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导数经典专题最新整理版


导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义
函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处导数 f ? ? x0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? x0 , f ? x0 ?? 处 切线的,即_______________;相应地,曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线 方程是 例 1.(1)曲线 y

? sin x ? e x 在点 (0,1) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 2 ? 0 ) D. 3x ? y ? 1 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

(2)若曲线 y ? x ln x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐 标是( ) B. (2,2 ln 2) C. (1,0) D. (0, e)

A. (e, e) 【变式】

(1)曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为( A. y ? 3x ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? 3x ? 1 D. y ? 2 x ? 1



(2)若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a) 处的切线平行于 x 轴,则 a 的值为() A. 1 B. 2 C.
1 1 D. ? 2 2

知识点二、导数与函数的单调性
(1)如果函数 y ? f ( x) 在定义域内的某个区间 (a , b) 内,使得 f ' ( x) ? 0 ,那么函 数 y ? f ( x) 在这个区间内为且该区间为函数 f ( x) 的单调_______区间; (2)如果函 数 y ? f ( x) 在定义域内的某个区间 (a , b) 内, 使得 f ' ( x) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在 这个区间内为,且该区间为函数 f ( x) 的单调_______区间. 例 1.(1)函数 f ( x) ? (3 ? x 2 )e x 的单调递增区间为( ) A. (??,0) B. (0,??) C. (?3,1) D. (??,?3)和(1,??) 1 (2)函数 y ? x 2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2 A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?1,??? D. (0,??) 例 2.求下列函数的单调区间,并画出函数 y ? f ( x) 的大致图像. (1) f ( x) ? x3 (2) f ( x) ? x3 ? 3x

(3) f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 3

1 (4) f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 3 x 3

知识点三、导数与函数的极值
函数 y ? f ( x) 在定义域内的某个区间 (a , b) 内,若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两 侧 f ( x) 的导数 f ?( x ) 异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两 侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是 (熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点) 例 1.(1)求函数 f ( x) ?
1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 的极值 3

(2)求函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x 的极值

例 2.(1)已知函数 f ( x) ? x ln x ,则下列关于 f ( x) 说法正确的是( A.有极大值,无极小值 C.既有极大值,又有极小值 B.有极小值,无极大值 D.既无极大值,有无极小值



(2)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 在 x ? 1 处有极值 ? 2 ,则 a , b 的值分别为( A. 1 , ? 3 B. 1 , 3 C. ? 1 , 3 D. ? 1 , ? 3 )



(3)函数 f ( x) ? x( x ? m)2 在 x ? 1 处取得极小值,则 m 的值为( A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0

知识点四、导数与函数的最值
例 1.(1)求函数 f ( x) ?
1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 在 [?2,4] 的最大值和最小值 3

(2)求 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值和最小值 (3)求函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x 的最小值

【思考】 (1)三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像的特征有哪些? (2)三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在定义域 R 是严格单调还是不单调由什么 决定? (3)三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像与 x 轴的交点个数(或函数的零点 个数)由什么决定? (4)函数有没有极值对其单调性有怎样的影响? (5)函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系?

【注意】 (1)在区间 ( a, b) 内 f ?( x) ? 0( f ?( x) ? 0) 是函数 f ( x) 在此区间上为增函数(减函 数)的充分不必要条件.

(2)函数在 ( a, b) 上是增函数的充要条件是对任意的 x ? (a, b) , f ?( x) ? 0 恒成立 (3)函数在 ( a, b) 上是减函数的充要条件是对任意的 x ? (a, b) , f ?( x) ? 0 恒成立 (4) f ?( x0 ) ? 0 是可导函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处有极值的必要不充分条件(即 导数值为 0 的点 x0 不一定是极值点,但极值点处的导函数值一定等于 0 )

知识点五、有关参数的取值范围问题
例 1.(1)已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范 围是( ) 1 A. ( , ??) 3 A. ? ?1, 2?
1 B. (??, ) 3 1 C. [ , ??) 3
1 D. ( ?? , ] 3

(2) 若 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? ? a ? 6? x ?1有极大值和极小值, 则 a 的取值范围为 ( B. ? ?3, 2? C. ? ??, ?1? ? ? 2, ??? D. ? ??, ?3? ? ? 6, ???



(3)若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4 在 (0,2) 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,3? B. ?0,1? C. ?3,??? D. (0,??) (4)若函数 f ? x ? ? kx ? ln x 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ? 2, ?? ? D. ?1, ?? ?





例 2.(1)函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的范围是( A.?2,??? ) B.?1,?? ? C.?? ?,?2? D.?? ?,?1?

(2)函数 y ? ln x ? ax 有两个零点,则 a 的取值范围() A. ?1, e? B. ?? 1,???
? 1 ? C. ? ? ,0 ? ? e ? ? 1? D. ? 0, ? ? e?

【经典训练题】 1、设曲线 y ? ax 2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( 1 1 A.1 B. C. ? D. ?1 2 2 )

2、曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 3、 已知曲线 y ? 的值为(

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

x2 ? 3 ln x 在点 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 x0 (x0 , f ( x0 )) 4

) A. 3 B.0 C.2 1 1 4、直线 y ? x ? b 与曲线 y ? ? x ? ln x 相切,则 b 的值为( 2 2 1 A.-2 B.-1 C.- D.1 2 5、 函数 y ? x3 ? x 的递增区间是(
(0, ? ?) A.

D.1 )


(1 ? ?) D.

) B. ( ? ?,1

C. (? ?,??) ) C. (0, e ?1 )

6、函数 y ? x ln x 的单调递减区间是( A. (e ?1 ,??) B. (??, e ?1 )

D. (e,??) )

7、 f ?( x0 ) ? 0 是可导函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件

8、函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 的极大值,极小值分别是 ( ) A. 极小值-1,极大值 1 B. 极小值-2,极大值 3 C. 极小值-2,极大值 2 D. 极小值-1,极大值 3 9、函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( A.2 B.3 C.4 D.5 ) 10、 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是( A. ? 2 B.0 C.2 D.1 ) )

11、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 在 [0,4] 上的最大值和最小值为( A. e 2 ,?3 B. e 4 ,?3 C. e4 ,?e2

D. ? 3,?e 2 )

12、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减

D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 13 、设函数 y ? f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如右图所示,则导函数
y ? f ?( x) 的图象可能为(

)

14 、设 y ? f ?( x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如右图所示,则
y ? f ( x) 的图象最有可能的是(
y

)
y y y

y

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

O

1

2

x

(A)

(B)

(C)

(D) )

16、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范围是(
(0, ? ?) A.

B. (? ?,3] C. (? ?,??) D. [1 ? ?)
1 1 在 ( ,?? ) 上是增函数, 则 a 的取值范围是 ( x 2

17、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ?



A. [?1,0] B. [0,3] C. [3,??) D. [1 ? ?) 18、函数 f ( x) ? 2x 2 ? ln x 在其定义域的子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实 数 k 的取值范围( ) 3 3 3 A. [1,2] B. (? , ) C. [1, ) D. [1 ? ?) 2 2 2 19、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在 (a,6 ? a 2 ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围(
) A. [?2,?1] B. (? 5,1] C. (? 5,1) D. (?2,1



20、 函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? a 与 x 轴只有一个交点, 则实数 a 的取值范围 ( A. (??,?27) B. (5,??) C. (??,?27) ? (5,??) D. (?27,5)



导数经典解答题
典例 1.已知函数 f ( x) ? 最小值.
1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , 求函数 f ( x) 在区间 [?2,6] 上的最大值和 3

【思考】在下列区间上的最大值和最小值 (1)在区间 [?2,4] (2)在区间 [?2,2] (3)在区间 [0,2] (4)在区间 [4,5] 【注意】

题型 1、求函数 f ( x) 的单调区间(或讨论单调性)
典例 2.
(1)已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ,讨论 f ( x) 的单调性; 3

x (2)已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1 ,求 f ( x) 的单调增区间;

(3)已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? x) ,讨论 f ( x ) 的单调性;

题型二、利用导数求函数的极值和最大(小)值 典例 3.已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ?1) x2 ? 1 ,其中 a ? 1
(1)求 f ( x) 的单调区间 (2)讨论 f ( x) 的极值

典例 4.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

典例 5.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax .
( 1,f (1)) (1)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在点 处的切线方程;

(2)若 a ? 0 ,且函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 2,求 a 的值.

典例 6.已知函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得
极值 ?2 . (1)求 f ( x) 的单调区间和极大值; (2)证明:对任意 x1 , x2 ? (?1,1), 不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 恒成立.

题型三、利用导数求参数的取值范围 典例 7.已知 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? 2
(1)若 f ? x ? 在 x ? 1 时有极值 ?1,求 b, c 的值; (2)若函数 y ? f ? x ? 的图象与函数 y ? k 的图象恰有三个交点,求实数 k 的取值 范围

典例8.设函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;
2 (2)若函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 ? a 在 [1,3] 内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围.

2 典例 9.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 处都取得极值. 3

(1)求实数 a , b 的值; (2)若对 x ?[?1,2] ,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

典例 10.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 1 ,其中 a ? 0 .
(2,f (2)) (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 处的切线方程;
1 1 (2)若在区间 [? , ] 上, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 2 2

3 2

典例 11.设函数 f ( x) ? x 2 ? e x ? xe x .
(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ?[?2,2] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 2

典例 12.已知函数 f ( x) ? x ln x .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

典例 13.已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
(1)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

典例 14. 已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2? 处的切线方程为
y ? ?3x ? 1 .

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式; (2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2,0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

典例 15.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? (1)求函数 F ( x) 的单调区间;

a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(2)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率

k?

1 恒成立,求实数 a 的最小值。 2

典例 16. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? bx ,函数 g ( x) 的图像在点
(1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴.

(1)确定 a 与 b 的关系 (2)试讨论函数 g ( x) 的单调性

典例 17.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 (2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的取值范围

典例 18.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx , m ? R . (1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 P(1,?1) 处的切线方程 (2)若 f ( x) 没有零点,求 m 的取值范围

典例 19.已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , x ? R ,其中 a ? 0 . 3 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间 (2)若函数 f ( x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围

典 例 20. 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? bx2 图 像 上 的 点 P(1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为
2x ? y ? 3 ? 0

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m ? ln 4 在 [ ,2] 上恰有两个零点, 求实数 m 的取值范围 e

典例 21.已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax2 ? x , a ? R . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值 (2)若函数 f ( x) 的图像在直线 y ? ? x 图像的下方,求 a 的取值范围

典例 22.已知函数 f ( x) ? 2ax ? b ln x ? 1 ,设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为
y ? 0.

(I)求实数 a , b 的值 (II)设函数 g ( x) ? mf ( x) ?
1 2 x ? mx 2

?若 m ? R ,求函数 g ( x) 的单调区间 ?若 1 ? m ? 3 ,求证:当 x ? [1, e] 时, g ( x) ?
e2 ?2 2


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