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一道竞赛题的拓广


2 0 0 7 年 第4 6 卷 第5 期

数学通报

5 7

一道竞赛题的拓广
王永华 李文勇
( 湖北竹溪实验中学 4 4 2 3 0 0 )

题目 圆内接凸四边形月      B C D的面积记为5 ,
A B=a , a二= b , 〔 2 〕 ‘ =c ,

刀 八=d .

a2 ( + 护 一 产 一 矛) 2 +1 6夕 = ( 2 动c os a一

2 以c o )’ P s +( 2 动s i a+2 n 以5 1 卿2 , 作等价变形得:

证明: ( 1 ) 5= 了( p 一a ) ( p 一b ) ( p 一。 ) ( p 一d ) , 其
中 P=
a+ b +‘ +d
- 一- - - 气 井- 一 一 ;

5 一 ‘ 加一 耐。 0 5 2 喇 期 .
’          V 艺

利用上面定理可得如下推论 : 推论 1 ( 本题问题 1 )

( ) 如果四边形月 2 刀 C D同时具有外接圆和内切

圆, 则5 =抓 孤 万.



由已 知a 十月 =1 8 。 “ , 代人

(                2 o 0 5 年北京市高一竞赛题) 5 一 * / 、 一 耐 本题可作如下拓广:
定理 任意凸四边形 A B C D的面积是
V           

c o 5 2 9 牛 夕 得5 一 抓 丽 , 即 :


5= 了( P 一a ) ( P 一b ) ( P 一c ) ( P 一d ) . 推论 2 (      本题问题 2 )

5 一 ‘ / M 一 动 c 己 C o 5 2 区 圳.
’          V 乙

证 由已知有:      a +。 “b +d , 所以P 一a =。 ,
P 一b =d , P 一。 =a , P 一d=b , 代人

其中M二 ( P 一a ) ( P 一b ) ( P 一c ) ( P 一d ) , 月 B=a ,
刀 C= b , 〔 工 ) =c 汪 万 气 =d . P=
a+ b +c 十d
— , a

和口

5 =了 ( P 一a ) ( P 一b ) ( P 一c ) ( P 一d ) 得 5 = 杯石 万.
并且我们还可得到如下推论:     
推论 3 圆外切四边形的面积     

是四边形的对角. 证      如图, 连八 C , 设

乙 B C二a A , 艺A D C=月 , 由
余弦定理, 在 △八 B C 中,

5 一 ‘ / 耐s z旦 n i 圳.
’          V 乙

c“ A =矿+夕一2 动c o a s , A 在△ 八 刀 C中, C, A “产+矛一2 心c o 明 , 于是有:     动c 矿+梦一2 o a=产+矛一2 s 以c o 明 , 即a      Z +6 , 一。 2 一d Z =2 动c o a一2 s 以c o 明 ①
另一方面 :     

所以P 一a =。 , 证 因为 a      +。 =b +d ,
, 代人 P一b =d , P一c =a , P一d= b
S=

S=

5      四 边 形 川 丈 力= 5  ̄ +5  ̄
二 犷《 理 ) 5 1 】 翅 州 卜二 丁〔 在5 1 1 班
乙 乙

M 一 ‘c z宁 得 s o 、一 、c z甲 s o 、( 卜c o 、 宁,
耐s z丝 n i 钾.

1 ,二

1 ,.。

4 5 四 边 形 川 熨 刀=2 苗s i a+2 n 以5 1 明
①2 十②“ 得:



乙                   


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