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空间向量与平行、垂直关系


平行与垂直 1.设平面 α 的法 向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k=_____. 2.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC 内,则 x=______. 3.若三个平面 ? , ? , ? 两两垂直,它们的法向量分别为 a ? (1,?2, z),b ? ( x,2,?4

), . 4.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是__________. 5.已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点 D 满足条件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则点 D 的坐标为_________. → → → → → 6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y-3),且 BP⊥平面 ABC, 则实数 x,y,z 分别为_________. 7.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、P、Q 分别为棱 AB、 CD、BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q;
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c ? (?1, y,3) ,则 x ?

y?

z?

③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1. 以上结论中正确的是___________; 8.下列命题中: ①若 u,v 分别是平面 α,β 的法向量,则 α⊥β?u· v=0; ②若 u 是平面 α 的法向量且向量 a 与 α 共面,则 u· a=0; ③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 正确的命 题序号是________. → → 9.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0), → → → AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP → ∥BD.
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其中正确的是________.(填序号) 10.下列命题错误的有__________. ①若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行; ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 ③若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 ④若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

11.已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中 点. 求证:AM⊥平面 BDF.

12.如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面 CA1D.

13. 已知 O 、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 、 H 为空间的 9 个点 ( 如图 3 ? 2 ? 7 所示 ) ,并且

OE ? kOA, OF ? kOB, OH ? kOD, AC ? AD ? m AB, EG ? EH ? mEF.
求证:(1)A、B、C、D 四点共面,E、F、G、H 四点共面; → → (2)AC∥EG; → → (3)OG=kOC.

14.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°, 1 侧面 PAD⊥底面 ABCD.若 PA=AB=BC= AD. 2 (1)求证:CD⊥平面 PAC; (2)侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE∥平面 PCD?若存在,指出点 E 的位置并证明,若不存在,请说明理由.

15.如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D 是棱 CC1 的中点,P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点.是否存在点 Q 在线段 B1P 上,使

DQ 与平面 A1BD 垂直?判断并说明理由.

16.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥ BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1) 求证:A1C⊥平面 BCDE; (2) 若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3) 线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直? 说明理由
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答案:1.4; 2.11;

3.

4. ?

? 3 3 3? 40 15 ? 1 1 1? ? ? ,4 ? ,? ,? ? 6. , ? 3 , 3 , 3 ? ; 5. (1,1,1)或? 7 7 ? 3 3 3? ? ?

7.①③④ 8.①②③

9.①②③

10.①②④
2 2 , ,1) . 2 2

11.以 C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A( 2, 2,0), B(0, 2,0),D( 2,0,0),F( 2, 2,1), M (

→ 所以AM= (?

→ → 2 2 ,? ,1) ,DF=(0, 2,1),BD=( 2,- 2,0). 2 2

设 n=(x,y,z)是平面 BDF 的法向量, → → 则 n⊥BD,n⊥DF,

?n· BD= 所以? → ?n· DF=



2x- 2y=0, 2y+z=0

?x=y, ?? ?z=- 2y,

取 y=1,得 x=1,z=- 2. 则 n=(1,1,- 2). → 因为AM= (?

2 2 ,? ,1) . 2 2

→ → 所以 n=- 2 AM,得 n 与AM共线. 所以 AM⊥平面 BDF.

12. [解析] 如图,以 C1 点为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系. 设 AC=BC=BB1=2,则 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0), C1(0,0,0),D(1,1,2). → → (1)∵BC1=(0,-2,-2),AB1=(-2,2,-2), → → ∴BC1· AB1=0-4+4=0, → → ∴BC1⊥AB1,∴BC1⊥AB1. 1→ → → → (2)取 A1C 的中点 E, ∵E(1,0,1), ∴ED=(0,1,1), 又BC1=(0, -2, -2), ∴ED=- BC1, 2 且 ED 和 BC1 不共线, 则 ED∥BC1.又 ED?平面 CA1D, BC1?平面 CA1D, 故 BC1∥平面 CA1D.

→ → → [点评] 第(2)问可求出CD=(1,1,0),CA1=(2,0,-2),BC1=(0,-2,-2), → → → ∴BC1=-2CD+CA1, → → → ∴BC1与CD、CA1共面,∵BC1 ? 平面 CA1D,∴BC1∥平面 CA1D. → → → → → → 13.【解】 (1)由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,知 A、B、C、D 四点共面,E、F、G、H 四点共面. → → → → → → → (2)∵EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE) → → → → → → =k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+kmAB → → → =k(AD+mAB)=kAC, → → ∴AC∥EG. → → → → → (3)由(2)知OG=EG-EO=kAC-kAO → → → =k(AC-AO)=kOC. → → ∴OG=kOC. 14.【解】因为∠PAD=90°,所以 PA⊥AD.又因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,且侧面 PAD∩ 底面 ABCD=AD,所以 PA⊥底面 ABCD.又因为∠BAD=90°,所以 AB,AD,AP 两两垂直.分 别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AD=2, 则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,1). → → → (1)AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0), → → → → 可得AP·CD=0,AC·CD=0,所以 AP⊥CD,AC⊥CD. 又因为 AP∩AC=A,所以 CD⊥平面 PAC. → 1 1 (2)设侧棱 PA 的中点是 E,则 E (0,0, ) ,BE= ( ?1,0, ) .

2

2

?n·→ CD=0, 设平面 PCD 的法向量是 n=(x,y,z),则? → ?n·PD=0,
?-x+y=0, ? (0,2,-1),所以? ?2y-z=0, ?

→ → 因为CD=(-1,1,0),PD=

取 x=1,则 y=1,z=2,所以平面 PCD 的一个法向量为

n=(1,1,2).
→ → 1 所以 n·BE=(1,1,2)· ( ?1,0, ) =0,所以 n⊥BE.

2

因为 BE?平面 PCD,所以 BE∥平面 PCD. 15.【解析】 以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系,则由已知得 A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D (0,1, ) ,P(0,2,0),

1 2

A1B=(1,0,1),A1D= (0,1, ) ,B1P=(-1,2,0),DB1= (1,?1,? ) .设平面 A1BD 的法向量为 n
→ ? n · A ? B=x+z=0, =(x,y,z),则? → 1 n · A ? ? D=y+2z=0,
1 1





1 2





1 2

取 z=-2,则 x=2,y=1,所以平面 A1BD 的

→ → 一个法向量为 n=(2,1,-2).假设 DQ⊥平面 A1BD,且B1Q=λ B1P=λ (-1,2,0)=(-λ ,2 → → → → 1 λ ,0),则DQ=DB1+B1Q= (1 ? ? ,?1 ? 2? ,? ) ,因为DQ也是平面 A1BD 的法向量,所以 n=

2

1 - → 2 1 1 1-λ -1+2λ (2,1,-2)与DQ= (1 ? ? ,?1 ? 2? ,? ) 共线,于是有 = = = 成立,但此 2 1 - 2 4 2 方程关于λ 无解.故不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直。 16.


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