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排列、组合定义及题型讲解0


排列、组合定义及题型讲解
一、排列 1.一般地说,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 排列的定义包含两个基本内容:一是“取出元素” ;二是“按照一定顺序排列” .因此当元素完全相 同,并且元素的排列顺序也完全相同时,才是同一个排列. 2. n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素

的所有排列的个数, 从 叫做从 n 个为不同元素中取出 m 个元 m m 素的排列数,用符号 A n 表示.排列数公式 A n= . 这里 m≤n,其中等式的右边是 个连续的自然数相乘,最大的是 ,最小的 是 . 3.n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列,全排列数用 Ann 表示,它 等于自然数从 1 到 n 的连乘积,自然数从 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘,用 表示. 4.解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举 法、对称法、隔板法. 5.排列问题常用框图来处理. 例 1、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺 卡,则四张贺卡的不同分配有多少种? (2) 同一排 6 张编号 1,2,3,4,5,6 的电影票分给 4 人,每人至少 1 张,至多 2 张,且这两张 票有连续编号,则不同分法有多少种? (3) (06 湖南理 14)某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进 行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这 6 项工程的不同排法有多少种数? 解: (1)分类:9 种 (2)假设五个连续空位为一个整元素 a,单独一个空位为一个元素 b,另 4 人为四个元素 c1、c2、 c3、c4.问题化为 a,b,c1,c2,c3,c4 的排列,条件是 a,b 不相邻,共有 A44 ? A52 =48 种; (3)将丙,丁看作一个元素,设想 5 个位置,只要其余 2 项工程选择好位置,剩下 3 个位置按甲、 乙(两丁)中唯一的,故有 A52 =20 种 变式训练 1:有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有 ____ 种不同的方法. 解:9 个球排成一列有 A9 种排法,再除去 2 红、3 黄、4 白的顺序即可,
9

A 故共有排法 AAA
2 2 9 3 3

9

4 4

? 1260 种。

答案:1260

例 2.5 男 4 女站成一排,分别指出满足下列条件的排法种数 (1) 甲站正中间的排法有 种,甲不站在正中间的排法有 种. (2) 甲、乙相邻的排法有 种,甲乙丙三人在一起的排法有 种. (3) 甲站在乙前的排法有 种,甲站在乙前,乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有 种.丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有 种. (4) 甲乙不站两头的排法有 种,甲不站排头,乙不站排 尾的排法种有 种. (5) 5 名男生站在一起,4 名女生站在一起的排法有 种. (6) 女生互不相邻的排法有 种,男女相间的排法有 种. (7) 甲与乙、 丙都不相邻的排法有 种, 甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有 种.

(8) 甲乙丙三人至少有 1 人在两端的排法有 (9) 甲乙之间有且只有 4 人的排法有 解:(1)8!, 8×8! (2) 2×8!,6×7!(3)

种. 种.
1 2

×9!,

A96 ×1, A96 ×2×1

(4)

A72 ×7!8!+7×7

×7! (5) 2×5!×4! (6) 5!× A64 , 5!×4!×2 (7 ) 9!-2×8!×2+2×7!, 3×6!× A72 ×2 (8) 9!- A73 ×6! (9) 捆绑法.2× P74 ×4! 也可用枚举法 2×4×7! [来源:学科网 ZXXK] 变式训练 2:从包含甲的若干名同学中选出 4 人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名同学 只能参加一种竞赛,且任 2 名同学不能参加同一种竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有 72 种不同的参赛方法,问一共有多少名同学? 解:5. 例 3. 在 4000 到 7000 之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解:分两类.①类 5 在千位上:1×5× A82 =280 ②类 4 或 6 在千位上:2×4× A82 =448 故有 280+448=728 个 变式训练 3:3 张卡片的正反面上分别有数字 0 和 1,3 和 4,5 和 6,当把它们拼在一起组成三位 数字的时可得到多少个不同的三位数(6 可做 9 用) 解:若 6 不能做 9 用,由于 0 不能排百位,此时有 5×4×2=40 个.这 40 个三位数中含数字 6 的 有 2×3×2+1×4×2=20 个,故 6 可做 9 用时,可得三位数 40+20=60 个 例 4. (1) 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力赛,问其中不跑第一棒的安排方法有多 少种? (2) 一排长椅上共有 10 个座位,现有 4 人就坐,恰有 5 个连续空位的坐法有多少种? 解: (1)①先安排第四棒,再安排其他三棒的人选,故有 5× A53 =300 种 ② 60 对. (2)假设五个连续空位为一个元素 A,B 为单独一个空位元素,另 4 个为元素 C1,C2,C3,C4 间题 转化为 A,B,C1,C2,C3,C4 排列,条件 A,B 不相邻,有 A44 ? A52 =480 种. 变式训练 4:某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒 火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方 案共有 种. (用数字作答) . 解:96 二、两个基本原理: 1.分类计数原理(也称加法原理) :做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 2.分步计数原理(也称乘法原理) :做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不 同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = 种不同的方法. 例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人 (1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种?(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种? (3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法? (4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组,共有多少种方法? 4 4 解: )48+50+52=150 种 (2)48×50×52=124800 种 (3) C150 (4) A150 (1 变式训练 1:在直角坐标 x-o-y 平面上,平行直线 x=n, (n=0,1,2,3,4,5) ,y=n, (n=0,1, 2,3,4,5) ,组成的图形中,矩形共有( )A、25 个 B、36 个 C、100 个 D、225 个 解: 在垂直于 x 轴的 6 条直线中任意取 2 条, 在垂直于 y 轴的 6 条直线中任 意取 2 条, 这样的 4 条 直线相交便得到一个矩形,所以根据分步记数原理知道:

得到的矩形共有 C 6 ? C 6 ? 15 ? 15 ? 225 个,
2 2

故选 D。

例2. (1) 将5封信投入6个信箱,有多少种不同的投法? (2) 设I={1,2,3,4,5,6},A与B都是I的子集,A∩B={1,3,5},则称(A,B)为理想配,所有理想配 共有多少种? (3) 随着电讯事业的发展,许多地方电话号码升位,若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码, 问升位后可多装多少门电话机?(电话号码首位不为0) 解: (1)65 (2)27 (3)电话号码首位不为 0:9×107-9×106=8.1×107 变式训练 2:一个圆分成 6 个大小不等的小扇形,取来红、黄、兰、白、绿、黑 6 种颜色。 请问:⑴6 个小扇形分别着上 6 种颜色有多少种不同的着色方法? ⑵ 从这 6 种颜色中任选 5 种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有多少种不同的着色方 法?
6 解:⑴6 个小扇形分别着上 6 种不同的颜色,共有 A6 ? 720 种着色方法. 5 5 ⑵6 个扇形从 6 种颜色中任选 5 种着色共有 C 62 C 6 A5 种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色 5 5 2 5 5 5 5 的着色方法共有 6C6 A5 ;因此满足条件的着色方法共有 C6 C6 A5 ? 6C6 A5 ? 6480 种着色方法.

例 3. 如图 A,B,C,D 为海上的四个小岛,现在要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同 的建桥方案有( ) D A A、8 种 B、12 种 C、16 种 D、20 种 B C 解:第一类:从一个岛出发向其它三岛各建一桥,共有 C 4 =4 种方法; 第二类:一个岛最多建设两座桥,例如:A—B—C—D,D—C—B—A,这样的两个排列对应一种建桥 方法,因此有 A
2
4 4
1

? 12 种方法;

根据分类计数原理知道共有 4+12=16 种方法 变式训练 3:某公司招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名翻译人员不能同 时分给一个部门,另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门,求有多少种不同的分配方案. 解:用分步计数原理.先分英语翻译,再分电脑编程人员,最后分其余各人,故有 2×(3+3)×3 =36 种. 例 4. 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表 示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量, 现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息可以沿不同的 路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是( )A、26 B、24 C、20 D、19 3 ? 5 ? 12 B? 4 ?6 ?A 6 7?6 12 ? 8 ? 解:要完成的这件事是: “从 A 向 B 传递信息” ,完成这件事有 4 类办法: 第一类:12 5 3

第二类 : 12 6 4 第三类 :12 6 7 第四类; :12 8 6 可见:第一类中单位时间传递的最大信息量是 3;第二类单位时间传递的最大信息量是 4; 第三类单位时间传递的最大信息量是 6;第四类单位时间传递的最大信息量是 6。所以由分类记数 原理知道共有:3+4+6+6=19,故选 D 变式训练 4:7 个相同的小球,任意放入 4 个不同的盒子,则每个盒子都不空的放法有多少种? 解:首先要清楚: “每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有 1 个球” 。 于是,我们采用“隔板法”来解决。在 7 个小球中的每两个之间分别有 6 个空,我们从 6 个空中任 意选 3 个分别插入 3 块隔板, 则这 3 块隔板就把 7 个小球分成 4 部分, 而且每一部分至少有 1 个球。 即有 C 6 =20 种方法,又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有 20 种放球放法。 注; (1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决,则显得很麻烦;大家可以试一试。 (2)隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况,否则不能使用. 两个原理的区别在于,前者每次得到的是最后的结果,后者每次得到的是中间结果,即每次仅完成 整件事情的一部分,当且仅当几个步骤全部做完后,整件事情才算完成. 三、组合 1.一般地说,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 2.排 列与组合的共同点,就是都要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素” ,而不同点就是前者要 “按一定的顺序成一列” ,而后者却是“不论怎样的顺序并成一组” . 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 m 组合数,用符号 C n 表示. 组合数公式 c m = = n 在求具体的组合数时,常用上面的公式,分子由连续 m 个自然数之积,最大的数为 n ,最小的数是 (n ? m ? 1) ,分母是 m! ,如果进行抽象的证明时,一般常用下面的公式 m = ,它的分子是 n! , cn 分母是 m! 与 (n ? m)! 的积. 3.组合数性质: ① Cnm ? Cnn ? m ② Cnm ? Cnm?1 ? Cnm??11 ③ Cnm ? n Cnm??11
m
1 ④ Cnm ? Cnm??11 ? Cnm??21 ? Cnm??31 ? ? ? Cnm??m (m ? n)

3

m 0 1 1 m m ⑤ C n ? C rm C n?r ? C rm?1C n?r ? ... ? C r C n??r1 ? C r0 C n?r

例 1. 某培训班有学生 15 名,其中正副班长各一名,先选派 5 名学生参加某种课外活动. (1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法. (2) 如果班长和副班长有且只有 1 人在内有多少种派法. (3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法. (4) 如果班长和副班长至少有 1 人在内,有多少种派法. 4 1 3 5 解;(1) C 22 C13 =286 (2) C 2 C13 =1430 (3) C13 =1287 5 5 (4) C15 - C13 =1716 变式训练 1:从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会,若这 4 个人中必须既有男生又有女 生,则不同的选法有 ( )A.140 B.120 C.35 D. [来源:学§ 34 科§网 Z§X§X§K]解:D 例 2. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生, 则选派方案共有( )A、108 种 B、186 种 C.216 种 D、270 种

解:没有女生的选法有 C 4 , 至少有 1 名女生的选法有 C 7 ? C 4 ? 31 种,
3 3 3

所以选派方案总共有:31× A3 =186 种。

3

故选 B.

变式训练 2: 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班一位班主任), 从 要求这 3 位班主任中男女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 解:B 例 3. (1) 把 10 本相同的书分给编号 1,2,3 的阅览室,要求每个阅览室分得的书数不大于其编号 数,则不同的分法有多少种? (2) 以平行六面体 ABCD—A1B1C1D21 的任意三个点为顶点作三角形, 从中随机取出两个三角形, 则 这两个三角形不共面情况有多少种? (3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯 15 只,现以不同的亮灯方式来增加 舞台效果,设计者按照每次亮灯时恰好有 6 只是关的,且相邻的灯不能同时关掉,两端的灯必须要 亮的要求进行设计,求有多少不同的亮灯方式? 解: (1)先在编号为 1,2,3 的阅览室中依次放入 0,1,2 本书,再用隔板法分配剩下的书有 C 62 =
2 15 种, (2)平行六面体中能构成三角形个数 C 83 =56 为任取两个有 C56 种情况,其中共面的有 12 C 42 ,

2 因而不共面的有 C56 —12 C 42 种

(3) C85 ? C82 ? 28

变式训练 3:马路上有编号为 1, 2, 3, 4?..10 的十盏路灯,为节约用电,又不影响照明可以 把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数 有_______种. 解:20 用插排法,把七盏亮灯排成一排,七盏亮灯之间有 6 个间隔,再将三盏不亮的灯插入其 中的 3 个间隔,一种插法对应一种关灯的方法,故有 C 63 ? 20 种关灯方法. 例 4. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点, (1) 在其中取 4 个共面的点, 共有多少种不同的取法?(2) 在其中取 4 个不共面的点, 共有多少种 不同的取法. 解:(1)四个点共面的取法可分三类.第一类:再同一个面上取,共有 4 C 64 个面;第二类:在一条 棱上取三点,再在它所对的棱上取中点,共有 6 个面;第三类:在六条棱的六个中点中取,取两对 对棱的 4 个中点,共有 C 32 =3 个面.故有 69 种. 4 (2) 用间接法.共 C10 ? 69 =141 个面. 变式训练 4:在 1, 2, 3?100 这 100 个数中任选不同的两个数,求满足下列条件时各有多少种 不同的取法. (1) 其和是 3 的倍数 (2) 其差是 3 的倍数(大数减小数). (3) 相加,共有多少个不同的和. (4) 相乘,使其积为 7 的倍数. 解:(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295 四、排列组合综合题 例 1. 五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数: (1)甲必须在排头; (2)甲必须在排头,并且乙在排尾; (3)甲、乙必须在两端; (4)甲不在排头,并且乙不在排尾; (5)甲、乙不在两端; (6)甲在乙前; (7)甲在乙前,并且 乙在丙前; (8)甲、乙相邻; (9)甲、乙相邻,但是与丙不相邻; (10)甲、乙、丙不全相邻

解析: (1)特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”有 A1 种,再排其它 4 个位置有 A4 种, 1 所以共有: A1 × A4 =24 种 1 (2)甲必须在排头,并且乙在排尾的排法种数: A1 × A1 × A3 =6 种 1 1 (3)首先排两端有 A2 种,再排中间有 A3 种,[来源:Z_xx_k.Com] 所以甲、乙必须在两端排法种数为: A2 × A3 =12 种 (4)甲不在排头,并且乙不在排尾排法种数为: A5 -2 A4 + A3 =78 种 (5)因为两端位置符合条件的排法有 A3 种,中间位置符合条件的排法有 A3 种, 所以甲、乙不在两端排法种数为 A3 × A3 =36 种 (6)因为甲、乙共有 2!种顺序,所以甲在乙前排法种数为: A5 ÷2!=60 种 (7)因为甲、乙、丙共有 3!种顺序, 所以甲在乙前,并且乙在丙前排法种数为: A5 ÷3!=20 种 (8) 把甲、 乙看成一个人来排有 A4 种, 而甲、 乙也存在顺序变化, 所以甲、 乙相邻排法种数为 A4 × A2 =48 种 (9)首先排甲、乙、丙外的两个有 A2 ,从而产生 3 个空,把甲、乙看成一个人与丙插入这 3 个 空中的两个有 A3 ,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻,但是与丙不相邻排法种数为 A3 ×
2 2 2 2
5 5
5
3

4

4

2

2

2

2

4

3

2

3

2

3

4

4

A × A =24 种
3 2

2

2

(10)因为甲、乙、丙相邻有 A3 × A3 , 所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为 A5 - A3 × A3 =84 种 变式训练 1:某栋楼从二楼到三楼共 10 级,上楼只许一步上一级或两级,若规定从二楼到三楼用 8 步走完,则不同的上楼方法有 ( ) A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 解:C. 8 步走 10 级,则其中有两步走两级,有 6 步走一级.一步走两级记为 a,一步走一级记为 b,所求转化为 2 个 a 和 6 个 b 排成一排,有多少种排法.故上楼的方法有 C 8 =28 种;或用插排 法. 例 2. (1) 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个远地区支教(每地 1 人) ,其中甲和乙不同 去,甲和丙只能事去或同不去,则不同的选派方案菜 有多少处? (2) 5 名乒乓选手的球队中,有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参 加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有多 少种?
2
5
3 3

3

3

解: (1)分类:第一为甲丙都去,第二类不去共有 C52 A44 ? A64 ? 600 种
1 1 1 (2)分类:第一类两名老队员都去,第二类去一名老队员共有 C22 C3C2 C22 ? C2 C32 A33 ? 48 种

变式训练 2:某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单,开演前又增加了三个新节目,如果 将这三个节目插入原来的节目单中,那么不同的插法种数是 ( ) A.504 B.210 C.336 D.120 解:A 9 =504 故选 A 例 3. 已知直线 ax+by+c=0 中的系数 a,b,c 是从集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中取出的三个不 同的元素,且该直线的倾斜角为锐角,请问这样的直线有多少条? 解:首先把决定“直线条数”的特征性质,转化为对“a,b,c”的情况讨论。 设直线的倾斜角为 ? ,并且 ? 为锐角。 b 则 tan ? =- >0,不妨设 a>b,那么 b<0 a 当 c≠0 时,则 a 有 3 种取法,b 有 3 种取法,c 有 4 种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样 的直线有 3×3×4=36 条 当 c =0 时, a 有 3 种取法,b 有 3 种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合,所以这样的直线 有 3×3-2=7 条 故符合条件的直线有 7+36=43 条 变式训练 3: 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去, 将 要求每个部门至少分配一人, 则不同的分配方案共有______种. 1 解 : C 53 ? 3 ? A22 ? C5 ? 3 ? C 42 ? C 22 ? 150 例 4. 从集合{1,2,3,??20}中任选 3 个不同的数,使这 3 个数成等差数 列,这样的等差数列 可以有多少个? 解:a,b,c ? N ? a,b,c 成等差数列 ? a ? c ? 2b ? a, c 要么同为奇数,要么同为偶数,故满足 题设的等差数列共有 A 10 +A 10 =180(个) 变式训练 4:某赛季足球比赛中的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,一 球 队打完 15 场,积 33 分,若不考虑顺序,该队胜负平的情况共有多少种? 解:设该队胜负平的情况是:胜 x 场,负 y 场,则平 15-(x+y)场,依题意有:?
? 3x ? y ? 33 ? x ? y ? 15
2 2 3

? x≥9 。

故有 3 种情况,即胜、负、平的场数是:9,0,6;10,2,3;11,4,0. 五、二项式定理 1.(a+b)n= (n∈N),这个公式称做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展 开式, 其中的系数 叫做二项式系数. 式中的 叫做二项展开式的通项, Tr+1 表示, 用 即通项公式 Tr+1= 是表示展开式的第 r+1 项. 2.二项式定理中,二项式系数的性质有: ① 在二项式展开式中,与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等,即:
0 n 1 n 2 n r n Cn ? Cn , Cn ? Cn ?1 , Cn ? Cn ?2 ,?, Cn ? Cn ?r .

② 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间 两项的二项式系数相等并 且最大,即当 n 是偶数时,n+1 是奇数,展开式共有 n+1 项,中间一项, 即: 第 项的二项式系数最大,为 ;当 n 是奇数时,n+1 是偶数,展开式共有 n+1 项,中 间两项,即第 项及每 项,它们的二项式系数最大,为 ③ 二项式系数的和等于—————————,即———————————— ④ 二项展开式中,偶数项系数和等于奇数项的系数和= 即

⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是:
k k Cn ?1 : Cn ? ? n ? k ? : ? k ? 1?

3.二项式定理主要有以下应用 ①近似计算 ②解决有关整除或求余数问题 ③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法” ) 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形 例 1. (1)若(ax-1)5 的展开式中 x3 的系数是-80,则实数 a 的值是 . (2) 在 (
x? 1
3

) 24 的展开式中,x x

的幂指数是整数的有

项. .
9 10

(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+??+(1+x)6 展开式中 x2 项的系数为 解: (1)-2 (2)5 项 (3)35 变式训练 1:若多项式 A、9
10

x

2

? x ? a0 ? a1 ( x?1) ? ? ? a9 ( x?1) ? a10 ( x?1) , 则 a 9 ? (
10

)

B、10

C、-9
9

D、-10
9

解:根据左边 x 的系数为 1,易知 a10 ? 1 ,左边 x 的系数为 0,右边 x 的系数为

a ?a C
9 10

9 10

? a9 ? 10 ? 0 ,∴

a

9

? ?10

故选 D。

例 2. 已知 f(x)=(1+x)m+(1+x)n,其中 m、n∈N 展开式中 x 的一次项系数为 11,问 m、n 为何值时, 含 x3 项的系数取得最小值?最小值是多少?
1 1 3 3 由题意 C m ? C n ? 11 ? m ? n ? 11 ,则含 x3 项的系数为 Cm ? Cn ? 1 n(n ?1)(n ? 2) + 1 m(m ?1)(m ? 2)

6

6

?

1 9 11 231 ,当 (27n 2 ? 297n ? 990) ? (n ? ) 2 ? 6 2 2 8
2

n=5 或 6 时 x3 系数取得最小值为 30
3 2 ,其中 i ? ?1 ,则展开 14

变式训练 2:分已知 ( x ? 式中常数项是( A、 -45i )

i x

) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ?

B、 45i
2

C、
2

-45
4 4

D、45

解析: 第三项,第五项的系数分别为 Cn (?i) , Cn (?i)

(?i) 依据题意有: C C (?i)
2 n 4 n

2

4

??

3 , 14

整理得 n 2 ? 5n ? 50 ? 0

即解方程(n-10)(n+5)=0
r 20? 2 r

则只有 n=10 适合题意.由 T n?1 ? C10 ? x 故常数项为 C10 (?i) ? C10 =45
8 8 2

? x 2 ? (?i) , 当 20 ? 2r ?
? r

r

r ? 0 时,有 r=8, 2

故选 D

例 3. 若 (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ...... ? a2004 x 2004 , x ? R, 求( a0 ? a1 )+( a0 ? a2 )+??+( a0 ? a2004 ) 解:对于式子: (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ...... ? a 2004 x 2004 , x ? R, 令 x=0,便得到: a 0 =1

令 x=1,得到 a0 ? a1 ? a2 ? ...... ? a 2004 =1 又原式: a0 ? a1 )+( a0 ? a2 )+??+( a0 ? a 2004 ) ( = 2004 a0 ? (a1 ? a2 ? ...... ? a2004 ) ? 2003 a0 ? (a0 ? a1 ? a2 ? ...... ? a2004 ) ∴原式: a0 ? a1 )+( a0 ? a2 )+??+( a0 ? a 2004 )=2004 ( 注意: “二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系. 变式训练 3:若 ? 2 x ? A. ?1
3

?

3

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ,则 ? a0 ? a2 ?2 ? ? a1 ? a3 ?2 的值是





B.1

C.0

D.2 解:A

2 n (n∈N * )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1, ) , 2 x (1)求展开式中各项的系数和(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1,

例 4. 已知二项式 ( x ?

∴C C

4 n 2 n

? (?2) 4 ? (?2)
2

?

10 ,解得 n=8 1

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) 8 =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为 C 8 ? 2 n ? r , C 8 ? 2 r , C 8 ? 2 r ?1 ,
r r ?1 r ?1

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:

C

r ?1 8

? 2 n ? r ≤ C 8 ? 2 r 并且 C 8 ? 2 r ?1 ≤ C 8 ? 2 r ,解得 5≤r≤6;
r r

r ?1

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ? 变式训练 4:①已知(
1 解: (1 ? 1 ) n ? 1 ? C n

x?

1 3x 2

1 1 ;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ? 6 11 x x n ) 的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14:3,求展开式

中不含 x 的项.②求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中 x2 项的系数.
1 2 1 n 1 1 1 ? C n 2 ? ?? Cn n ? 1 ? Cn ? 2 n n n n n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) ? 2 ?1 1 n 1 1 1 1 2 n (1 ? ) ? 1 ? C n ? C n 2 ? ? ? C n 2 ? 1 ? 1 ? ? ?? 2 n n n n 2 ? ?n n ? ?n n 1 1 1 1 1 1 1 2? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 3 ? n?1 ? 3 2 2 2? 3? n? 2 2 n

六、排列组合的一般方法总结 1、相临问题——捆绑法 例 1.7 名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排 列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有 种。 评注:一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有 种排法。 2、不相临问题——选空插入法 例 2. 7 名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 解: 甲、 乙二人不相邻的排法一般应用 “插空” 法, 所以甲、 乙二人不相邻的排法总数应为: 种 . 评注:若 个人站成一排,其中 个人不相邻,可用“插空”法解决,共有 种排法。 3、复杂问题——总体排除法

在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图 形本身对其构成元素的限制。 例 3.正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中 3 个点为顶点的三角形共有多少个. 解:从 7 个点中取 3 个点的取法有 种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能 组成三角形,有 3 条,所以满足条件的三角形共有 -3=32 个. 4、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安 排。 例 4. 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念, 若老师不排在两端, 则共有不同的排法 种. 解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置, 有 种,而其余学生的排法有 种,所以共有 =72 种不同的排法. 例 5. 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员, 5 名队员参加比赛, 名主力队员要安排在第一、 派 3 三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种. 解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有 种排法,而其余 7 名队员选出 2 名安排 在第二、四位置,有 种排法,所以不同的出场安排共有 =252 种. 例 用 0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。 A. 24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 5、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例 6.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(A ) A.42 B.30 C.20 D.12 解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有 A62 种;2.相临:共有 A22A61 种。故不同插法的种数为:A62 +A22A61=42 ,故选 A。 例 7.如图, 一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现 有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?(以数字作答) 解:区域 1 与其他四个区域相邻,而其他每个区域都与三个区域相邻,因此,可以涂三种或四种颜 色. 用三种颜色着色有 =24 种方法, 用四种颜色着色有 =48 种方法,从而共有 24+48=72 种方法, 应填 72. 6、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例 8. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案 共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 解: 本试题属于均分组问题。 则 12 名同学均分成 3 组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同 的分配方案共有: 种,故选 A。 例 9.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其 中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种 解:先选后排,分步实施. 由题意,不同的选法有: C32 种,不同的排法有: A31·A22,故不同 的种植方法共有 A31·C32·A22=12,故应选 C. 7、相同元素分配——档板分隔法 例 10.把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小 于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的 情况?

解:先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书;再对余下的 7 本书进行分配,保证每个阅览室 至少得一本书,这相当于在 7 本相同书之间的 6 个“空档”内插入两个相同“I” (一般可视为“隔 板”)共有 种插法,即有 15 种分法。 总之,排列、组合应用题的解题思路可总结为:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类 为加,分步为乘。 具体说,解排列组合的应用题,通常有以下途径: (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素。 (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置。 (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列组合数。 七、练习 (一)排列组合 1、有四位学生参加三项不同的竞赛, (1)每位学生必须参加一项竞赛,则有 种不同的参赛方法; (2)每项竞赛只许有一位学生参加,则有 种不同的参赛方法; (3)每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则有 种不同的参赛方 法; 2、从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被 5 整除的三位数 共有 个。 3、7 人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数 (1) 甲排中间 (2) 甲不排两端 (3) 甲、 乙相邻 (4) 甲在乙的左边 (不一定相邻) (5) 甲、乙、丙两两不相邻 4、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不 同的选法共有 5、同室四人各写一张贺卡,先集中起来,再每人从中拿一张别人送出的贺卡,则不同的分配方式 有 6、4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方案共有 7、某校高二年级共有六个班,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 1 2 2 2 2 2 2 名,则不同的安排方案种数为( ) (A) A6 C 4 (B) A6 C 4 (C) A6 A4 2 (D) 2 A6
2

8、某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个 新节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为 9、设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的 值,则所得不同直线的条数是 10、如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相 邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着 色方法共有 种.(以数字作答) (二)二项式定理 1、 (2 x ? x ) 4 的展开式中 x3 的系数是 2、若 ( x ? 3
3 x ) n 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是

1 1 1 3、若 (2 x ? ) n 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为-5,则 n 等于 x x x
a? ? 4、已知 ? x ? ? 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x? ?
8

5、若 (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a 2004 x 2004 ( x ? R) ,则
(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ... ? (a0 ? a 2004 ) ?

。 (用数字作答)

答案: (一)1、 (1)81 (2) 64 (3)24 2、36 3、 (1)720 (2)3600 (3)1440 (4)2520 (5)1440 4~9 D B C B A C 10、72 (二)1、C 2、 C 3、B 4、C 5、2004 排列组合二项式定理章节测试题 一、选择题:
x? ? 1. ? 1 ? ? 的展开式中 x 2 的系数为( ? 2?
5



5 D.1[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 2 2.将 1,2,3 填入 3 ? 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填 法,则不同的填写方法共有( ) A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.48 种

A.10

B.5

C.

1 3 2

2 1 3

3 2 1

3. (1 ? x ) 4 (1 ? x ) 4 的展开式中 x 的系数是( A. ?4 B. ?3 C.3 D.4



4.设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1 x ? ? ? a8 x8 , 则 a0, a1 ,? , a8 中奇数的个数为(



A.2 B.3 C.4 D.5 5. 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他 人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )
6 A. C82 A6

B. C82 A32

C. C82 A62

D. C82 A52

6.某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么 不同的选派方案种数为( ) A.14 B.24 C.28 D.48 7.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛, 其中至少有一名女生入选的组队方 案数为( ) A.100 B.110 C.120 D.180 8.某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目,则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A.15 B.45 C.60 D.75 1 9. (1 ? x)10 (1 ? )10 展开式中的常数项为( )[来源:Z§xx§k.Com] x A.1
1 B. (C10 ) 2 1 C. C20 10 D. C20

10. 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 11.一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人 分别照看一道 工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲、丙两工 人中安排 1 人,则不同的安排方案共有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 12.在 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( (A)-15 13.若(x+ (B)85 (C)-120 (D)274 )

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4 项的系数为( ) 2x (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空题: 14.从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同 学的不同选法共有 种(用数字作答)
1 ? ? 15. ? x 2 ? 3 ? 的展开式中常数项为 x ? ?
5

;各项系数之和为

. (用数字作答)

1 9 ) 展开式中 x2 的系数是 .(用数字作答) x 1 17.记 (2 x ? ) n 的展开式中第 m 项的系数为 bm ,若 b3 ? 2b4 ,则 n =__________. x

16.(x+

1 ? ? 18. (1 ? x 3 ) ? x ? 2 ? 展开式中的常数项为 x ? ?

6



2 1 19. (1 ? ) 7 的展开式中 2 的系数为 .(用数字作答) x x 20.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只 能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种. (用数字作答) .

21. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为_______________。
3 4

22.从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的 挑选方法共有_______________种。
2? ? 23. ? x ? ? 的二项展开式中 x 3 的系数为 x? ?
5

(用数字作答) .

24.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从 这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排 法共有 种(用数字作答) . 25. 用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是 (用数字作答) [来源:学,科,网] 三、解答题 26.由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。

(1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个? 27.已知 ( x ?
1 2 x )n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项.


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