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南昌二中2012—2013学年度高三上学期第二次月考数学(文)试题

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南昌二中 2012—2013 学年度高三上学期第二次月考

数学(文)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.复数

1 ? 2i 的虚部是 1? i
B.

A.2i 2.函数 y ? cos 2 x在点( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ?

0 3.若 a ?

?
4

1 2

C.

1 i 2

D.

3 2

,0) 处的切线方程是
B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

4.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视 图都是矩形,则该几何体的体积为 A.6 3 C.12 3 B.9 3 D.18 3
S3 1 S ? ,则 6 等于 S6 3 S12

5.设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9

6.不等式 | x ? 3| ? | x ? 1| ≤ a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. ?1,2? C. ( ? ? , ? 1] ? [ 4, ? ? ) B. ( ? ? , ? 2] ? [5, ? ? ) D. ( ? ? , 1] ? [ 2, ? ? )

7.已知 a ? 1, b ? 2 , c ? 2a ? 3b , d ? 14a ? 5b ,若 c ? d ,则 a与b 的夹角为 A. 30
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

8.函数 y ? cos(2 x ? A.

?

4 ? 3

1 ) 定义域为 [a, b] ,值域为 [ ? ,1] ,则 b ? a 的最大值与最小值之和为 3 2 5? B. C. 2? D. ? 3

9.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正、副班长,其中至少有 1 名女生当
1

选的概率是 A.

2 7

B.

3 7

C.

4 7

D.

5 7

10.张老师给学生出了一道题,“试写一个程序框图,计算 S=1+ 如下几种做法,其中有一个是错误的,这个错误的做法是

1 1 1 1 + + + ”.发现同学们有 3 5 7 9

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11 ? 12.已知 ?

22? ,则 tana6 的值为 3




? 1? x ? y ? 3 , 则 4 x ? 2 y 的最大值是 ??1 ? x ? y ? 1
x

13.已知 f ( x) ? a ?

1 是定义在 (??, ?1] ? [1, ??) 上的奇函数, 则 f ( x ) 的值域为 2 ?1



14.“三角形的三条中线交于一点,且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍”.试类比: 四面体的四条中线(顶点到对面三角形重心的连线段)交于一点,且这一点到顶点的距离等于 它到对面重心距离的 倍. 15.关于函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ?

?
3

) ( x ? R) ,有下列命题:

(1) y ? f ( x ?

4? ) 为偶函数, 3

(2)要得到函数 g ( x) ? ?4 sin 2 x 的图像,只需将 f (x) 的图像向右平移

? 个单位, 3

(3) y ? f (x) 的图像关于直线 x ? ?

?
12

对称.

(4) y ? f (x) 在 [0,2? ] 内的增区间为 [0, 其中正确命题的序号为 .

5? 11? ] 和[ ,2? ] ; 12 12

三、解答题(共有 6 题满分 75 分)

2

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的 两个最低点间的距离为 2? 。 (Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ )若 a ? ( ?

? ?

? 1 2? , ), f (a ? ) ? ,求 sin(2a ? ) 的值。 3 2 3 3 3

17. (本小题满分 12 分)如图, DC ? 平面 ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2, ?ACB ? 120? , P,Q 分别为 AE,AB 的中点。 (Ⅰ )证明:PQ//平面 ACD; (Ⅱ )求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值。

18. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (I)设集合 P ? ?1,2,3? 和 Q ? ??1,1,2,3,4? ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b , 求函数 y ? f (x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (II)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一个大于 ?y ? 0 ?
1 ,另一个小于 1 } ,求事件 A 发生的概率。

19. (本小题满分 12 分)菱形 ABCD 的边长为 6 ,?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿
?

3

对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD (如图)点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (I)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (II)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; (Ⅲ )求 三 棱 锥 M ? A B D 体 积 . 的 A

B M O D C

20. (本小题满分 13 分)已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 ? ln ( a 为实常数) 。 x x

(Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上无极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ )已知 n ? N ? 且 n ? 3 ,求证: ln

n+1 1 1 1 1 < + + + ?? + . 3 3 4 5 n

参考答案
4

一、选择题 BDCBA CBDDC 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. ? 3 ;12.10;13. [?

3 1 1 3 , ? ) ? ( , ] 14.3;15. 2) 3) ( ( 。 2 2 2 2 ;

三、解答题(共有 6 题满分 75 分)

17. (本小题满分 12 分)如图, DC ? 平面 ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2, ?ACB ? 120? , P,Q 分别为 AE,AB 的中点。 (Ⅰ )证明:PQ//平面 ACD; (Ⅱ )求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值。 17.

2 18.解(1)∵ 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

当且仅当 a ? 0 且

2b ? 1, 即2b ? a a

若 a ? 1 则 b ? ?1 ,若 a ? 2 则 b ? ?1,1 若 a ? 3 则 b ? ?1,1 记 B ? { 函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数 } 则事件 B 包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴P ? B ? ?
5 1 ? 15 3

5

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? (2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ? ?( a, b) | ?a ? 0 ?, ? ? ? ?b ? 0 ? ?
1 ? 8 ? 8 ? 32 2 ? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? a ?b ?8 ? 0 ? ? ? ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? ? ? ? ? A 构成的区域: A ? ?? a, b ? ? 事件 ? ? ?? a, b ? ? ? b?0 ? ? b?0 ? ? ? ? ? ? f ?1? ? 0 ? ? ?a ? 4b ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
其面积 S? ? 由?

?a ? b ? 8 ? 0 31 9 ,得交点坐标为 ( , ), 5 5 ?a ? 4b ? 1 ? 0

1 1 31 961 S 961 ? S A ? ? (8 ? ) ? ? ,∴ 事件 A 发生的概率为 P( A) ? A ? 2 4 5 40 S? 1280
19.解(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , A 所以 OM // 平面 ABD . (2)证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM .
?

B M O D C

又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ? 平面 MDO . (3)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(Ⅱ )知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

1 1 3 9 3 BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 , ?ABM 的面积为 2
6

1 9 3 ? S?ABM ? OD ? 2 . 所求体积等于 3
20.解: (1)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2 ……3 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n …………5 分 (2)由(Ⅰ )可得 S n ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2

…………8 分

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所以 a2k ? a1Sk ?2 从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)
2

,即

k 2 ? 5k ? 6? 0 …………10 分
1 1 ? ln ,其定义域为 ? 0, ?? ? ; x x

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。…………13 分 21.解: (I)当 a ? 1 时, g ? x ? ? 1 ? 2 x ?

g ' ? x ? ? ?2 ?

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? ? ? , x2 x x2 x2
? ? 1? 2?
'

令 g ? x ? ? 0 ,并结合定义域知 x ? ? 0, ? ; 令 g ? x ? ? 0 ,并结合定义域知 x ? ?
'

?1 ? , ?? ? ; ?2 ?

故 g ? x ? 在 x ? ? 0, ? 时递增;在 x ? ? (II) f ' ? x ? ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 时递减。 ?2 ?

a 1 a?x ? ? 2 , x2 x x
'

① a ? 0 时, f 当

? x? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, 2? 上递减,无极值;

② a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 上递增,在 ? a, ??? 上递减,故 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值.要使 当

f ( x) 在区间 (0, 2) 上无极值,则 a ? 2 .
综上所述, a 的取值范围是 ? ??,0 ? 2, ??? . (Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? 即 f ( x) ? 1 ?

? ?

1 1 ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 0 . x x

1 1 1 1? x ? ln ? 0 ? ln ? . x x x x n n ?1 1 1 ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? , 令x? ,则 ln n ?1 n n n n ?1 ? ln ? ln(n ? 1) ? ln 3 3
7

8


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