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对数及对数函数要点及解题技巧讲解

时间:2016-09-09


新课标 ·文科数学(安徽专用)

第六节
自 主 落 实 · 固 基 础

对数与对数函数

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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(安徽专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.对数的概念

如果 ax = N(a > 0且 a≠1) ,那么 x叫做以 a为底 N的对数,
x=logaN . 记作____________ 2.对数的性质、换底公式与运算性质

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性质 换底 公式

0 ,②loga a=___ 1 ,③alogaN=___ ①loga1=___ N

logcb logca (a,c均大于0且不等于1,b>0) logab=_____

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如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: logaM+logaN , ①loga(M· N)=_______________ M logaM-logaN , 运算性质 ②loga =_______________ N ③logaMn=nlogaM(n∈R).

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3.对数函数的定义、图象与性质
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定 义

y=logax (a>0且a≠1)叫做对数函数 函数 _________

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a>1
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0<a<1

图 象

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(0,+∞) 定义域:____________

值域:_____________ (-∞,+∞)
(1,0) 当x=1时,y=0,即过定点___________ 性 质 当0<x<1时,y<0; y> 0 当x>1时,________.

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当0<x<1时,y>
0; y<0. 当x>1时,____ 在(0,+∞)上为 减函数 ___________
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增函数 在(0,+∞)上为_________





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4.反函数 y=logax (a>0 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 _________ y=x 对称. 且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线________

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1.如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关 系?你能得到什么规律? 【提示】 作直线y=1,

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则该直线与四个函数图象 交点的横坐标为相应的底数.
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∴0<c<d<1<a<b.由此

我们可得到以下规律:在
第一象限内从左到右底数逐渐增大.

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2.当对数logab的值为正数或负数时, a, b满足什么条 件?

【提示】

若 logab > 0 , 则 a , b∈(1 , + ∞ ) 或 a ,

b∈(0 , 1) ,简记为 a , b 在相同的区间内;若 logab < 0 ,则 a∈(1,+∞)且b∈(0,1)或a∈(0,1)且b∈(1,+∞),简记为 a,b在不同的区间内.

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1.(人教A版教材习题改编)2log510+log50.25=( A.0 【解析】 log525=2. B.1 C.2 D.4

)

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2log510 + log50.25 = log5100 + log50.25 = C
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【答案】





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2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函 数,且f(2)=1,则f(x)等于( ) 1 A. x B.2x-2 C.log1x D.log2x 2 2
【解析】 由题意知f(x)= logax,又 f(2)= 1,∴loga2 = D

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1,∴a=2.∴f(x)=log2x,故选D.
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【答案】

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3.如果log1x<log1y<0,那么( 2 2 A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x

)

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【解析】 ∴x>y>1.
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∵y=log1x是(0,+∞)上的减函数, 2

【答案】

D

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4.(2013·苏州模拟)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间

是________.
1 【解析】 函数f(x)的定义域为(- ,+∞), 2 令t=2x+1(t>0). 因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在 1 (- ,+∞)上为增函数,所以函数y=log5(2x+1)的单调增 2 1 区间为(- ,+∞). 2

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【答案】

1 (- ,+∞) 2

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5 . (2012· 北京高考 ) 已知函数 f(x) = lg x ,若 f(ab) = 1 ,

则f(a2)+f(b2)=________.

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【解析】 2lg ab.

∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=2lg a+2lg b=

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又f(ab)=1,∴lg ab=1,∴f(a2)+f(b2)=2.
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【答案】

2





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(1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n; (1-log63)2+log62·log618 (2)计算 ; log64 (3)计算(log32+log92)· (log43+log83).

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【思路点拨】
计算;

(1) 根据乘法公式和对数运算性质进行
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(2)将对数式化为指数式或直接代入求解.





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【尝试解答】

(1)法一

∵loga2=m,loga3=n,

∴am=2,an=3,
∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12. 法二 ∵loga2=m,loga3=n,

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∴a2m+n=(am)2·an=(aloga2)2·aloga3=22×3=12.
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6 1-2log63+(log63) +log6 ·log6(6×3) 3 (2)原式= log64 1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63) = log64 1-2log63+(log63)2+1-(log63)2 = log64 2(1-log63) log66-log63 log62 = = = =1. 2log62 log62 log62
2

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lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 (3)原式=( + )· ( + ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 =( + )· ( + ) lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4
菜 单

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1. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此
经常用到换底公式及其推论;在对含字母的对数式化简时必 须保证恒等变形. 2.ab=N?b=logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数 问题的有效方法,在运算中要注意互化.

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3.利用对数运算法则,在积、商、幂的对数与对数的
和、差、倍之间进行转化.

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(1)(2013· 宝鸡模拟)计算(lg ________.

1 -lg 4
b

1 25)÷ 100- = 2

1 1 (2)(2013· 大连模拟)设2 =5 =m,且 + =2,则m= a b ________.
a

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1 1 【解析】 (1)原式=(lg )÷ =-20. 100 10 (2)∵2a=5b=m, ∴a=log2m,b=log5m 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m2=10,∴m= 10.

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【答案】

(1)-20 (2) 10

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(1)(2013· 长沙质检)函数y=ax2+bx与y=log| |x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(

b a )

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A.(1,10) C.(10,12)

B.(5,6) D.(20,24)
(1)根据函数y=ax2+bx与x轴的交点确
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【思路点拨】

b 定|a|的范围. (2)画出f(x)的图象,确定a,b,c的范围.





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b 【尝试解答】 (1)令ax +bx=0得x=0或x=-a. b 对于A、B项,由抛物线知,0<| a |<1,此时,对数函 数图象不合要求,故A、B项不正确;对于C项,由抛物线 b 知| |>1,此时,对数函数图象不合要求,故C不正确;对 a b 于D项,由抛物线知0<| |<1,此时对数函数的图象符合要 a 求,故选D.
2

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(2)作出f(x)的大致图象.不妨设

a<b<c,因为a、b、c互不相等,
且f(a)=f(b)=f(c),由函数的 图象可知10<c<12, 且|lg a|=|lg b|,因为a≠b,

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所以lg a=-lg b,可得ab=1, 所以abc=c∈(10,12),故选C. 【答案】 (1)D (2)C
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1.解答本题(1)时,可假设一个图象正确,然后看另一
个图象是否符合要求;对于本题(2)根据|lg a|=|lg b|得到ab= 1是解题的关键. 2 . 对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数 型函数,在求解其单调性 ( 单调区间 ) 、值域 ( 最值 ) 、零点

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时,常利用数形结合求解.
3 .一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相 应函数图象问题,利用数形结合法求解.

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(1)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y =a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3, 则x1,x2,x3的大小关系是( A.x2<x3<x1 C.x1<x2<x3 ) B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1

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(2)(2012· 皖南八校第三次联考 ) 若函数 f(x) = loga(x + b)

的大致图象如图2-6-2,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax
+b的大致图象是( )

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【解析】
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(1) 在同一坐标系中画出三个函数的图象及

直线y=a(a<0),易知x1>x3>x2,故选A.
(2) 由 对 数 函 数 递 减 得 0 < a < 1 , 且 f(0) = logab∈(0 , 1)?0<a<b<1,所以函数g(x)单调递减,且g(0)=a0+b=1 +b∈(1,2). 【答案】
菜 单

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(1)A

(2)B

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x+2a+1 已知函数f(x)=log2 . x-3a+1 (1)求函数f(x)的定义域; (2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,试讨论它的 奇偶性和单调性.
【思路点拨】 性. (1)利用真数大于0构建不等式,但要注

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意分类讨论,(2)先由条件求出a的值,再讨论奇偶性和单调

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【尝试解答】
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x+2a+1 (1) >0?[x-(3a-1)][x-(- x-3a+1

2a-1)]>0,所以,当3a-1≥-2a-1,即a≥0时,定义域 为(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞); 当3a-1<-2a-1,即a<0时,定义域为(-∞,3a- 1)∪(-2a-1,+∞). (2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,当且仅当-2a x+5 -1=-(3a-1)?a=2,此时,f(x)=log2 . x-5 对于定义域D=(-∞,-5)∪(5,+∞)内任意x,- x∈D,

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-x+5 x- 5 x+5 f(-x)=log2 =log2 =-log2 =-f(x), -x-5 x+ 5 x-5 所以f(x)为奇函数;
菜 单

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当x∈(5,+∞),对任意5<x1<x2, (x1+5)(x2-5) 有f(x1)-f(x2)=log2 , (x1-5)(x2+5) 而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(5,+∞)内单调递 减;
由于f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,-5)内单调递减.

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1.利用对数函数的性质比较对数值大小:

(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理;
(2) 底数不同,真数相同的对数值的比较,可利用函数 图象或比较其倒数大小来进行. (3) 既不同底数,又不同真数的对数值的比较,先引入

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中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数性质进行比较. 2 .利用对数函数性质研究对数型函数性质,要注意三 点,一是定义域;二是底数与 1的大小关系;三是复合函数
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的构成.





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(2013· 中 山 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = loga(8 - ax)(a > 0 , a≠1) ,若 f(x) > 1 在区间 [1 , 2] 上恒成立,求实数 a 的取值范

围.
【解】 当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减 函数, 由f(x)>1恒成立, 则f(x)min=loga(8-2a)>1, 8 解之得1<a< . 3

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若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立, 则f(x)min=loga(8-a)>1, 且8-2a>0, ∴a>4,且a<4,故不存在. 8 综上可知,实数a的取值范围是(1, ). 3

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ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0)

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解决与对数有关的问题时: (1) 务必先研究函数的定义 域.
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(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值 范围.

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画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1, 1 0),(a,-1).

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对数值的大小比较方法
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(1) 化同底后利用函数的单调性. (2) 作差或作商法. (3)
利用中间量(0或1).(4)化为同真数后利用图象比较.

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从近两年高考看,对数函数是考查的重点,题型多为选
择题、填空题,重点考查对数函数的图象和性质的应用,中 等难度.预计 2014 年高考仍将以对数函数的性质为主要考

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点,考查解决问题的能力,分类讨论和数形结合等数学思 想.

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思想方法之四 用数形结合思想求参数的取值范围 1 (2012· 课标全国卷)当0<x≤ 时,4x<logax,则a的取值 2 范围是( ) 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2
C.(1, 2) D.( 2,2)

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1 【解析】 由0<x≤ 且logax> 2 4x>0得0<a<1, 在同一坐标系中画出函数y=4x 1 (0<x≤ )和y=logax(0<a<1, 2 1 0<x≤ )的图象,如图所示: 2

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1 1 x 由图象知,要使当0<x≤ ,4 <logax,只需loga > 2 2 1 1 42,即loga >logaa2, 2 1 2 2 ∴a > ,∴a> 或a<- , 2 2 2 2 又0<a<1,∴ <a<1. 2
2

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【答案】

B

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易错提示:(1)本题无法分离参数,没有数形结合的思 想意识,从而无法求解. 1 1 (2)不会解不等式loga >42,造成错解. 2 防范措施:(1)恒成立问题常用分离参数法求解,当不 能分离参数且图象易画时,可考虑数形结合法. (2)解对数不等式时常用化为同底法求解,实际上应用 的是对数函数的单调性.

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e -e 1.(2013· 潍坊模拟)函数y=ln x -x 的图象大致为 e +e ( )

x

-x

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【解析】

ex-e x - 由题意,知 x -x >0,即ex-e x>0,所 e +e
- -

以x>0,即函数的定义域是(0,+∞),排除选项A、B.由 ex-e x e2x-1 ex-e x 于0< x -x= 2x <1,所以ln x -x<0.故选C. e +e e +1 e +e


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【答案】
菜 单

C

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2.(2012· 江苏高考)函数f(x)= ________.

1-2log6x 的定义域为

【解析】 要使函数f(x)= 解得0<x≤ 6.

1-2log6x

有意义,则

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【答案】

(0, 6]

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课后作业(九)

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第 五 节

对数与对数函数

重点难点 重点:①对数的概念、性质、运算法则、换底公式. ②对数函数的概念、图象与性质. 难点: ①对数的换底公式. ②对数函数图象、性质的应用. ③简单对数方程、不等式的求解.

知识归纳 一、对数 1.定义:ab=N? b= logaN (a>0,a≠1,N>0).

2.性质:(1)负数和零没有对数; (2)1 的对数为 0; (3)底的对数为 1. 3.恒等式: (1) = N ,

(2)logaab= b .(a>0,a≠1,N>0)

4.运算法则: (1)loga(MN)= M (2)loga = N (3)logaNn= (4)loga N=
n

logaM+logaN

; ;

logaM-logaN

nlogaN

; .

1 log N n a

(其中 M>0, N>0, a>0 且 a≠ 1, n∈ N*)

logcb 5.换底公式:logab= (c,a>0 且 c,a≠ 1,b>0) logca m 1 由换底公式得: logab= , loganbm= n logab. logba 另外: log10N=lgN, logeN= lnN(e= 2.71828? )分别 叫做常用对数和自然对数.

二、对数函数的图象与性质 定义 y= logax(a>0, a≠ 1)

图象

(1)定义域: (0,+∞ ) (2)值域: R (3)过点(1,0),即当 x= 1 时, y= 0. 性质 (4)当 a>1 时,在 (0,+∞ )是增函数; 当
0<a<1 时,在(0 ,+∞)上是减函数.

x>1 a>1 0<a<1
y>0 y<0

0<x<1
y<0 y>0

指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线 y = x 对称,单调性相同.

三、反函数的概念与性质 1.若函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 B,对于 B 中的每一个元素 y0, 在 A 中都有唯一的元素 x0 与之对应, 则函数 y= f(x)存在反函数,记为 y=f- 1(x),且 y= f-1(x) 的定义域为 y= f(x)的值域. 指 数 函 数 y = ax(a>0 且 a≠ 1) 与 对 数 函 数 y = logax(a>0 且 a≠ 1)互为反函数.

2.互为反函数的图象之间的关系 (1)y=f- 1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称. (2)若点 P(a,b)在 y=f-1(x)的图象上,则点 (b,a) 在 y =f(x)的图象上.
-1 a = f (b). 若 y=f(x)存在反函数 y=f (x),则 f(a)=b?

-1

误区警示 1. 忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的定 义域致误. 2.只有一一对应的函数才存在反函数. 3.解答对数的运算及对数函数的问题,要时刻牢记 对数运算法则中的限制条件和对数函数的定义域.

一、转化的思想 指数式 ab= N 与对数式 logaN= b(a>0 且 a≠ 1,N>0) 可以互化,在解决与指数式、对数式有关的问题时,利 用指对互化 (或等式两端取同底的对数 ) 结合换底公式常 能起到事半功倍的效果.

二、数形结合的思想 有关指数 (或对数 )与三角函数或 (一次、二次函数、 幂函数 )构成的方程解的个数讨论, 不等式恒成立等问题, 常通过作出相应基本初等函数的图象,用数形结合法求 解. 三、解题技巧 1.注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵 活运用及指对互化的应用.

2. (1)同底数的对数比较大小用单调性. (2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指 数式. (3)作差或作商法 (4)利用中间量 0、 1 比较.

3.对数函数图象在第一象限内底数越小,图象越靠 近 y 轴 (逆时针底数依次变小 ),在直线 x= 1 右侧,底大 图低 (区分 x 轴上方与下方 ). 4.在对数运算中,常常先利用幂的运算把底数或真 数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简, 然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化 同底和指对互化的运用.

对数的运算与性质
[ 例 1] ________. 分析:注意到 lg2+lg5=1,可通过提取公因式产生 lg2+lg5 求解.
解析: (lg2)2+ lg2lg5+ lg5= lg2(lg2+ lg5)+ lg5= lg2 + lg5=1.

(2011· 苏北四市二模 )(lg2)2 + lg2lg5 + lg5 =

答案:1

(文)(2010· 四川高考)2log510+log50.25=( A. 0 B.1 C.2

) D.4

解 析 : 2log510 + log50.25 = log5100 + log50.25 = log525=2,故选 C. 答案:C

(理)(1)lg25+lg2· lg50+(lg2)2; (2)(log32+log92)· (log43+log83).
解析:(1)原式=(lg2)2+ (1+ lg5)lg2+ lg52= (lg2+ lg5 + 1)lg2+ 2lg5=(1+ 1)lg2+ 2lg5=2(lg2+ lg5)= 2.
?lg2 lg2 ? ?lg3 lg3 ? ? (2)原式=? + ?· + ? ?lg3 lg9 ? ?lg4 lg8 ? ?lg2 lg2 ? ? lg3 lg3 ? 3lg2 5lg3 5 ?· ? ?= =? + + · = . lg3 2lg3 2lg2 3lg2 2lg3 6lg2 4 ? ?? ?

答案:(1)2

5 (2) 4

对数函数的图象
[例 2] (文 )已知函数 y=loga(x+b)的图象如图所示, 则 ab=________.

?log b= 1, ? a ? 解析: 由图象知 ? ?loga? b- 2?= 0,

得 a= b=3,

所以 ab= 33=27. 答案: 27

(理)(2011· 湖北六市联考 )已知函数 f(x)=loga(2x+b- 1)(a>0 且 a≠ 1)的图象如图所示,则 a, b 满足的关系是 ( )

A. 0<a-1<b<1 C. 0<b-1<a<1

B. 0<b<a-1<1 D. 0<a-1<b- 1<1

分析: 观察图形可见 f(x)为增函数,- 1<f(0)<0, y = 0 时 x>0,可依据以上信息结合解析式讨论.

解析:∵t=2x+b-1 单调增,f(x)单调增,∴a>1. 由图知-1<f(0)<0,∴-1<logab<0, ∴a 1<b<1,故选 A.


答案: A

(文)(2010· 四川文, 2)函数 y= log2x 的图象大致是(

)

解析:由对数函数 y=log2x 定义域 x>0,排除 A,B;由 单调增排除 D,故选 C.

答案: C

(理)(2010· 福建省宁德市模拟)函数 y=lg|x-1|的图象是 (

)

解析:由解析式可知,x=0 或 2 时,y=0,排除 B、D; x=- 1 时,函数有意义排除 C,故选 A.

答案: A

对数函数的单调性与最值

[例 3]

(文 )设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上 )

1 的最大值与最小值之差为 ,则 a= ( 2 A. 2 C. 2 2 B.2 D.4

解析:因为 a>1,所以 f(x)=logax 在区间[a,2a]上为 增函数,最大值为 loga2a,最小值为 logaa.因此 loga2a- 1 1 logaa= ,即 loga2= ,解得 a=4. 2 2
答案:D

(理)设 a>0 且 a≠ 1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上 1 的最大值与最小值之差为 ,则 a 等于 ( 2 A. 2 C. 2 2 )

1 B. 2 或 2 1 D. 4 或 4

分析:∵ a>1 与 0<a<1 时, f(x)的单调性不同,∴最 小值、最大值也不同,故需分类讨论.

解析:当 0<a<1 时,f(x)在[a,2a]上单调递减,由题意 1 1 1 得,logaa-loga2a= ,∴loga2=- ,∴a= . 2 2 4 当 a>1 时,∴f(x)=logax 在[a,2a]上为增函数, 1 ∴loga2a-logaa= ,解得 a=4,故选 D. 2

答案:D

(2011· 江苏四市联考 )已知函数 f(x)= |log2x|,正实 数 m、 n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在区间[m2, n]上的最大值为 2,则 m、 n 的值分别为( 1 A. 、 2 2 2 C. 、 2 2 1 B. 、 4 2 1 D. 、4 4 )

? ?log2x, x≥ 1 解析:f(x)=|log2x|=? ? ?- log2x, 0<x<1



根据 f(m)=f(n)及 f(x)的单调性知,0<m<1,n>1 , 又 f(x)在[m2,n]上的最大值为 2, 1 故 f(m )=2,易得 n=2,m= . 2
2

答案:A

利用对数函数的单调性比较大小

[例 4] 对于 0<a<1,给出下列四个不等式 1 ①loga(1+a)<loga(1+ ); a 1 ②loga(1+a)>loga(1+ ); a

1 1 解析:由于 0<a<1?a< ?1+a<1+ , a a 1 + ∴loga(1+a)>loga(1+ ),a1 a> a ∴选 D.

答案:D

(文)设 a>1,且 m= loga(a2+ 1), n= loga(a- 1),p = loga(2a),则 m, n,p 的大小关系为( A. n>m>p C. m>n>p B. m>p>n D. p>m>n )

解析:由 a>1 得 a2+1>2a>a-1>0, ∴loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1).

答案:B

1 解析: 取 a= 满足条件,则 2 画出图象后知选 D.

答案: D

反函数的概念
[例 5] 设函数 f(x)= loga(x+ b)(a>0 且 a≠ 1)的图象过 点 (2,1),其反函数的图象过点 (2,8),则 a+ b 等于 ( A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 )

分析: 反函数的图象和原函数的图象关于直线 y= x 对称.点 P(a, b)在原函数 y= f(x)的图象上 ?点 P′(b, a)在反函数 y=f- 1(x)的图象上.解答该题不需要求出反函 数.

?log ? b+ 2?= 1, ? a ? 解析:由题意得, ? ?loga? b+ 8?= 2,

解得 a= 3,b

= 1.于是 a+ b= 4,选 C.

答案: C

点评: 新课标对反函数要求很低,只要了解以下基 本内容即可: ①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和 定义域. ②反函数的图象与原来函数的图象关于直线 y=x 对 称,即若点 P(a,b)在反函数的图象上,则点 P′ (b, a) 在原来函数的图象上. ③由函数的定义知,只有一一对应的函数才存在反 函数.

(2010· 重庆南开中学 )函数 y= lg(x+ 1)的反函数的 图象为 ( )

解析: 解法 1:∵函数 y= lg(x+ 1)的图象过点(0,0), 故反函数图象过点 (0,0),排除 A、 B、 C,选 D. 解法 2:函数 y= lg(x+ 1)的反函数为 y= 10x- 1,故 选 D.

答案: D

对数方程与不等式
[例 6] (文 )(2011· 浙江省“百校联盟”交流联考卷 ) )

已知 0<a<1, loga(1- x)<logax 则 ( A. 0<x<1 1 C. 0<x< 2 1 B. x< 2

1 D. <x<1 2

分析: 底数相同, 真数不同, 可利用对数函数 y=logax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解.

解析: ∵ 0<a<1 时, y= logax 为减函数, ?1- x>0 ? ∴原不等式化为?x>0 ?1- x>x ? 1 ,解得 0<x< . 2

答案: C

(理 )设 0<a<1,函数 f(x)= loga(a2x- 2ax- 2),则使 f(x)<0 的 x 取值范围是 ( A. (-∞, 0) C. (-∞, loga3) ) B. (0,+∞) D. (loga3,+∞)

解析: ∵ 0<a<1 ∴ loga(a2x- 2ax- 2)<0 即 a2x- 2ax- 2>1 ∴ a2x- 2ax- 3>0

∴ ax>3 或 ax<- 1(舍 ) ∴ x<loga3,故选 C.

答案: C

点评: 关于含对数式的不等式求解,一般都是用单 调性或换元法求解.

已知 0<a<b<1<c,m= logac,n= logbc,则 m 与 n 的大小关系是 ________.
解析: ∵0<a<b<1<c,∴logca<logcb<0, 1 1 ∴ > ,即 logac>logbc,∴m>n. logca logcb

答案: m>n

一、选择题 1.(文)(2011· 北京西城一模 )设 a= log23,b= log43,c = 0.5,则 ( A. c<b<a C. b<a<c ) B. b<c<a D. c<a<b

[答案]

A 1 a=log23,b=log43=log2 3,c= =log2 2, 2

[解析]

而 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,所以 a>b>c.

(理 )(2010· 全国卷Ⅰ)设 a= log32, b= ln2, c= 5 , 则( ) A. a<b<c C. c<a<b B. b<c<a D. c<b<a

-1 2

[答案]
[解析]

C
ln2 1 1 -1 2 a=log32= <ln2=b,又 c=5 = < , ln3 5 2

1 a=log32>log3 3= ,因此 c<a<b. 2

2.若定义域为区间 (- 1,0)的函数 f(x)=log2a(x+1), 满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是( 1 A. (0, ) 2 1 C. ( ,+∞ ) 2 ) 1 B.(0, ] 2 D.(0,+∞)

[答案] [ 解析 ]

A ∵- 1<x<0,∴ 0<x+ 1<1.由对数函数性质

知, 要使 f(x)=log2a(x+1)在(-1,0)上满足 f(x)>0, 则必有 1 0<2a<1,即 0<a< . 2

x- 3 3. (文 )为了得到函数 y= ln 的图象,只需把函数 y e = lnx 的图象上所有的点 ( )

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度
[答案 ] D

x- 3 [解析 ] 由 y= ln 得到 y= ln(x- 3)- 1, 由 y=lnx e 图象上所有点向右平移 3 个单位,得到 y=ln(x- 3)的图 象, 再向下平移一个单位得到 y= ln(x- 3)-1 的图象. 故 选 D.

(理 )(2011· 浙江杭州月考 )已知函数 f(x)= lnx, g(x)= lgx, h(x)= log3x,直线 y= a(a<0)与这三个函数的图象交 点的横坐标分别是 x1, x2, x3,则 x1, x2, x3 的大小关系 是( ) A. x2<x3<x1 C. x1<x2<x3
[答案 ] A

B. x1<x3<x2 D. x3<x2<x1

[分析] 可依据在同一坐标系中,对数函数“底大图 低”的特性求解.
[解析 ] 在同一坐标系中,作出三个函数的图象,如 图所示:

由图可知, x2<x3<x1.

二、解答题 4. (2010· 石狮质检 )已知函数 f(x)= loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取 值范围. (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2] 上为减函数, 并且最大值为 1?如果存在, 试求出 a 的值; 如果不存在,请说明理由.

[解析 ] (1)由题意, 3- ax>0 对一切 x∈ [0,2]恒成立, ∵ a>0 且 a≠ 1, ∴ g(x)= 3- ax 在 [0,2]上是减函数,从而 g(2)=3-
? 3 3? 2a>0 得 a< .∴ a 的取值范围为(0,1)∪?1, ?. 2 2? ?

(2)假设存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2] 上为减函数,并且最大值为 1. 由题设 f(1)= 1,即 loga(3- a)= 1,
? 3 3 ? ∴ a= ,此时 f(x)=log3 ?3- x?,当 x= 2 时,函数 2 2 ? 2 ?

f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在.


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