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湖南师大附中10-11学年高一上学期期中考试(数学)


湖南师大附中 湖南师大附中高一年级必修一模块结业考试
数 学 试 题(试题卷) 试题卷)
时量 120 分钟 总分 100+50 分 命题:吴锦坤 审题:高一数学备课组 备课组长:吴锦坤

必考Ⅰ 必考Ⅰ部分
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1

、设集合 A = x x = 2k + 1, k ∈ Z , a = 5 ,则有(

{

}



A. a ∈ A
2、函数 y = x +

B.

?a? A


C.

{a} ∈ A

D.

{a} ? A

1 的图像关于( x
B.

A. y 轴对称

原点对称 )

C. x 轴对称

D.

直线 y = x 对称

3、函数 y = ln(2 x ? 1) 的定义域是(

A. [0, +∞) D. (1, +∞)

B. [1, +∞)

C. (0, +∞)

4、下列四组函数中,表示相等函数的一组是(



A. f ( x) = x , g ( x) = x 2
C. x2 ? 1 f ( x) = , g ( x) = x + 1 x ?1
?1

B. D.


f ( x) = x 2 , g ( x) = ( x ) 2 f ( x) = x + 1 ? x ? 1, g ( x) = x 2 ? 1

5、设 x + x

= 2 ,则 x 2 + x ?2 的值为( B. ± 2


A. 8

C. 4

D. 2

6、下列各不等式中成立的是(

A. 1.7 2.5 > 1.73 D. log 2 1.02 < 0

B. 0.8?0.1 > 0.8?0.2

C. 1.70.3 > 0.93.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.

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? x 2 + 1, x ≤ 0 ? 7、设函数 f ( x ) = ? ,则 f (100) = ??2 lg x, x > 0 ?
8、化简 (

.

16 ? 1 ) 4 的值为 81
2

.

9、如果函数 y = x ? 2ax + 6 是偶函数,则 a 的值是
x

. . . .

10、函数 y = a ( a > 1) 的定义域是 [ ?1,1] ,且最大值与最小值的差为 1 ,则 a = 11、已知集合 A = {1, 2 }, B = {a, b}, 若 A I B = { } ,则 A U B =
a

1 2

12、设 2 = 3 = 6 ,则
a b

1 1 + 的值为 a b

三.解答题:本大题共 4 小题,共 40 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13、 (满分 10 分) 设全集 U = {1, 2,3, 4} ,且集合 A = x x ? 5 x + m = 0, x ∈ U ,若 CU A = {1, 4} ,求 m
2

{

}

的值.

14、 (本大题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) (1)若 a > 0, b > 0 ,化简:

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2

1

1

1

? (4a ? 1)

(2)若 log 2 3 = a , log 5 2 = b ,试用 a, b 表示 log 2 45

15、 (满分 10 分) 某汽车销售公司以每台 10 万元的价格销售某种品牌的汽车,可售出该品牌汽车 1000 台,若将该品牌汽车每台的价格上涨 x % ,则销售量将减少 0.5 x % ,且该品牌汽车每台的 价格上涨幅度不超过 80% ,问当该品牌汽车每台的价格上涨百分之几,可使销售的总金额 最大?

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16、 (满分 10 分) 已知 f ( x ) = a ?

(1)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明之; (2)若函数的定义域为 [2, 4] ,求函数的最大值和最小值.

1 ,其中 a 为常数 2 +1
x

必考Ⅱ 必考Ⅱ部分
四、本部分共 5 个小题,满分 50 分,计入总分. 17、 (满分 6 分)函数 f ( x) = 2|log2 x| ? x ?
y y

1 的大致图像为 x
y



) .
y

1
O

1 1
x

1 1
x

1 1
x

O

O

O

(A)

(B)

(C)

1 (D)

x

18、 (满分 6 分)若函数 y = a x ? x ? a 有两个零点,则 a 的取值范围是(



A. (1, +∞)

B. (0,1)

C. (0, +∞)

D. Φ

19 、 ( 满 分

6

分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 对 任 意 的 实 数 x1 , x2 , 满 足 ,此函数

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 + x2 ) + f ( x1 ? x2 ) 且 f (0) ≠ 0 ,则 f (0) =
为 函数(填奇偶性).

20、 (满分 15 分) 设函数 f ( x ) = ( ) , x ∈ R
x

1 2

(1)请画出函数 f ( x ) 的大致图像;

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(2)若不等式 f ( x ) + f (2 x ) ≤ k 对于任意的 x ∈ R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21、(满分 17 分) 已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x | x ? a | +1( x ∈ R ) . (1)当 a = 1 时,求所有使 f ( x ) = x 成立的 x 的值; (2)当 a = 1 时,求函数 y = f ( x) 在闭区间 [0, 2] 上的最大值和最小值; (3) 试讨论函数 y = f ( x) 的图像与直线 y = a 的交点个数.

()

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湖南师大附中高一年级数学必修一模块结业考试 湖南师大附中高一年级数学必修一模块结业考试 中高一年级 试 题 卷
(开考时间:2010 年 10 月 12 日上午 8:00-10:00) 开考时间: 时间 ) 时 量:120 分钟 满 分:100 分(必考 I 部分) 命题:吴锦坤 审题:高一数学备课组 50 分(必考 II 部分) 备课组长:吴锦坤

必考Ⅰ 必考Ⅰ部分
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、设集合 A = x x = 2k + 1, k ∈ Z , a = 5 ,则有( A )

{

}

A. a ∈ A
2、函数 y = x +

B.

?a? A

C.

{a} ∈ A

D.

{a} ? A

1 的图像关于( B ) x
B.
原点对称 C )

A. y 轴对称

C. x 轴对称

D.

直线 y = x 对称

3、函数 y = ln(2 x ? 1) 的定义域是(

A. [0, +∞) D. (1, +∞)

B. [1, +∞)

C. (0, +∞)

4、下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A )

A. f ( x) = x , g ( x) = x 2
C. x2 ? 1 f ( x) = , g ( x) = x + 1 x ?1
?1

B. D.

f ( x) = x 2 , g ( x) = ( x ) 2 f ( x) = x + 1 ? x ? 1, g ( x) = x 2 ? 1

5、设 x + x

= 2 ,则 x 2 + x ?2 的值为( D ) B. ± 2 C. 4 D. 2

A. 8

6、下列各不等式中成立的是( C )

A. 1.7 2.5 > 1.73

B. 0.8?0.1 > 0.8?0.2

C. 1.70.3 > 0.93.1

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D.

log 2 1.02 < 0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.

? x 2 + 1, x ≤ 0 ? 7、设函数 f ( x ) = ? ,则 f (100) = ??2 lg x, x > 0 ?

.答案: ?4

16 ? 1 8、化简 ( ) 4 的值为 81

.答案:

3 2
答案:0 答案:

9、如果函数 y = x 2 ? 2ax + 6 是偶函数,则 a 的值是

x 10、函数 y = a ( a > 1) 的定义域是 [ ?1,1] ,且最大值与最小值的差为 1 ,则 a =

1+ 5 2
11、已知集合 A = {1, 2 a }, B = {a, b}, 若 A I B = { } ,则 A U B = 12、设 2 = 3 = 6 ,则
a b

1 2

.答案:? ?1,1, ?

? ?

1? 2?

1 1 + 的值为 a b

.答案:1

三.解答题:本大题共 4 小题,共 40 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13 、 满 分 10 分 ) 设 全 集 U = {1, 2,3, 4} , 且 集 合 A = x x ? 5 x + m = 0, x ∈ U , 若 (
2

{

}

CU A = {1, 4} ,求 m 的值.
【解析】 :因为 CU A = {1, 4} ,则 A = {2,3} …………………………3 分 ∴ 2, 3 是方程 x ? 5 x + m = 0 的两根………………………5 分
2

得 m = 6 ………………………………………………………10 分 14、 (本大题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) (1)若 a > 0, b > 0 ,化简:

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2

1

1

1

? (4a ? 1)

【解析】 (1)

(2a b ) ? (?6a b ) ?3a b
1 6 5 6

2 3

1 2

1 2

1 3

? (4a ? 1) =

2 × (?6) a ? ?3

2 1 + 3 2 1 6

?b
5 6

1 1 + 2 3

? (4a ? 1) ………2 分

a b

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= 4?

a b a b
1 6

7 6

5 6 5 6

? (4a ? 1) = 4a ? (4a ? 1) = 1 ..............................5 分

(2)若 log 2 3 = a , log 5 2 = b ,试用 a, b 表示 log 2 45 【解析】 (2)∵ log 2 45 = log 2 (5 × 9) = log 2 5 + log 2 9 = log 2 5 + 2 log 2 3 …………………2 分 而 log 5 2 = b ,则 log 2 5 = 分 ∴

1 …………………………………………………………4 b

log 2 45 = 2a +

1 2ab + 1 = …………………………………………………………5 分 b b

15、 (满分 10 分) 某汽车销售公司以每台 10 万元的价格销售某种品牌的汽车,可售出该品牌汽车 1000 台,若将该品牌汽车每台的价格上涨 x % ,则销售量将减少 0.5 x % ,且该品牌汽车每台的 价格上涨幅度不超过 80% ,当该品牌汽车每台的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最 大? 【解析】 :设该品牌每台的价格上涨 x % 时,销售总金额为 y 万元, 由题意得 y = 10 × 1000 × (1 ? 0.5 x %)(1 + x %) .................................3 分 即y=? 分 则 y=- ( x ? 50) + 11250 ..................................................7
2

1 2 x + 50 x + 10000 (0 < x ≤ 80) ......................................5 2

1 2

分 当 x = 50 时, ymax = 11250 万元. ...........................................9 分. 即 该 品 牌 汽 车 每 台 的 价 格 上 涨 大. ...........................10 分 16、 (满分 10 分)已知 f ( x ) = a ? 50% 时 , 销 售 总 金 额 最

(1)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明之; (2)若函数的定义域为 [2, 4] ,求函数的最大值和最小值. 【解析】(1)函数的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ,设 x1 < x2 : 则

1 (a ∈ R) 2 +1
x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = (a ?

1 1 1 1 2 x1 ? 2 x2 ) ? (a ? x2 ) = x2 ? x1 = x1 .....3 分 2 x1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x2 + 1)
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x1 x2

x1 < x2



2 ? 2 < 0 ....................................................4 分


f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0, f ( x1 ) < f ( x2 ) ..........................................5 分
则 函 数 在 定 义 域 数;.................................................6 分 (2)由(1)知函数是增函数 内 是 增 函

a ∴函数的最大值为: ?


1 1 , 最小值为: ? .................................10 a 17 5

必考Ⅱ 必考Ⅱ部分
四、本部分共 5 个小题,满分 50 分,计入总分. 17、 (满分 6 分)函数 f ( x) = 2|log2 x| ? x ?
y y

1 的大致图像为 x
y

( D

) .
y

1
O

1 1
x

1 1
x

1 1
x

O

O

O

1

x

(A)

(B)

(C)

(D)

18、 (满分 6 分)若函数 y = a x ? x ? a 有两个零点,则 a 的取值范围是( A )

A. (1, +∞)
19 、 ( 满 分 6

B. (0,1)

C. (0, +∞)

D. Φ

分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 对 任 意 的 实 数 x1 , x2 , 满 足 ,此函数

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = f ( x1 + x2 ) + f ( x1 ? x2 ) 且 f (0) ≠ 0 ,则 f (0) =
为 函数(填奇偶性).答案:1,偶函数

【解析】令 x1 = x2 = 0 ,可得 f (0) = 1 , 令 x1 = 0, x2 = x ,可得 f ( x ) = f ( ? x ) ,从而此函数为偶函数; 20、 (满分 15 分)设函数 f ( x ) = ( ) , x ∈ R
x

1 2

(1)请画出函数 f ( x ) 的大致图像; (2)若不等式 f ( x ) + f (2 x ) ≤ k 对于任意的 x ∈ R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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? 1 x ( ) ,x ≥0 1 x ? 2 ? 【解析】 (1)∵ f ( x) = ( ) = ? 2 ?( 1 ) ? x = 2 x , x < 0 ? 2 ?
则函数的图像如图所示;......................5 分

y 1

x

1 | x| 1 2| x| (2) f ( x ) = ( ) , f ( 2 x) = ( ) ………………………………………7 分 2 2 1 | x| 1 2| x| 对于任意 x ∈ R , ( ) + ( ) ≤ k 恒成立. 2 2 1 | x| 2 令 ( ) = t ∈ (0, 1] ,则 y = t + t ( 0 < t ≤ 1 ) ………………………9 分 2 1 对称轴 t = ? ,则当 t = 1 时, y max = 2 ,………………………………13 分 2 所以 k ≥ 2 即可. …………………………………………………………15 分
21、(满分 17 分) 已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x | x ? a | +1( x ∈ R ) . (1)当 a = 1 时,求所有使 f ( x ) = x 成立的 x 的值; (2)当 a = 1 时,求函数 y = f ( x ) 在闭区间 [0, 2] 上的最大值和最小值; (3) 试讨论函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 的交点个数. 【解析】(1) x | x ? 1 | +1 = x 所以 x = ?1 或 x = 1 ;....................................5 分

1 2 3 ? ) ,x 1 ?( x ? x 2 ? x + 1, x ≥ 1 ? ? 2 + 4 ≥ ? (2) f ( x ) = ? 2 ....................7 分 =? ? ? x + x + 1, x < 1 ? ? ( x ? 1 )2 + 5 , x < 1 ? ? 2 4 ?
结合图像可知函数的最大值为 f (2) = 3 ,最小值为 f (0) = f (1) = 1 ..............10 分 (3)因为 a > 0, 所以 a >
2

a , 2

所以 y1 = x ? ax + 1 在 [a, +∞ ) 上递增;.....................................12 分

a a y2 = ? x 2 + ax + 1 在 ( ?∞ , ) 递增,在 [ , a ) 上递减............................13 2 2
分 因为 f ( a ) = 1 ,所以当 a = 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点;
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又 f( )=

a 2

a2 a a2 1 1 + 1 ,而 f ( ) ? a = + 1 ? a = (a 2 ? 4a + 4) = (a ? 2)2 ≥ 0 , 4 2 4 4 4
上 式 等 号 成

当 且 仅 当 a=2 时 , 立.........................................15 分

所以,当 0 < a < 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 1 个交点; 当 a = 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点; 当 1 < a < 2 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 3 个交点; 当 a = 2 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点; 函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 3 个交点.................17 当 a > 2 时, 分

_________ 学号 学号____________ 姓名 姓名___________ 考场号 考场号__________ 座位号 座位号___________ … 装 …………………………………… 订 ……………………………… 线…………………………

湖南师大附中高一年级 年级必修一模块结业考试 湖南师大附中 年级 模块结业考试 答 题 卷
时量:80 分钟(必考 I 部分) 40 分钟(必考 II 部分)

必考 I 部分
(满分:100 分) 一、选择题答案(每小题 5 分,共 30 分) 题次 1 2 答案 二、填空题答案(每小题 5 分,共 30 分) 7、 9、 11、 三、解答题 13、 (满分 10 分) 解: 8、 10、 12、

必考 I 得分 分制) (100 分制)

必考 I+必考 II 得分 必考 分制) (150 分制)

3

4

5

6

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14、 (满分 10 分) (1)解:

(2)解:

15、 (满分 10 分) 解:

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16、 (满分 10 分) 解:

必考 II 部分
(满分:50 分) 一、选择题答案 题次 答案 二、填空题答案 19、 20、 (满分 15 分) 解: 17 18

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21、 (满分 17 分) 解:

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………………………… 装 …………………………………… 订 ……………………………… 线…………………………


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