因式, 并求出它的零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从 x 轴的右端上方起,依 次穿过这些零点,这大于零的不等式的解对应这曲线在 x 轴上方部分的实数 x 得起值集合, 小于零的这相反。这种方法叫做序轴穿根法,又叫“穿根法” 。口诀是“从右到左,从上到 下,奇穿偶不穿。 ” ●做法:: 1.把二次项系数变成正的(不用是 1,但是得出者为正解); 2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根; 3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根,奇过偶不过 (即遇到含 X 的项是奇次幂就穿过,偶次幂就跨过。后文有详细介绍); 4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为 0 的根。 ●例如不等式: x?-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的) ⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0; ⒉找方程(x-1)(x-2)=0 的根:x=1 或 x=2; ⒊画数轴,并把根所在的点标上去; ⒋注意,此时从最右端开始,从 2 的右上方引出一条曲线,经过点 2,继续向左绘制,类似于抛 物线,再经过点 1,向点 1 的左上方无限延伸; ⒌看题求解,题中要求求≤0 的解,那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下即可,观 察可以得到:1≤x≤2。[1] ●高次不等式亦如.。例如一个分解因式后所得之不等式: x(x+2)(x-1)(x-3)>0 照例,先找方程 x(x+2)(x-1)(x-3)=0 的根: x=0,x=1,x=-2,x=3 在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点 3 的右上方引出一条曲线,经过点 3,在 1、3 之间类似于一个开口向上的抛物线,经过点 1;继续向点 1 的左上方延伸,这条曲线在点 0、 1 之间类似于一条开口向下的曲线,经过点 0;继续向 0 的左下方延伸,在 0、-2 之间类似 于一条开口向上的抛物线,经过点-2;继续向点-2 的左上方无限延伸。 方程中要求的是>0, 只需观察曲线在数轴上方的部分所取的 x 的范围即可。 x<-2 或 0<x<1 或 x>3。 ●⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位 置标出来; ⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数; 比如对于不等式(X-2)?·(X-3)>0 (X-2)的指数是 2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过 2 这个点, 而(X-3)的指数是 1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过 3 这个点。 (3)分子中一定都是能够因式分解成一次式的因式,否则不能用此方法。[1] 2 判别方法 编辑

当 a>0 时: 判别式△(b?-4ac)>0 时,ax?+bx+c=0 有两个不相等的根(设 x1<x2)。二次函数图象抛物线 的开口向上,抛物线与 x 轴有两个交点,所以不等式 ax?+bx+c>0 的解集是:或。 判别式△(b?-4ac)=0 时,因为 a>0,二次函数图象抛物线的开口向上,抛物线与 x 轴有一个 交点, 则 x1=x2, 所以不等式 ax?+bx+c>0 的解集是 x≠x1 的全体实数, 而不等式 ax?+bx+c<0 的解集是空集。 判别式△(b?-4ac)<0 时,抛物线在 x 轴的上方与 x 轴没有交点。所以不等式 ax?+bx+c>0 的 解集是全体实数,而不等式 ax?+bx+c<0 的解是空集。 (无解) 当 a<0 时: 判别式△(b?-4ac)>0 时,ax?+bx+c=0 有两个不相等的根(设 x1<x2)。二次函数图象抛物线 的开口向下,抛物线与 x 轴有两个交点,所以不等式 ax?+bx+c>0 的解集是:x1<x<x2 判别式△(b?-4ac)=0 时,因为 a<0,二次函数图象抛物线的开口向下,抛物线与横轴有一个 交点, 则 x1=x2, 所以不等式 ax?+bx+c<0 的解集是 x≠x1 的全体实数, 而不等式 ax?+bx+c>0 的解集是空集。 判别式△(b?-4ac)<0 时,抛物线在 x 轴的下方与 x 轴没有交点。所以不等式 ax?+bx+c<0 的 解集是全体实数,而不等式 ax?+bx+c>0 的解是空集。 (无解)[1]


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