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高考数学一轮总复习 第38讲 不等关系与不等式的性质课件 文 新课标


1.了解现实世界与日常生活中的不等关系,了 解不等式(组)的实际背景.
2.掌握并能运用不等式的性质,掌握比较两个 实数大小的一般步骤.

1. 比较两数的大小

?1? 差值比较法:a ? b ? ① __________ ? 0;a ? b ?
② ______ ? 0;a ? b ? ③ _______ ?

0. a ? 2 ? 商值比较法:若a ? 0,b ? 0,则a ? b ? ? ④ b a a ___ ,a ? b ? ? ⑤ _____,a ? b ? ? ⑥ ____ b b ____ .

2.不等式的性质 (对称 ?1? 定理1: 性或反身性)a ? b ? ⑦ __________; (传递 ? 2 ? 定理2: 性)a ? b,b ? c ? ⑧ _________; (可加性)a ? b ? a ? c ? ⑨ __________, ? 3? 定理3: 此法则又称为移项法则.

推论: (同向可相加)a ? b,c ? d ? a ? c ? ⑩ __________. (可乘性)a ? b,c ? 0 ? ac ? ? __________; ? 4 ? 定理4: a ? b,c ? 0 ? ac ? ? __________. 推论1: 数同向可相乘)a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? (正 ac? ________ bd . 推论2: (乘方法则)a ? b ? 0(n ? N * ) ? a n? ________ b n . 5 ? 定理5: 方法则)a ? b ? 0(n ? N,n ? 2) ? n a? (开 ? ________ n b . 1 推论: 数法则)a ? b,ab ? 0 ? ? ? __________. (倒 a

【要点指南】: ①a ? b;②a ? b;③a ? b;④1;⑤1;⑥1;⑦b ? a; ⑧a ? c;⑨b ? c;⑩b ? d;? ? ;? ? ;? ? ;? ? ; 1 ? ? ;? b

1.若 a>b,则下列各式中正确的是( A.a2>b2 1 1 C. < a b B.a3>b3 D.log2a<log2b

)

【解析】因为 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2), b2 3 2 注意到 a +ab+b =(a+ ) + b >0(因为 a>b), 2 4
2 2

此结构经常用,要记住. b2 3 2 所以 a -b =(a-b)[(a+ ) + b ]>0,故选 B. 2 4
3 3

2.“a+b>2c”的一个充分非必要条件是( A.a>c 或 b>c C.a>c 且 b>c B.a>c 或 b<c D.a>c 且 b<c

)

【解析】由同向不等式的可加性,应选 C.

1 1 3.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b A.a2<b2 b a C. + >2 a b B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b|

)

【解析】由已知 0>a>b,所以 A、B、C 均对,故选 D.

4. 2-1 与 3- 2的大小关系是

2-1> 3- 2 .

1 1 【解析】因为 2-1= , 3- 2= , 2+1 3+ 2 1 1 又 > ,所以 2-1> 3- 2. 2+1 3+ 2

π π 5.若-2<α<β<2,则 α-β 的取值范围为

(-π,0) .

π π π π 【解析】因为-2<α<2,-2<-β<2, 所以-π<α-β<π. 又 α<β,则 α-β<0,所以-π<α-β<0. 易错点:因为条件中有 α<β,而解题时往往忽 略这个条件,致使解错.在研究范围问题时,一定 要看清变量间有无内在联系,要确定准独立变量, 以免产生错误范围(-π,π).



用不等式表示不等关系

【例 1】 某汽车公司由于发展的需要购进一批汽车, 计划使用不超过 1000 万元的资金买单价分别为 40 万元、 90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车,根据需要 A 型汽车至少 买 5 辆、B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关 系的不等式.

【解析】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,
?40x+90y≤1000 ? ?x≥5 则? ?y≥6 ?x、y∈N* ? ?4x+9y≤100 ? ?x≥5 ,即? ?y≥6 ?x、y∈N* ?

.

【点评】 (1)常见的文字语言与符号语言之间的转换

(2)注意变量的实际意义,体积、面积、长度、重量、 时间等均为非负实数;如本题汽车辆数为 N*.

二 比较两数的大小

【例 2】比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1 与 2m2+m-3; (2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(x>y>0); (3)aa·b 与 ab·a(a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1). b b

【分析】 对于整式可采用作差法;对于幂可采用作商 法比较;当不能直接下结论时,采用分类讨论.

【解析】 (1)因为(3m2-m+1)-(2m2+m-3)=m2-2m+4= (m-1)2+3>0, 所以 3m2-m+1>2m2+m-3.

(2)因为(x2 +y2)(x-y)-(x2 -y2)(x+y)=(x-y)· 2 +y2) [(x -(x+y)2]=-2xy(x-y), 因为 x>y>0,所以-2xy(x-y)<0, 所以(x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y).

- aabb aa b a a-b (3)因为 b a= a-b=( ) , a· b b b

因为 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1, a 所以 >0, b

a a a-b ①当 >1,即 a>b 时,a-b>0,( ) >1, b b 即 aabb>ba·b; a

a a a-b ②当 =1,即 a=b 时,( ) =1,即 aabb=abba; b b a a a-b ③当 0< <1,即 a<b 时,a-b<0,( ) >1, b b 所以 aabb>abba. 综上可得 aabb≥abba.

【 点 评 】 (1) 作 差 比 较 法 的 依 据 是 “a - b>0 ? a>b”,步骤为:①作差;②变形;③定号;④下结论; 常采用配方,因式分解,有理化等方法变形;

a (2)作商法的依据是“ >1,b>0?a>b”,步骤为: b ①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④下结论. (3)特例法,对于选择、填空题可用特例法选出正 确答案.

三 不等式性质的应用
【例 3】 (1)(2011· 黄山模拟)已知 a, c, 均为实数, b, d 有下列命题: c d ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; a b c d ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b c d ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. a b

其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

)

(2)已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是 “a-c>b-d”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2 (3) 已 知 - 1<2x - 1<1 , 则 x - 1 的 取 值 范 围 是 ____________.

【分析】不等式性质就其逻辑关系而言,可分为 推出关系(充分条件)和等价关系(充要条件),要深刻理 解不等式性质,把握其逻辑关系.

bc>ad? c d ? ?? > . 【解析】(1)①中, ab>0 ? a b ? c d ②a>b,两边同乘以 ab,得 bc>ad.
? bc>ad ? ③ bc-ad ??ab>0. >0? ab ?

所以 3 个命题都正确,选 D.

? a>b ? ??/ a-c>b-d, (2)中, -d>-c? ? 但 a-c>b-d,必有 a>b,所以是必要不充分条件,选 B.

1 2 (3)-1<2x-1<1?0<x<1?x>1? x-1>1,填(1,+∞).

【点评】(1)利用不等式性质时,要注意性质中条 件是否为充要条件,不能用充分不必要条件解不等 式.(2)同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个 以上的不等式.

备选例题

已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 求 f(-2)的取值范围.

【解法 1】 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系 数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
?m+n=4 ?m=3 于是得? ,解得? . ?n-m=-2 ?n=1

所以 f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.

? ?a=1[f?-1?+f?1?] ?f?-1?=a-b ? 2 【解法 2】 ? , ? 即 1 ? ?f?1?=a+b ?b=2[f?1?-f?-1?] ?



所以 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.

1.实数大小的比较

?1? 比较两个实数的大小,要依据不等式的加法和乘法
法则,以及不等式的传递性进行,不能自己“制造”性 质来运算.

? 2 ? 作差法:判定不等式关系的基本方法.
a ? b ? a ? b ? 0,a ? b ? a ? b ? 0.

? 3? 用同向不等式求差的范围.
?a ? x ? b ? a ? d ? x ? y ? b ? c. ? ?c ? y ? d

? 4 ? 倒数关系在不等式中的作用.
?ab ? 0 1 1 ?ab ? 0 1 1 ? ? ;? ? ? ? a b ?a ? b a b ?a ? b 2.求代数式的范围 由M 1 ? f1 (a,b) ? N1和M 2 ? f 2 (a,b) ? N 2,求g (a,b)的 取值范围,固然要将已知两个不等式相加减,但不等式 相加减的次数应尽可能少,以免将取值范围扩大,这时 可以用所谓的“线性相关值”. 令g (a,b) ? pf1 (a,b) ? qf 2 (a,b),用恒等关系求出待定 系数p,q,于是一次加减,便可求到所需的范围.

3.常用不等式:以下不等式在解题时使用更直接. 1 “ ?1? a ? ? 2(a ? 0,且a ? R),当且仅当a ? 1时 ? ” a 成立. b a ? 2 ? ? ? 2(a ? 0,b ? 0,a,b ? R),当且仅当a ? b a b 时 ? “ “成立.


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