nbhkdz.com冰点文库

三角函数解三角形知识点


三角函数 【高考考核目标与要求】 1.知识要求 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿 ,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 行为动词有:了解,知道,识别,模仿,会求,会解等. (2)理解:知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明 并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、

判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力。 行为动词有:描述,说明,表达,推测,想象,比较,判断,初步 应用等 (3)掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学 知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决。 行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解 决问题等. 2.能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求 解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 3.个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生克服紧 张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的 科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神。 【高考必考内容与要求】 一.任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念 ②了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 二.三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、
2 正切的诱导公式.能画出 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象,了解三角函

?

数的周期性 ③理解正弦函数.余弦函数在区间[ [0,2? ] 上的性质(如单调性、最大 值和最小值以及与 x 轴的交点等).理解正切函数在区间 ( ? , ) 内的
2 2

? ?

单调性。

④理解同角三角函数的基本关系式:
sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,
sin x ? tan x cos x

⑤了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的物理意义:能画出 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象, 了解参数 A, ? , ? 对函数图象的变化影响。 ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数 解决一些简单实际问题 三.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ① 会用向量数量积推导出两角差的余弦公式. ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式, 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化 积、半角公式.但对这三组公式不要求记忆) 四.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题 【三角函数知识点】 1.与 ? ?00 ? ? ? 3600 ?终边相同的角的集合 (角 ? 与角 ? 的终边重合) : ?? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z ? 2.角度与弧度的互换关系: 3600 ? 2? ,1800 ? ? 3.弧长公式: l ? ? r . 扇形面积公式: S ? lr ? ? r 2
y r x r y x
1 2 1 2

4.三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的) 一点 P( x, y ) , P 与原点的距离为 r ,则 sin ? ? ; cos ? ? ; tan ? ? 5.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦, 三切四余弦)
y y
y

a的 终边
P( x,y) r

+ o -

+ x

- + o - + x
余弦 、正割

y

- + o x + 正切 、余切

o

x

正弦 、余割

y

6.三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x ) ? sinx f ( x ) ? cosx f ( x ) ? tanx 8.同角三角函数的基本关系式: 9.诱导公式:把

P

T

正切线: AT.

O

M

Ax

定义域
?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

k? ? ? 的三角函数化为 ? 的三角函数,概括为: “奇变 2

sin ? ? tan ? cos ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系 公式组一
sin(2kx ? x) ? sin x cos(2kx ? x) ? cos x tan(2kx ? x) ? tan x

公式组二
sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x

公式组三
sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? ? x) ? tan x

公式组四
sin(? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? ? x) ? ? tan x

公式组五
? sin( ? x) ? cos x 2 ? cos( ? x) ? ? sin x 2

公式组六
? sin( ? x) ? cos x 2 ? cos( ? x) ? sin x 2

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

公式组二

sin 2? ? 2 sin? cos?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?
tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan 2 ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan( ? ? ?) ?

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x
R
[?1,?1]

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? A sin??x ? ? ?

定义域 R [?1,?1] 值域 周期性 2? 奇偶性
[?

(A、 ? >0) R

2?

R

?

?? A, A?
2?

奇函数
?
2 ? 2k? ,

偶函数
[(2k ? 1)? ,2k? ]

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
2k? ?

?
2

? 2k? ]

?
2

?? ( A),

2k? ?

?
2

??

单调性

上为增函数;
[

上为增函数

?
2

? 2k? ,

3? ? 2k? ] 2

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

[

?

?

(? A)]

[2k? , (2k ? 1)? ] 上 为 增 函 数

上为增函数;
2k? ? [

上 为 减 函 数 上为减函数 ( k ? Z ) ( k ?Z ) ( k ?Z ) 注意: ① y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? )(? ? 0) 的周期 T ?
?
2
2?

?
2

?? ( A),

2k? ?

?

?

3? ?? 2 (? A)]

上为减函数( k ? Z )

?

.

② y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? (k ? Z ) ,对称中心 (k? ,0) ;
1 y ? cos(?x ? ? ) 的 对 称 轴 方 程 是 x ? k? (k ? Z ) , 对 称 中 心 ( k? ? ? ,0) ; 2 k? y ? tan( ?x ? ? ) 的对称中心( ,0 ). 2 原点对称 ③ y ? cos2x ??? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ? ④ y ? cos x 与 y ? sin( x ? ? 2k? ) 是同一函数,而 y ? sin(?x ? ? ) 是偶函数, 2 1 则 y ? sin(?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) 2 ⑤函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(×)

[只能在某个单调区间单调递增.做出简图就可知道了]. ⑥奇偶性函数的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要) , 二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 11.三角函数图象的作法: ①.几何法:②.描点法③.利用图象变换作三角函数图象. 12.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的振幅 A ,周期 T ?
2?

?

,相位 ?x ? ? 初相 ?

【解三角形知识点】 1.三角形三角关系: A ? B ? C ? 1800 , C ? 1800 ? ( A ? B) 2.三角形三边关系: a ? b ? c; a ? b ? c 3.三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
A? B C A? B C ? cos , cos ? sin 2 2 2 2 4.正弦定理:在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, R 为 ?ABC 的 a b c ? ? ? 2R . 外接圆的半径,则有 sin A sin B sin C sin

5.正弦定理的变形公式: ①化角为边: a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;
a b c , sin B ? , sin C ? , 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ;

②化边为角: sin A ? ④

a?b?c a b c ? ? ? . sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C 1 2 1 2 1 2

6.已知两边和其中一边所对角要注意解的情况(一解、两解、三解) 7.三角形面积公式: S ?ABC ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B . 8.余弦定理:在 ?ABC 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? , c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . 9.余弦定理的推论:
b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 cos ? ? cos ? ? cos C ? 2bc 2ab 2ac , , .

10.余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角 11.如何判断三角形的形状: 可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式。 设 a, b, c 是 ?ABC 的角 A, B, C 的对边,角 C 为最大角,则:
a 2 ? b2 ? c2 ? 0 则 C ? 900 ,直角三角形 2ab 2 a ? b2 ? c2 ? 0 则 C ? 900 ,锐角三角形 ②若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 900 ;或 cosC ? 2ab a 2 ? b2 ? c2 ? 0 则 C ? 900 ,钝角三角形 ③若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 900 ;或 cosC ? 2ab

①若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 900 ;或 cosC ?

12.三角形的心: 垂心——三边上的高相交于一点;重心——三条中线的相交于一点 外心——三边垂直平分线相交于一点; 内心——三内角的平分线相交于一点。


三角函数及解三角形知识点总结

三角函数解三角形知识点总结_数学_高中教育_教育专区。1. 任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异 于...

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c 3、三角形中的...

三角函数与解三角形知识点复习表

三角函数解三角形知识点复习表_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图像与性质任意角 ? 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) 时, 基本 同角三角 问 函数关系...

三角函数和解三角形知识点

三角函数解三角形知识点一.考试要求 内 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 、三 角恒等变换 解三角形 容 等级要求 A B √√√ C √ 两角和(差)的正弦、余弦和...

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题_数学_高中教育_教育专区。解三角形的必备...3 。 2 2 2 2 点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,...

1.三角函数、解三角形知识点及其解题思路

1.三角函数解三角形知识点及其解题思路_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二轮专题复习 1:三角函数及解三角形 【三角函数】 一. 【解题思路及方法】 1.化...

三角函数解三角形知识点

三角函数解三角形知识点_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数解三角形知识点_数学_高中教育_教育专区。三角函数解三角形知识点...

解三角形知识点汇总和典型例题

解三角形知识点汇总和典型例题_数学_高中教育_教育专区。中小学 1 对 1 课外...3 。 2 2 2 2 点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,...

解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。解三角形知识点归纳一 正弦定理 ...(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内...

解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的

解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的_数学_高中教育_教育专区。解三角形...转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定 理得到...