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高三数学周末练习


高三数学周末练习
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? 2. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是 . .

2013.4.20

审核人:邓加林

3.已知集合 A ? {x | log2 x ?

1} , B ? {x | 0 ? x ? c ,其中 c ? 0} .若 A ? B ,则 c =



3 ) ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 sin 2? ? ____________ 4 5 5.已知数列 ?an ? 满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
4.已知 sin(? ?
3

?

6.为了了解高三学生的身体状况.抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如 图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1︰2︰3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的男生人数是 7.阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的结果是
频率 组距



0.0375

0.0125 50 55 60 65 70 75 体重

(第 6 题) 8.抛掷一颗骰子的点数为 a ,得到函数 f ( x) ? sin 是 .

(第 7 题)
aπ x ,则“ y ? f (x) 在[0,4]上至少有 5 个零点”的概率 3

9.若实数 a 满足 a ? t ? 1 ? t ? 2 (t ? R) 恒成立,则函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 5x ? 6) 的单调减区间为 10.已知互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? ,下列四个命题中真命题的是 (填序号)

m Al ? (1)m ? ? , l ? ? ? A, A ? m, 则 l 与 m 不共面;(2) l ? ? ,m ? ? ,l ? ? , // ,m // 若

? , ? // ? ; 则

(3) l 、m 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; (4)若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m 11.已知椭圆

???? ????? ???? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 A 在椭圆上且 AF1 ?F1F2 ? 0 , AF1 ? AF2 ? c2 ,则椭圆 2 a b 的离心率为 .

12.已知 ? 是 ?ABC 的内角,若 cos ?, ,sin ? 成等差数列,且 ?ABC 的周长为 2 ,则最大边长的最小值 为

1 2

1

13.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 9 ,且 f (0) 的值为整数,当 x ? (n, n ? 1] (n ? N * ) 时, f ( x ) 的值为 整数的个数有且只有 1 个,则 n = 14. 已知函数 f ( x) ? ? .

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的顺序排列成一个数 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 = 二.解答题 15.(本小题满分 14 分) 如图:在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, O, O1 分别是 AC 、 AC1 的中点, E 是线段 D1O 上一点, 1 1 且 D1E ? ? EO ( ? ? 0 ). (1)求证: BO1 / /平面ACE ; (2)当 ? ? 2 时,证明:平面 CDE ? 平面 CD1O . A A1 E D O B C D1 B1 C1

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴, AB 所在直线方程为

y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值 2
y A

O B C

x

2

17.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两准线间距离为 6,离心率 e ? .过椭圆上任意一点 P,作右准线的垂线 2 a b 3 ???? ???? PH(H 为垂足) ,并延长 PH 到 Q,使得 PH ? ? HQ(? >0) . F2 为该椭圆的右焦点,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) .
已知椭圆 (1)求椭圆方程; (2)当点 P 在椭圆上运动时,求 ? 的值使得点 Q 的轨迹是一个定圆.

18.(本小题满分 16 分) 如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道(季华路)修建圆形广场,其圆心为 O,半径为 100 m ,与季华路 一边所在直线 l 相切于点 M,A 为上半圆弧上一点,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 B。市园林局计划在 ?ABM 内 进行绿化,设 ?ABM 的面积为 S(单位: m )
2

(1)设 ?AON ? ? ,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为使绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值. 季
l

B


A
N

M

O



3

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1. x
(2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [m, 2m] 上的最大值;

(1)试判断函数 f ( x ) 的单调性;
?

(3) 试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(

1? n e 1? n ) ? 恒成立. n n

20.(本小题满分 16 分) 如果存在常数 a 使得数列 ?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项,称数列 ,常数 a 是它的“兑换系数”. ?an ? 为“兑换数列” (1)若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2)已知有穷等差数列 ?bn ? 的项数是 n0 (n0 ? 3) ,所有项之和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是“兑换数列” ,并 .. 用 n0 和 B 表示它的“兑换系数” ; (3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列 ?cn ? ,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数 列”?给出你的结论并说明理由.

4

高三数学周末练习(理科)
sin B 2ac 1 ? 2 15. 解: (1) 变式得: 3 解得 sin B ? ,--------------------4 分 2 2 cos B a ? c ? b 3
原式 ? sin 2

B 1 ? cos B 9?2 2 ;--------------------7 分 ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)方法一: ?AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,

? ?xOD ? ? ?

? ??

2 2 2 4 ? sin(? ? ? ) ? ? --------------------14 分 5

?

? ??

,? tan(

? ??

) ? kOD ? ?

1 1 ? ? --------------------11 分 k 2

16.(本小题满分 14 分) 如图:在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, O 、 O1 分别是 AC 、 AC1 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且 1 1

D1E ? ? EO ( ? ? 0 ).
(Ⅰ)求证: ? 取不等于 0 的任何值时都有 BO1 / /平面ACE ; (Ⅱ) ? ? 2 时,证明:平面 CDE ? 平面 CD1O . A1

D1 B1 E D A O B

C1

C

? ? 16.(1) D1O ? 平面ACE ? ? BO1 ? 平面ACE ? BO1 ? ? BO1 ? D1O

? ? DE ? CO ? DE ? 平面CD O ? ? 1 (2) D1O与CO交于O点? ? ? ? 平面CDE ? 平面CD1O DE ? 平面CDE ? ? D1O ? 平面CD1O ? CO ? 平面CD1O ? ?
17.解: (1)

DE ? D1O

∴ ? x0 ? ? ? x ? 3? ,∴ 0 ? 3? ? 3 ? ? x x 3
x0 2 y0 2 ? 3? ? 3 ? ? x ? ? 1 ,∴ 又∵ ? 3 2 3
2

x2 y2 ? ?1 ………………………………………………………6 分 3 2 ???? ???? (2)设 Q 的坐标为 ? x, y ? , H ? 3, y0 ? ,∴ ? y0 .∵ ? ? HQ ? ? ? 0 ? y PH

…………………………9 分
2

3? ? 3 ? ? ?x? 2 2 y ? ? ? ? ? y ? 1 …………12 分 ? ? 1 ,即 3 2 2

?2

当且仅当

3

?

2

? 2 ,即 ? ?

6 时, 2
5

点 Q 在定圆 x ? 3 ? 6

?

?

2

? y 2 ? 2 上. ……………………………………………15 分

18(本小题满分 14 分) 如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形广场圆心为 O,半径为 100 m ,其与季华路一边所在直线 l 相切于点 M,A 为上半圆弧上 一点,过点 A 作 l 的垂线,垂足为 B。市园林局计划在 ?ABM 内进行绿化, 设 ?ABM 的面积为 S(单位: m )
2



l

B


A
N O

(1)以 ?AON ? ? 为参数,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值。 解答: (Ⅰ)如图, BM ? AO sin ? ? 100sin ? , AB ? MO ? AO cos? ? 100 ? 100cos? ,? ? (0, ? ) . 则S ?

M



1 1 MB ? AB ? 100sin ? ? (100 ? 100cos? ) 2 2 1 ? 5000(sin? ? sin 2? ),? ? (0,? ) ???? 6 分 2

(Ⅱ) S ' ? 5000(2cos2 ? ? cos? ? 1) ? 5000(2cos? ? 1)(cos? ? 1) ,?? 8 分 令 S ' ? 0 ,得 cos? ? ,cos? ? ?1 (舍去) ,此时 ? ?

1 2

?
3

.

x
S
S
所以当 ? ?
'

(0, ) 3
+

?

?
3
0 极大值

( ,? ) 3
-

?

?
3

时, S 取得最大值 Smax ? 3750 3m2 ,此时 AB ? 150m .

答:当点 A 离路边 l 为 150 m 时,绿化面积最大,值为 3750 3m2 . 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1. x

(1)试判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [m, 2m] 上的最大值; (3) 试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln( 19.解: (1)∵ f '( x) ?
?

1 ? ln x x2

1? n e 1? n ) ? 恒成立. n n

令 f '( x) ? 0 得 1 ? ln x ? 0 ∴x?e
6

∵当 0 ? x ? e 时 f '( x) ?

1 ? ln x ? 0 ,当 x ? e 时 f '( x) ? 0 x2

∴函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减 ∴当 x ? e 时函数有最大值 f ( x) max ? f (e) ?

1 ?1 e

(2)由(1)知函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减 故①当 0 ? 2m ? e 即 0 ? m ? ∴ f ( x)max ? f (2m) =

e 时 f ( x ) 在 [m, 2m] 上单调递增 2

ln 2 m ?1 2m

②当 m ? e 时 f ( x ) 在 [m, 2m] 上单调递减

ln m ?1 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时 2 1 f ( x) max ? f (e) ? ? 1 e
∴ f ( x)max ? f (m) = (3)由(1)知当 x ? (0, ??) 时, f ( x) max ? f (e) ?

1 ?1 e ln x 1 ln x 1 ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且仅当 x ? e 时“=”成立 ∴在 (0, ??) 上恒有 f ( x) ? x e x e 1 ∴对任意的 x ? (0, ??) 恒有 ln x ? x e 1? n 1? n 1? n 1 1? n 1? n e 1? n ? 0且 ? e ∴ ln ? ? ? ln( ) ? ∵ n n n e n n n 1? n e 1? n ? ) ? 即对 ?n ? N ,不等式 ln( 恒成立. n n

20. (本小题满分 16 分) 如果存在常数 a 使得数列 ?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项,称数列 ,常数 a 是它的“兑换系数”. ?an ? 为“兑换数列” (Ⅰ)若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (Ⅱ)已知有穷等差数列 ?bn ? 的项数是 n0 (n0 ? 3) ,所有项之和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是“兑换数列” ,并用 .. ; n0 和 B 表示它的“兑换系数” (Ⅲ)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列 ?cn ? ,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数 列”?给出你的结论并说明理由.

7

20.解: (1)因为数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” 所以 a ? m, a ? 4, a ? 2, a ? 1 也是该数列的项,且 a ? m ? a ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 故 a ? m ? 1, a ? 4 ? 2 即 a ? 6, m ? 5 。 (2)设数列 ?bn ? 的公差为 d ,因为数列 ?bn ? 是项数为 n0 项的有穷等差数列 若 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn0 ,则 a ? b1 ? a ? b2 ? a ? b3 ? ? ? a ? bn0 即对数列 ?bn ? 中的任意一项 bi (1 ? i ? n0 )

a ? bi ? b1 ? (n0 ? i)d ? bn0 ?1?i ??bn ?
同理可得:若 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn0 , a ? bi ? b1 ? (n0 ? i)d ? bn0 ?1?i ??bn ? 也成立, 由“兑换数列”的定义可知,数列 ?bn ? 是 “兑换数列” ; 又因为数列 ?bn ? 所有项之和是 B ,所以 B ?

(b1 ? bn0 ) ? n0 2

?

a ? n0 2B ,即 a ? 2 n0

(3)假设存在这样的等比数列 ?cn ? ,设它的公比为 q(q ? 1) , 因为数列 ?cn ? 为递增数列,所以 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ? 则 a ? c1 ? a ? c2 ? a ? c3 ? ? ? a ? cn ? ? 又因为数列 ?cn ? 为“兑换数列” ,则 a ? ci ??cn ? (i ? 1, 2,?) ,所以 a ? ci 是正整数 故数列 ?cn ? 必为有穷数列,不妨设项数为 n 项, 则 ci ? cn?1?i ? a(1 ? i ? n) ① 若 n ? 3, 则有 c1 ? c3 ? a, c2 ?

a ,又 c22 ? c1 ? c3 ,由此得 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾; 2
n?1

② ②若 n ? 4 。由 c1 ? cn ? c2 ? cn?1 ,得 c1 ? c1q ? c1q 即 (q ?1)(1 ? q
n ?2

? c1qn?2 ? 0

) ? 0 ,故 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾;

综合①②得,不存在满足条件的数列 ?cn ? 。

8

数学(Ⅱ)附加题
21(B)已知矩阵 A ? ? 征向量为 ? 2 = ? ? .

?a ?1

b? ?3 ? ,若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ?1 = ? ? ,属于特征值 5 的一个特 4? ?-1? ?
求矩阵 A ,并写出 A 的逆矩阵.

?1? ?1?

(C) 在极坐标系中, O 为极点,求过圆 C: ? ? 6 cos(? ? 程。

?
3

) 的圆心 C 且与直线 OC 垂直的直线 l 的极坐标方

9

22. 一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过多次试验,某人投 掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ? 的数学期望 E? .

23.已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1)3 ? ... ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N * ) (1)求 a0 及 S n ?

?a ;
i ?1 i

n

(2)试比较 S n 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

10

附加题答案
1.解:由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1= ? 即 3a ? b ? 3

?3? ?a ? 可得, ?1 ??1? ?
3分

b? ? 3 ? ? 3 ? = , 4? ??1? ??1? ?? ? ? ?

?a ?1? 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2=? ?,可得 ? ?1? 1
即a ?b ? 5, 解得 ?

?

b? 4? ?

?1? ?1? ?1? =5 ?1? , ?? ??
6分 7分

?2 ?a ? 2 即 A= ? ?1 ?b ? 3

3? , 4? ?
3? ? ? 5 2 ? ? 5 ?

? 4 ? A 的逆矩阵是 ? 5 1 ?? ? 5

22. (1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. , , 则 P( A) ?

50 1 25 1 ? , P( B) ? P(C ) ? ? 100 2 100 4 1 2 1 2 1 4

3 3 因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为 P4 (3) ? C 4 ( ) (1 ? ) ?

------------------4 分 (2)两次投掷得分 ? 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: P(? ? 0) ? P(C ) P(C ) ?
1 1 1 1 P(? ? 1) ? C 2 P( B) P(C ) ? 2 ? ? ? 4 4 8
1 P(? ? 3) ? C 2 P( A) P(C ) ?
1 P(? ? 2) ? C 2 P( A) P(C ) ? P( B) P ( B) ?

1 16

5 16

1 1 ; P (? ? 4) ? P ( A) P ( A) ? 4 4
-----------------10 分

? E? ? 0 ?

1 1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 16 8 16 4 4 2

23. (1)令 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ,令 x ? 2 ,则
n 2

?a
i ?0

n

i

? 3n ,∴ S n ? 3n ? 2n ;
n 2

(2)要比较 S n 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,即比较: 3n 与 (n ? 1)2 ? 2n 的大小, 当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;当 n ? 2,3 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;
n n 2 n n 2

当 n ? 4,5 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;
n n 2

猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明:
n n 2

由上述过程可知, n ? 4 时结论成立,
11

假设当 n ? k (k ? 4) n ? k , (k ? 4) 时结论成立,即 3n ? ( n ? 1)2n ? 2n 2 ,

? 3[(k ? 1)2k ? 2k 2 ] ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ? [(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2] k 2 k 2 k 而 (k ? 3)2 ? 4k ? 4k ? 2 ? ( k ? 3)2 ? 4( k ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 2)2 ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0 k ?1 k ?1 2 ∴ 3 ? [( k ? 1) ? 1]2 ? 2( k ? 1) 即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3n ? ( n ? 1)2n ? 2n 2 成立. 综上得,当 n ? 1 时, 3n ? ( n ? 1)2n ? 2n 2 ; 当 n ? 2,3 时, 3n ? ( n ? 1)2n ? 2n 2 ;当 n ? 4, n ? N ? 时, 3n ? ( n ? 1)2n ? 2n 2
两边同乘以 3 得: 3

k ?1

12


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