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甘肃省庆阳市环县三中学2016届九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 新人教版


甘肃省庆阳市环县三中学 2016 届九年级数学下学期第一次月考试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共计 36 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,将此选项的字母填入题后的括号内) 1.8 的立方根是( ) A.2 B.﹣2 C.±2 D.2 2.下列运算中,结果正确的是( ) 4 4 8 8 2 4 3 2 A.a +a =a B

.a ÷a =a C.a ?a =a5 D. (﹣2a2)3=﹣6a6 3.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的左视图是( )

A.

B.

C.

D. )

4.要把分式方程

化为整式方程,方程两边可同时乘以(

A.2x+4 B.x C.x+2 D.x(x+2) 5.下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(



A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2 6.在平面直角坐标系中,若将抛物线 y=2x 分别向上、向右平移 2 个单位,则新抛物线的 解析式是( ) A.y=2(x﹣2)2+2 B.y=2(x+2)2﹣2 C.y=2(x﹣2)2﹣2 D.y=2(x+2)2+2 7.一条葡萄藤上结有五串葡萄,每串葡萄的粒数如图所示(单位:粒) .则这组数据的中位 数为( )

A.37 B.35 C.33.8 D.32 8.已知大圆的半径为 5,小圆的半径为 3,两圆圆心距为 7,则这两圆的位置关系为( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 9.下列因式分解错误的是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.x ﹣y =(x+y) (x﹣y) B.x +6x+9=(x+3) C.x +xy=x(x+y) D.x +y =(x+y) 10.如图,矩形 ABOC 的面积为 3,反比例函数 y= 的图象过点 A,则 k=( )

1

A.3 B.﹣1.5 C.﹣3 D.﹣6 2 11. 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示, 下列结论: ①a+b+c>0; ②a﹣b+c>0; ③abc <0;④2a+b=0.其中正确的个数为( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12.如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标为(0,3) ,M 是第 三象限内 上一点,∠BMO=120°,则⊙C 的半径长为( )

A.6

B.5

C.3

D.3

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共计 24 分.请把答案写在题中的横线上) 13.比较大小:﹣2 ﹣3. 14.使 在实数范围内有意义的 x 应满足的条件是 .

15.方程 x2﹣1=0 的解为 . 16.中国航母辽宁舰的满载排水量为 67500 吨,这个数据用科学记数法表示为 吨. 17.圆心角为 30°,半径为 6 的扇形的弧长为 . 18.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,OD∥BC,若 OD=1,则 BC 的长为



19.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以 A、B、C 为圆心,以 AC 为半径画 弧,三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是 .

20.抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示,若 y>0,则 x 的取值范围是



2

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 44 分.简答时,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 21.计算:|4|+( )﹣1﹣( 22.先化简,再求值: ( ﹣1)0﹣ cos45°. ,其中 a=﹣3,b=2.

+ )÷

23.如图,方格纸上的每个小方格都是边长为 1 的正方形,我们把格点间连线为边的三角形 称为“格点三角形”,图中的△ABC 就是一个格点三角形. (1)在△ABC 中,BC= ,tanB= ; (2)请在方格中画出一个格点三角形 DEF,使△DEF∽△ABC,并且△DEF 与△ABC 的相似比 为 2.

24.如图,一天,我国一渔政船航行到 A 处时,发现正东方向的我领海区域 B 处有一可疑渔 船,正在以 12 海里∕小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东 60°方向航行, 1.5 小时后,在我领海区域的 C 处截获可疑渔船.问我渔政船的航行路程是多少海里?(结 果保留根号)

25. 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 直线 y=mx 与双曲线 轴,垂足为 C,△AOC 的面积是 1. (1)求 m、n 的值; (2)求直线 AC 的解析式.

相交于 A (﹣1, a) 、 B 两点, BC⊥x

3

四、解答题(本大题共 4 小题,满分 46 分.简答时,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 26.在某项针对 18~35 岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条 数”为 m,规定:当 m≥10 时为 A 级,当 5≤m<10 时为 B 级,当 0≤m<5 时为 C 级.现随 机抽取 30 个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的 “日均发微博条数”的数据如下表: 11 10 6 15 9 16 13 12 0 8 2 8 10 17 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 (1)求样本数据中为 A 级的频率; (2)试估计 1000 个 18~35 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数; (3) 从样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人, 用列举法求抽得 2 个人的“日均发微博条数” 都是 3 的概率. 27. 某企业 2006 年盈利 1500 万元, 2008 年克服全球金融危机的不利影响, 仍实现盈利 2160 万元.从 2006 年到 2008 年,如果该企业每年盈利的年增长率相同,求: (1)该企业 2007 年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计 2009 年盈利多少万元? 28.已知:如图,在△ABC 中,BC=AC,以 BC 为直径的⊙O 与边 AB 相交于点 D,DE⊥AC,垂 足为点 E. (1)求证:点 D 是 AB 的中点; (2)判断 DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (3)若⊙O 的直径为 18,cosB= ,求 DE 的长.

29.如图,抛物线与 x 轴交于 A(﹣1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,﹣3) ,设 抛物线的顶点为 D.

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(1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标; (2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么? (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在, 请指出符合条件的点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年甘肃省庆阳市环县三中学九年级(下)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共计 36 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,将此选项的字母填入题后的括号内) 1.8 的立方根是( ) A.2 B.﹣2 C.±2 D.2 【考点】立方根. 【分析】如果一个数 x 的立方等于 a,那么 x 是 a 的立方根,根据此定义求解即可. 【解答】解:∵2 的立方等于 8, ∴8 的立方根等于 2. 故选:A. 2.下列运算中,结果正确的是( ) 4 4 8 8 2 4 3 2 A.a +a =a B.a ÷a =a C.a ?a =a5 D. (﹣2a2)3=﹣6a6 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据合并同类项,可判断 A,根据同底数幂的除法,可判断 B,根据同底数幂的乘 法,可判断 C,根据积的乘方,可判断 D. 4 4 4 【解答】解:A a +a =2a ,故 A 错误; 8 2 6 B a ÷a =a ,故 B 错误; C a3?a2=a5,故 C 正确; 2 3 6 D (﹣2a ) =﹣8a ,故 D 错误; 故选:C. 3.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据左视图是从左面看到的图判定则可. 【解答】解:左面看去得到的正方形从左往右依次是 2,1. 故选 B.

4.要把分式方程

化为整式方程,方程两边可同时乘以(



A.2x+4 B.x C.x+2 D.x(x+2) 【考点】解分式方程. 【分析】本题考查解分式方程去分母的能力,即根据各分母寻找公分母. 【解答】解:由两个分母(x+2)和 x 可得最简公分母为 x(x+2) , 所以方程两边应同时乘以 x(x+2) , 故选 D.

6

5.下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(



A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形, 以及轴对称图形的定义即可判断出. 【解答】解:第一个图形,∵此图形旋转 180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图 形,也是轴对称图形,故此选项正确; 第二个图形,∵此图形旋转 180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴 对称图形,故此选项错误; 第三个图形,此图形旋转 180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,也是轴对称图 形,故此选项正确; 第四个图形,∵此图形旋转 180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对 称图形,故此选项正确. 故选:B. 6.在平面直角坐标系中,若将抛物线 y=2x 分别向上、向右平移 2 个单位,则新抛物线的 解析式是( ) A.y=2(x﹣2)2+2 B.y=2(x+2)2﹣2 C.y=2(x﹣2)2﹣2 D.y=2(x+2)2+2 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】 易得新抛物线的顶点, 根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解 析式. 【解答】解:原抛物线的顶点为(0,0) ,分别向上、向右平移 2 个单位,那么新抛物线的 顶点为(2,2) ; 可设新抛物线的解析式为 y=2(x﹣h)2+k,代入得:y=2(x﹣2)2+2, 故选 A. 7.一条葡萄藤上结有五串葡萄,每串葡萄的粒数如图所示(单位:粒) .则这组数据的中位 数为( )
2

A.37 B.35 C.33.8 D.32 【考点】中位数. 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均 数)为中位数. 【解答】解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:28,32,35,37,37, 位于最中间的数是 35, ∴这组数的中位数是 35. 故选 B.

7

8.已知大圆的半径为 5,小圆的半径为 3,两圆圆心距为 7,则这两圆的位置关系为( A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 【考点】圆与圆的位置关系. 【分析】用两圆的圆心距和半径之和或半径之差比较即可得到两圆的位置关系. 【解答】解:∵大圆的半径为 5,小圆的半径为 3,两圆圆心距为 7, ∴5﹣3<7<5+3, 故两圆相交, 故选 C. 9.下列因式分解错误的是( ) 2 2 2 A.x ﹣y =(x+y) (x﹣y) B.x +6x+9=(x+3)2 C.x2+xy=x(x+y) 【考点】因式分解的意义. 【分析】根据公式特点判断,然后利用排除法求解. 【解答】解:A、是平方差公式,故 A 选项正确; B、是完全平方公式,故 B 选项正确; C、是提公因式法,故 C 选项正确; 2 2 2 D、 (x+y) =x +2xy+y ,故 D 选项错误; 故选:D.



D.x2+y2=(x+y)2

10.如图,矩形 ABOC 的面积为 3,反比例函数 y= 的图象过点 A,则 k=(



A.3 B.﹣1.5 C.﹣3 D.﹣6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】根据反比例函数中比例系数 k 的几何意义,得出等量关系|k|=3,求出 k 的值. 【解答】解:依题意,有|k|=3, ∴k=±3, 又∵图象位于第二象限, ∴k<0, ∴k=﹣3. 故选 C. 11. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 下列结论: ①a+b+c>0; ②a﹣b+c>0; ③abc <0;④2a+b=0.其中正确的个数为( )

8

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根 据对称轴及抛物线中自变量 x=1 及 x=﹣1 的情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【解答】解:①当 x=1 时,y=a+b+c<0,错误; ②当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c>0,正确; ③由抛物线的开口向下知 a<0,与 y 轴的交点为在 y 轴原点,c=0,对称轴为 x= a、b 同号,即 b<0,因此 abc=0,错误; ④∵对称轴为 x= 故选 A. 12.如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标为(0,3) ,M 是第 三象限内 上一点,∠BMO=120°,则⊙C 的半径长为( ) =﹣1,得 2a﹣b=0,错误; <0,

A.6 B.5 C.3 D.3 【考点】圆内接四边形的性质;坐标与图形性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB 的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°,故 可得出∠ABO 的度数,根据直角三角形的性质即可得出 AB 的长,进而得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120°, ∴∠BAO=60°, ∵AB 是⊙C 的直径, ∴∠AOB=90°, ∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°, ∵点 A 的坐标为(0,3) , ∴OA=3, ∴AB=2OA=6, ∴⊙C 的半径长= 故选:C. =3.

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二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共计 24 分.请把答案写在题中的横线上) 13.比较大小:﹣2 > ﹣3. 【考点】有理数大小比较. 【分析】本题是基础题,考查了实数大小的比较.两负数比大小,绝对值大的反而小;或者 直接想象在数轴上比较,右边的数总比左边的数大. 【解答】解:在两个负数中,绝对值大的反而小,可求出﹣2>﹣3. 故答案为:>.

14.使

在实数范围内有意义的 x 应满足的条件是 x>1 .

【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x﹣1>0,再解即可. 【解答】解:由题意得:x﹣1>0, 解得:x>1. 故答案为:x>1. 15.方程 x2﹣1=0 的解为 x1=1,x2=﹣1 . 【考点】解一元二次方程-直接开平方法. 【分析】分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 2 【解答】解:x ﹣1=0, (x+1) (x﹣1)=0, x﹣1=0,x+1=0, x1=1,x2=﹣1, 故答案为:x1=1,x2=﹣1. 16.中国航母辽宁舰的满载排水量为 67500 吨,这个数据用科学记数法表示为 6.75×104 吨. 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 67500 用科学记数法表示为:6.75×104. 故答案为:6.75×104. 17.圆心角为 30°,半径为 6 的扇形的弧长为 π 【考点】弧长的计算. 【分析】根据弧长的公式 l= 【解答】解:根据弧长的公式 l= .

,代入直接求解即可. ,得 l=π .

18.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,OD∥BC,若 OD=1,则 BC 的长为 2 .

10

【考点】三角形中位线定理;圆的认识. 【分析】首先证明 OD 是△ABC 的中位线,根据三角形的中位线定理即可求解. 【解答】解:∵OD∥BC,且 O 是 AB 的中点. ∴OD 是△ABC 的中位线. ∴BC=2OD=2. 故答案是:2.

19.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以 A、B、C 为圆心,以 AC 为半径画 弧,三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是 8﹣2π .

【考点】扇形面积的计算. 【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为 180°,根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的 面积和,而三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和,再利用三角 形的面积公式计算出 S△ABC= ?4?4=8,然后代入即可得到答案. 【解答】解:∵∠C=90°,CA=CB=4, ∴ AC=2,S△ABC= ?4?4=8, ∵三条弧所对的圆心角的和为 180°, 三个扇形的面积和= =2π ,

∴三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π . 故答案为 8﹣2π . 20.抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示,若 y>0,则 x 的取值范围是 ﹣3<x<1 .

【考点】二次函数的图象. 【分析】根据抛物线的对称轴为 x=﹣1,一个交点为(1,0) ,可推出另一交点为(﹣3,0) , 结合图象求出 y>0 时,x 的范围.

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【解答】解:根据抛物线的图象可知: 抛物线的对称轴为 x=﹣1,已知一个交点为(1,0) , 根据对称性,则另一交点为(﹣3,0) , 所以 y>0 时,x 的取值范围是﹣3<x<1. 故答案为:﹣3<x<1. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 44 分.简答时,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 21.计算:|4|+( )﹣1﹣( ﹣1)0﹣ cos45°.

【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数 5 个考 点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】解:原式=4+2﹣1﹣2 =4+2﹣1﹣2 =3. ×

22.先化简,再求值: (

+ )÷

,其中 a=﹣3,b=2.

【考点】分式的化简求值. 【分析】 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算, 再把分母因式分解后约分得到原式= 然后把 a、b 的值代入计算即可. 【解答】解:原式= ? ,

=

, =﹣ .

当 a=﹣3,b=2 时,原式=

23.如图,方格纸上的每个小方格都是边长为 1 的正方形,我们把格点间连线为边的三角形 称为“格点三角形”,图中的△ABC 就是一个格点三角形. (1)在△ABC 中,BC= 5 ,tanB= ;

(2)请在方格中画出一个格点三角形 DEF,使△DEF∽△ABC,并且△DEF 与△ABC 的相似比 为 2.

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【考点】作图—相似变换;解直角三角形. 【分析】 (1)利用网格和勾股定理可求出 BC=5,再利用解直角三角形中的角边关系可得 tanB= (2)相似三角形的性质,对应边的相似比相等,对应角相等,可以让各边长都放大到原来 的 2 倍,得到新三角形.它的位似三角形有两个. 【解答】解: (1)BC= 由图可得∠B 的正切 , 即 tanB= . =5;

(2)作图如右图.

24.如图,一天,我国一渔政船航行到 A 处时,发现正东方向的我领海区域 B 处有一可疑渔 船,正在以 12 海里∕小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东 60°方向航行, 1.5 小时后,在我领海区域的 C 处截获可疑渔船.问我渔政船的航行路程是多少海里?(结 果保留根号)

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】 首先在直角三角形 BCD 中求得 CD 的长, 然后在直角三角形 ACD 中求得 AC 的长即可.

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【解答】解:如图:作 CD⊥AB 于点 D,垂足为 D, ∵在直角三角形 BCD 中,BC=12×1.5=18 海里,∠CBD=45°, ∴CD=BC?sin45°=18× =9 海里, ×2=18 海里,

∴在直角三角形 ACD 中,AC=CD÷sin30°=9 故我渔政船航行了 18 海里.

25. 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 直线 y=mx 与双曲线 轴,垂足为 C,△AOC 的面积是 1. (1)求 m、n 的值; (2)求直线 AC 的解析式.

相交于 A (﹣1, a) 、 B 两点, BC⊥x

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)由题意,根据对称性得到 B 的横坐标为 1,确定出 C 的坐标,根据三角形 AOC 的面积求出 A 的纵坐标,确定出 A 坐标,将 A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式,即可 求出 m 与 n 的值; (2)设直线 AC 解析式为 y=kx+b,将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值,即可确定出直线 AC 的解析式. 【解答】解: (1)∵直线 y=mx 与双曲线 y= 相交于 A(﹣1,a) 、B 两点, ∴B 点横坐标为 1,即 C(1,0) , ∵△AOC 的面积为 1, ∴A(﹣1,2) , 将 A(﹣1,2)代入 y=mx,y= 可得 m=﹣2,n=﹣2;

(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, ∵y=kx+b 经过点 A(﹣1,2) 、C(1,0)

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解得 k=﹣1,b=1, ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣x+1.

四、解答题(本大题共 4 小题,满分 46 分.简答时,应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 26.在某项针对 18~35 岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条 数”为 m,规定:当 m≥10 时为 A 级,当 5≤m<10 时为 B 级,当 0≤m<5 时为 C 级.现随 机抽取 30 个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的 “日均发微博条数”的数据如下表: 11 10 6 15 9 16 13 12 0 8 2 8 10 17 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 (1)求样本数据中为 A 级的频率; (2)试估计 1000 个 18~35 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数; (3) 从样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人, 用列举法求抽得 2 个人的“日均发微博条数” 都是 3 的概率. 【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;频数与频率. 【分析】 (1)由抽取 30 个符合年龄条件的青年人中 A 级的有 15 人,即可求得样本数据中为 A 级的频率; (2)根据题意得:1000 个 18~35 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数为: 1000× =500; (3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得 2 个人的“日 均发微博条数”都是 3 的情况,再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解: (1)∵抽取 30 个符合年龄条件的青年人中 A 级的有 15 人, ∴样本数据中为 A 级的频率为: = ;

(2)1000 个 18~35 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数为:1000× =500;

(3)C 级的有:0,2,3,3 四人,

15

画树状图得:

∵共有 12 种等可能的结果,抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的有 2 种情况, ∴抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率为: = .

27. 某企业 2006 年盈利 1500 万元, 2008 年克服全球金融危机的不利影响, 仍实现盈利 2160 万元.从 2006 年到 2008 年,如果该企业每年盈利的年增长率相同,求: (1)该企业 2007 年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计 2009 年盈利多少万元? 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率) . (1)可先求出增长率,然后再求 2007 年的盈利情况. (2)有了 2008 年的盈利和增长率,求出 2009 年的就容易了. 【解答】解: (1)设每年盈利的年增长率为 x, 2 根据题意,得 1500(1+x) =2160. 解得 x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去) . ∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800. 答:2007 年该企业盈利 1800 万元. (2)2160(1+0.2)=2592. 答:预计 2009 年该企业盈利 2592 万元. 28.已知:如图,在△ABC 中,BC=AC,以 BC 为直径的⊙O 与边 AB 相交于点 D,DE⊥AC,垂 足为点 E. (1)求证:点 D 是 AB 的中点; (2)判断 DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (3)若⊙O 的直径为 18,cosB= ,求 DE 的长.

【考点】切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形. 【分析】 (1)连接 CD,由 BC 为直径可知 CD⊥AB,又 BC=AC,由等腰三角形的底边“三线合 一”证明结论;

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(2)连接 OD,则 OD 为△ABC 的中位线,OD∥AC,已知 DE⊥AC,可证 DE⊥OC,证明结论; (3)连接 CD,在 Rt△BCD 中,已知 BC=18,cosB= ,求得 BD=6,则 AD=BD=6,在 Rt△ADE 中,已知 AD=6,cosA=cosB= ,可求 AE,利用勾股定理求 DE. 【解答】 (1)证明:连接 CD, ∵BC 为⊙O 的直径,∴CD⊥AB, 又∵AC=BC, ∴AD=BD,即点 D 是 AB 的中点. (2)解:DE 是⊙O 的切线. 证明:连接 OD,则 DO 是△ABC 的中位线, ∴DO∥AC, 又∵DE⊥AC, ∴DE⊥DO 即 DE 是⊙O 的切线; (3)解:∵AC=BC,∴∠B=∠A, ∴cosB=cosA= , ∵cosB= ∴BD=6, ∴AD=6, ∵cosA= ∴AE=2, 在 Rt△AED 中,DE= . , ,BC=18,

29.如图,抛物线与 x 轴交于 A(﹣1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,﹣3) ,设 抛物线的顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标; (2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么? (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在, 请指出符合条件的点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式,进 而可用配方法或公式法求得顶点 D 的坐标. (2)根据 B、C、D 的坐标,可求得△BCD 三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股 定理即可. (3)假设存在符合条件的 P 点;首先连接 AC,根据 A、C 的坐标及(2)题所得△BDC 三边 的比例关系, 即可判断出点 O 符合 P 点的要求, 因此以 P、 A、 C 为顶点的三角形也必与△COA 相似,那么分别过 A、C 作线段 AC 的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点 P 点要求, 可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得 OP 的长,也就得到了点 P 的坐标. 2 【解答】解: (1)设该抛物线的解析式为 y=ax +bx+c, 由抛物线与 y 轴交于点 C(0,﹣3) ,可知 c=﹣3, 2 即抛物线的解析式为 y=ax +bx﹣3, 把 A(﹣1,0) 、B(3,0)代入, 得 解得 a=1,b=﹣2. ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3, ∴顶点 D 的坐标为(1,﹣4) . (2)以 B、C、D 为顶点的三角形是直角三角形, 理由如下: 过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F. 在 Rt△BOC 中,OB=3,OC=3, ∴BC2=18, 在 Rt△CDF 中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1, ∴CD2=2, 在 Rt△BDE 中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2, ∴BD2=20, 2 2 2 ∴BC +CD =BD ,故△BCD 为直角三角形. (3)连接 AC,则容易得出△COA∽△CAP,又△PCA∽△BCD,可知 Rt△COA∽Rt△BCD,得符 合条件的点为 O(0,0) . 过 A 作 AP1⊥AC 交 y 轴正半轴于 P1,可知 Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,

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求得符合条件的点为



过 C 作 CP2⊥AC 交 x 轴正半轴于 P2,可知 Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD, 求得符合条件的点为 P2(9,0) . ∴符合条件的点有三个:O(0,0) , ,P2(9,0) .

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