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2014-2015学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科解析版)


2015 年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科解析版)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A(2,1,﹣1) ,则与点 A 关于原点对称的点 A1 的坐标为( ) A. (﹣2,﹣1,1) B. (﹣2,1,﹣1) C. (2,﹣1,1) D. (﹣2,﹣1, ﹣1) 2.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据

的众数为( )

A. 10 B. 21 C. 35 D. 46 3.已知点 A(﹣1,2) ,B(1,3) ,若直线 l 与直线 AB 平行,则直线 l 的斜率为( A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. )

4.根据如图的程序语句,当输入的 x 的值为 2 时,则执行程序后输出的结果是(



A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5.经过点(2,1) ,且倾斜角为 135°的直线方程为( ) A. x+y﹣3=0 B. x﹣y﹣1=0 C. 2x﹣y﹣3=0 D. x﹣2y=0 6.已知圆 C1:x +y +2x﹣4y+1=0,圆 C2: (x﹣3) +(y+1) =1,则这两圆的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内含
2 2 2 2

7.如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC1 与 B1C 的交点,记 = ,则 =( )

= ,

= ,

A.

+ +

B.

+

+

C.

+

+

D.





8.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则在下列条件中,一定能得到 l⊥m 的是( ) A. α∩β=l,m 与 α,β 所成角相等 B. α⊥β,l⊥α,m∥β C. l,m 与平面 α 所成角之和为 90° D. α∥β,l⊥α,m∥β 9.已知直线 l:xsinα﹣ycosα=1,其中 α 为常数且 α∈[0,2π) .有以下结论: ①直线 l 的倾斜角为 α; ②无论 α 为何值,直线 l 总与一定圆相切; ③若直线 l 与两坐标轴都相交,则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1; ④若 P(x,y)是直线 l 上的任意一点,则 x +y ≥1. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.在 Rt△ ABC 中,已知 D 是斜边 AB 上任意一点(如图①) ,沿直线 CD 将△ ABC 折成 直二面角 B﹣CD﹣A(如图②) .若折叠后 A,B 两点间的距离为 d,则下列说法正确的是 ( )
2 2

A. B. C. D.

当 CD 为 Rt△ ABC 的中线时,d 取得最小值 当 CD 为 Rt△ ABC 的角平分线时,d 取得最小值 当 CD 为 Rt△ ABC 的高线时,d 取得最小值 当 D 在 Rt△ ABC 的 AB 边上移动时,d 为定值

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(1,0,5) ,Q(1,3,4) ,则线段 PQ 的长度 为 .

12.某单位有 1200 名职工,其中年龄在 50 岁以上的有 500 人,35~50 岁的 400 人,20~ 35 岁的 300 人.为了解该单位职工的身体健康状况,现采用分层抽样的方法,从 1200 名职 工抽取一个容量为 60 的样本,则在 35~50 岁年龄段应抽取的人数为 . 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 .

14.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 12 条面对角线所在的直线中,与 A1B 所在的直线异面 而且夹角为 60°的直线有 条.

15.记空间向量

= ,

= ,

= ,其中 , , 均为单位向量.若 ⊥ ,且 与 ,

的夹角均为 θ,θ∈[0,π].有以下结论: ① ⊥( ﹣ ) ; ②直线 OC 与平面 OAB 所成角等于向量 与 + 的夹角; ③若向量 + 所在直线与平面 ABC 垂直,则 θ=60°; ④当 θ=90°时,P 为△ ABC 内(含边界)一动点,若向量 则动点 P 的轨迹为圆. 其中,正确的结论有 与 + + 夹角的余弦值为 ,

(写出所有正确结论的序号) .

三、解答题(共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (2014 秋?成都期末)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 棱 AB,A1D1,AD 的中点,求证: (Ⅰ)平面 MNP∥平面 BDD1B1; (Ⅱ)MN⊥AC.

17. (12 分) (2014 秋?成都期末)某校要调查高中二年级男生的身高情况,现从全年级男生 中随机抽取一个容量为 100 的样本.样本数据统计如表,对应的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a,b 的值; (2)用样本估计总体,若该校高中二年级男生共有 1000 人,求该年级中男生身高不低于 170cm 的人数. 身高(单位:cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175, 180) [180,185) [185,190) 人数 2 8 15 20 25 18 10 2

18. (12 分) (2014 秋?成都期末)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,向量 两垂直,| |=1,| |=2,E,F 分别为棱 BB1,BC 的中点,且 的模; ?







=0.

(Ⅰ)求向量

(Ⅱ)求直线 AA1 与平面 A1EF 所成角的正弦值.

19. (12 分) (2014 秋?成都期末)已知直线 l1:mx﹣(m+1)y﹣2=0,l2:x+2y+1=0,l3: y=x﹣2 是三条不同的直线,其中 m∈R. (Ⅰ)求证:直线 l1 恒过定点,并求出该点的坐标; (Ⅱ)若 l2,l3 的交点为圆心,2 为半径的圆 C 与直线 l1 相交于 A,B 两点,求|AB|的最 小值. 20. (13 分) (2014 秋?成都期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,△ PAB 是边长为 2 的正三 角形, 底面 ABCD 为菱形, 且平面 PAB⊥平面 ABCD, PC⊥AB, E 为 PD 上一点, 且 PD=3PE. (Ⅰ)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值; (Ⅱ)求平面 PAC 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

21. (14 分) (2014 秋?成都期末)已知点 P(0,2) ,设直线 l:y=kx+b(k,b∈R)与圆 C: x +y =4 相交于异于点 P 的 A,B 两点. (Ⅰ)若 ? =0,求 b 的值; ,且直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求直线 l 的斜率 k
2 2

(Ⅱ)若|AB|=2

的值; (Ⅲ)当|PA|?|PB|=4 时,是否存在一定圆 M,使得直线 l 与圆 M 相切?若存在,求出该圆 的标准方程;若不存在,请说明理由.

2014-2015 学年四川省成都市高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A(2,1,﹣1) ,则与点 A 关于原点对称的点 A1 的坐标为( ) A. (﹣2,﹣1,1) B. (﹣2,1,﹣1) C. (2,﹣1,1) D. (﹣2,﹣1, ﹣1) 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用关于原点对称的点的特点即可得出. 解答: 解:与点 A 关于原点对称的点 A1 的坐标为(﹣2,﹣1,1) , 故选:A. 点评: 本题考查了关于原点对称的点的特点,属于基础题. 2.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本数据的众数为( )

A. 10 B. 21 C. 35 D. 46

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 通过样本数据的茎叶图直接读出即可. 解答: 解:通过样本数据的茎叶图发现,有 3 个数据是 35,最多, 故选:C. 点评: 本题考查了样本数据的众数,考查了茎叶图,是一道基础题. 3.已知点 A(﹣1,2) ,B(1,3) ,若直线 l 与直线 AB 平行,则直线 l 的斜率为( A. ﹣2 B. 2 C. ﹣ D. )

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

直线的斜率. 直线与圆. 直接由两点坐标求得直线 AB 的斜率,再由两直线平行斜率相等得答案. 解:∵A(﹣1,2) ,B(1,3) , ,

又直线 l 与直线 AB 平行,则直线 l 的斜率为 . 故选:D. 点评: 本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式,是基础的计算题. 4.根据如图的程序语句,当输入的 x 的值为 2 时,则执行程序后输出的结果是( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序语句,可得程序的功能是计算并输出分段函数 y= 将 x=2 代入即可求值. 解答: 解:执行程序语句,可得程序的功能是计算并输出分段函数 y= 值, 故当 x=2 时,y=2×(2+1)=6. 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序与算法,正确理解程序的功能是解题的关键,属于基础题. 的 的值,

5.经过点(2,1) ,且倾斜角为 135°的直线方程为( ) A. x+y﹣3=0 B. x﹣y﹣1=0 C. 2x﹣y﹣3=0 D. x﹣2y=0 考点: 直线的点斜式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的倾斜角求出直线的斜率,代入直线的点斜式方程得答案. 解答: 解:∵直线的倾斜角为 135°, ∴直线的斜率 k=tan135°=﹣1. 又直线过点(2,1) , 由直线的点斜式可得直线方程为 y﹣1=﹣1×(x﹣2) , 即 x+y﹣3=0. 故选:A. 点评: 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了直线的点斜式方程,是基础题. 6.已知圆 C1:x +y +2x﹣4y+1=0,圆 C2: (x﹣3) +(y+1) =1,则这两圆的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内含 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准方程,分别找出两圆的圆心坐标和半径 R 与 r,利用两点间的 距离公式求出两圆心的距离 d,由 d>R+r 得到两圆的位置关系为相离. 2 2 2 2 解答: 解:由圆 C1:x +y +2x﹣4y+1=0,化为(x+1) +(y﹣2) =4,圆心 C1(﹣1,2) , R=2 圆 C2: (x﹣3) +(y+1) =1,圆心 C2(3,﹣1) ,r=1, ∴两圆心间的距离 d= =5>2+1,
2 2 2 2 2 2

∴圆 C1 和圆 C2 的位置关系是相离. 故选:B. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系及其判定,以及两点间的距离公式.圆与圆位置关系 的判定方法为:0≤d<R﹣r,两圆内含;d=R﹣r,两圆内切;R﹣r<d<R+r 时,两圆相交; d=R+r 时,两圆外切;d>R+r 时,两圆相离(d 为两圆心间的距离,R 和 r 分别为两圆的半 径) .

7.如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC1 与 B1C 的交点,记 = ,则 =( )

= ,

= ,

A.

+ +

B.

+

+

C.

+

+

D.





考点: 空间向量的加减法. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出. 解答: 解: ∴ = + , = . , ,

故选:C. 点评: 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则,属于基础题. 8.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则在下列条件中,一定能得到 l⊥m 的是( ) A. α∩β=l,m 与 α,β 所成角相等 B. α⊥β,l⊥α,m∥β C. l,m 与平面 α 所成角之和为 90° D. α∥β,l⊥α,m∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择. 解答: 解:对于 A,α∩β=l,m 与 α,β 所成角相等,当 m∥α,β 时,m∥l,得不到 l⊥m; 对于 B,α⊥β,l⊥α,得到 l∥β 或者 l?β,又 m∥β,所以 l 与 m 不一定垂直; 对于 C,l,m 与平面 α 所成角之和为 90°,当 l,m 与平面 α 都成 45°时,可能平行,故 C 错误; 对于 D,α∥β,l⊥α,得到 l⊥β,又 m∥β,所以 l⊥m; 故选 D. 点评: 本题考查了直线垂直的判断,用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理, 熟练运用相关的定理是关键,属于中档题目. 9.已知直线 l:xsinα﹣ycosα=1,其中 α 为常数且 α∈[0,2π) .有以下结论: ①直线 l 的倾斜角为 α; ②无论 α 为何值,直线 l 总与一定圆相切; ③若直线 l 与两坐标轴都相交,则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1; 2 2 ④若 P(x,y)是直线 l 上的任意一点,则 x +y ≥1. 其中正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 举例说明①错误;由点到直线的距离公式求得(0,0)到直线的距离判断②;求 出三角形面积公式,结合三角函数的有界性判断③;由②说明④正确.

解答: 解: 直线 l: xsinα﹣ycosα=1, 当 α= 命题①错误;

时, 直线方程为: x=﹣1, 直线的倾斜角为



∵坐标原点 O(0,0)到直线 xsinα﹣ycosα=1 的距离为 ∴无论 α 为何值,直线 l 总与一定圆 x +y =1 相切,命题②正确; 当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积 S= ≥1,故③正确;
2 2 2 2



∵无论 α 为何值,直线 l 总与一定圆 x +y =1 相切,∴④正确. ∴正确的命题是 3 个. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了直线的倾斜角,点与直线的关系,直线 与圆的位置关系,三角函数的值域等,是中档题. 10.在 Rt△ ABC 中,已知 D 是斜边 AB 上任意一点(如图①) ,沿直线 CD 将△ ABC 折成 直二面角 B﹣CD﹣A(如图②) .若折叠后 A,B 两点间的距离为 d,则下列说法正确的是 ( )

A. B. C. D.

当 CD 为 Rt△ ABC 的中线时,d 取得最小值 当 CD 为 Rt△ ABC 的角平分线时,d 取得最小值 当 CD 为 Rt△ ABC 的高线时,d 取得最小值 当 D 在 Rt△ ABC 的 AB 边上移动时,d 为定值

考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 过 A 作 CD 的垂线 AG, 过 B 作 CD 的延长线的垂线 BH, 设 BC=a, AC=b, ∠ACD=θ, 利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有 θ 的三角函数求得最值. 解答: 解:如图,

设 BC=a,AC=b,∠ACD=θ,则

(0

) ,

过 A 作 CD 的垂线 AG,过 B 作 CD 的延长线的垂线 BH,

∴AG=bsinθ,BH=acosθ,CG=bcosθ,CH=asinθ,则 HG=CH﹣CG=asinθ﹣bcosθ, ∴d=|AB|= = . ∴当 ,即当 CD 为 Rt△ ABC 的角平分线时,d 取得最小值. = =

故选:B. 点评: 本题考查平面与平面之间的位置关系,考查了两条异面直线上两点间的距离,运用 数学转化思想方法是解答该题的关键,是中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(1,0,5) ,Q(1,3,4) ,则线段 PQ 的长度为 . 考点: 专题: 分析: 解答: 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 直接利用空间两点间距离公式求解即可. 解:空间直角坐标系中,P(1,0,5) ,Q(1,3,4) , = .

则线段|PQ|=

故答案为: . 点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,基本知识的考查. 12.某单位有 1200 名职工,其中年龄在 50 岁以上的有 500 人,35~50 岁的 400 人,20~ 35 岁的 300 人.为了解该单位职工的身体健康状况,现采用分层抽样的方法,从 1200 名职 工抽取一个容量为 60 的样本,则在 35~50 岁年龄段应抽取的人数为 20 . 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 概率与统计. 根据题意,求出抽取样本的比例,计算抽取的人数即可. 解:根据题意,得; = ,

抽样比例是

∴在 35~50 岁年龄段应抽取的人数为 400× =20.

故答案为:20. 点评: 本题考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题目. 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 4 .

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y 的值,当 x=8 时,不满足条件 x≤4, 输出 y 的值为 4. 解答: 解:执行程序框图,可得 x=1,y=1 满足条件 x≤4,x=2,y=2 满足条件 x≤4,x=4,y=3 满足条件 x≤4,x=8,y=4 不满足条件 x≤4,输出 y 的值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,准确执行循环得到 y 的值是解题的关键,属于基 础题. 14.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 12 条面对角线所在的直线中,与 A1B 所在的直线异面 而且夹角为 60°的直线有 4 条. 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 作出正方体,利用正方体的空间结构,根据异面直线的定义进行判断 解答: 解:如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 与 A1B 异面而且夹角为 60°的有: AC,AD1,CB1,B1D1,共有 4 条. 故答案为:4.

点评: 本题考查异面直线的定义,是基础题,解题时要熟练掌握异面直线的概念.

15.记空间向量

= ,

= ,

= ,其中 , , 均为单位向量.若 ⊥ ,且 与 ,

的夹角均为 θ,θ∈[0,π].有以下结论: ① ⊥( ﹣ ) ; ②直线 OC 与平面 OAB 所成角等于向量 与 + 的夹角; ③若向量 + 所在直线与平面 ABC 垂直,则 θ=60°; ④当 θ=90°时,P 为△ ABC 内(含边界)一动点,若向量 与 + + 夹角的余弦值为 ,

则动点 P 的轨迹为圆. 其中,正确的结论有 ①③④ (写出所有正确结论的序号) . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: ① ?( ﹣ )= ②当 即可判断出正误; ③向量 + 所在直线 OD 与平面 ABC 垂直于点 D, 又 BC=AC, D 为 AB 的中点, 则 CD⊥AB, 可得 OD⊥CD,可得 AC=1=OC=OA,可得 θ=60°,即可判断出正误; ④补全正方体,对角线 OD 与平面 ABC 相交于点 M,点 M 为等边三角形的中心,可得 OM= ,OP= ,MP= .即可得出动点 P 的轨迹为圆,点 M 为圆心,MP 为半径的圆. =cosθ﹣cosθ=0,∴ ⊥( ﹣ ) ,正确; =cosθ﹣cosθ=0,可得 ⊥( ﹣ ) ;

时,直线 OC 与平面 OAB 所成角的补角等于向量 与 + 的夹角,

解答: 解:①∵ ?( ﹣ )= ②当

时,直线 OC 与平面 OAB 所成角等于向量 与 + 的夹角;当 时,直线 OC 与平面 OAB 所成角的补角等于向量 与 + 的夹角,因此

不正确; ③向量 + 所在直线 OD 与平面 ABC 垂直于点 D, 又 BC=AC, D 为 AB 的中点, 则 CD⊥AB, ∴OD⊥CD,又 OD=DA= =CD,∴AC=1=OC=OA,则 θ=60°,正确;

④当 θ=90°时,P 为△ ABC 内(含边界)一动点,补全正方体,对角线 OD 与平面 ABC 相 交于点 M,点 M 为等边三角形的中心,OM= = ,

∵向量

与 + + (即与

)的夹角的余弦值为

,∴

=





=



∴动点 P 的轨迹为圆,点 M 为圆心,MP 为半径的圆,因此正确. 其中,正确的结论有①③④. 故答案为:①③④.

点评: 本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质, 考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题(共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (2014 秋?成都期末)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 棱 AB,A1D1,AD 的中点,求证: (Ⅰ)平面 MNP∥平面 BDD1B1; (Ⅱ)MN⊥AC.

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)只要证明 MP∥BD,NP∥DD1,利用面面平行的判定定理可证; (Ⅱ)由已知容易得到 NP⊥底面 ABCD,利用射影定理,只要证明 MP⊥AC 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是棱 AB,A1D1,AD 的中点, ∴MP∥BD,NP∥DD1,

∴平面 MNP∥平面 BDD1B1; (Ⅱ)由已知,可得 NP∥DD1,又 DD1⊥底面 ABCD, ∴NP⊥底面 ABCD, ∴MN 在底面 ABCD 的射影为 MP, ∵M,N 是 AB,A1D1 的中点, ∴MP∥BD,又 BD⊥AC, ∴MP⊥AC, ∴MN⊥AC. 点评: 本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用. 17. (12 分) (2014 秋?成都期末)某校要调查高中二年级男生的身高情况,现从全年级男生 中随机抽取一个容量为 100 的样本.样本数据统计如表,对应的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a,b 的值; (2)用样本估计总体,若该校高中二年级男生共有 1000 人,求该年级中男生身高不低于 170cm 的人数. 身高(单位:cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175, 180) [180,185) [185,190) 人数 2 8 15 20 25 18 10 2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率、频数与样本容量的关系,结合频率分布直方图中小矩形的高,求出 a、b 的值; (2)求出该年级中男生身高不低于 170cm 的频率,计算对应的频数即可. 解答: 解: (1)身高在[160,165)的频率为 ∴ = =0.03,即 a=0.03; =0.25, =0.15,

身高在[170,175)的频率为 ∴ =

=0.05,即 b=0.05;

(2)该年级中男生身高不低于 170cm 的频率为 0.25+0.036×5+0.02×5+0.004×5=0.55, ∴估计该年级中男生身高不低于 170cm 的人数是 1000×0.55=550.

点评: 本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题,是基础题目.

18. (12 分) (2014 秋?成都期末)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,向量 两垂直,| |=1,| |=2,E,F 分别为棱 BB1,BC 的中点,且 的模; ?







=0.

(Ⅰ)求向量

(Ⅱ)求直线 AA1 与平面 A1EF 所成角的正弦值.

考点: 平面向量数量积的运算;直线与平面所成的角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)分别以 AC,AB,AA1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 A1(0,0,z) , 得到 ? =4﹣ =0,解出即可. , , 的坐标,设平面 A1EF 的法向量 =(x,y,z) ,得到方

(Ⅱ)分别求出

程组,求出一个 ,从而求出直线 AA1 与平面 A1EF 所成角的正弦值. 解答: 解: (Ⅰ)分别以 AC,AB,AA1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 如图示:

, ∴C(1,0,0) ,B(0,2,0) ,F(1,1,0) , 设 A1(0,0,z) ,则 E(0,2, ) ,B1(0,2,z) , ∴ =(﹣1,2,z) , =(0,2,﹣ ) ,

∴ ∴|

? |=2

=4﹣ ;

=0,解得:z=2



(Ⅱ)由(Ⅰ)得: =(1,1,﹣2

=(0,0,2 ) ,

) , ) ,

=(0,2,﹣

设平面 A1EF 的法向量 =(x,y,z) , ∴ ,令 z=2,

∴ =(3



,2) ,

设直线 AA1 与平面 A1EF 所成的角为 θ, ∴sinθ= = = .

点评: 本题考查了平面向量的数量积的运算及应用,考查了线面角问题,是一道中档题. 19. (12 分) (2014 秋?成都期末)已知直线 l1:mx﹣(m+1)y﹣2=0,l2:x+2y+1=0,l3: y=x﹣2 是三条不同的直线,其中 m∈R. (Ⅰ)求证:直线 l1 恒过定点,并求出该点的坐标; (Ⅱ)若 l2,l3 的交点为圆心,2 为半径的圆 C 与直线 l1 相交于 A,B 两点,求|AB|的最 小值. 考点: 直线与圆相交的性质;恒过定点的直线. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ) 直线 l1: mx﹣ (m+1) y﹣2=0, 可化为 m (x﹣y) ﹣ (y+2) =0, 可得 即可得出直线 l1 恒过定点,及该点的坐标; (Ⅱ)求|AB|的最小值,即求圆心到直线的距离的最大值,此时 CD⊥直线 l1. 解答: (Ⅰ)证明:直线 l1:mx﹣(m+1)y﹣2=0,可化为 m(x﹣y)﹣(y+2)=0, ∴ ,∴x=y=﹣2, ,

∴直线 l1 恒过定点 D(﹣2,﹣2) ; (Ⅱ)解:l2:x+2y+1=0,l3:y=x﹣2 联立可得交点坐标 C(1,﹣1) , 求|AB|的最小值,即求圆心到直线的距离的最大值,此时 CD⊥直线 l1, ∵|CD|= ∴|AB|的最小值为 2 =2 = . ,

点评: 本题考查直线 l1 恒过定点,考查弦长的计算,考查学生分析解决问题的能力,比较 基础. 20. (13 分) (2014 秋?成都期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,△ PAB 是边长为 2 的正三 角形, 底面 ABCD 为菱形, 且平面 PAB⊥平面 ABCD, PC⊥AB, E 为 PD 上一点, 且 PD=3PE. (Ⅰ)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值; (Ⅱ)求平面 PAC 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)建立空间坐标系,利用向量法即可求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值; (Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求平面 PAC 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦 值. 解答: 解: (I)取 AB 的中点 O,连接 PO,OC ∵△PAB 为边长为 2 的正三角形, ∴PO⊥AB 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PO?平面 PAB ∴PO⊥平面 ABCD, 又∵PC⊥AB,PO∩PC=P,PO,PC?平面 POC ∴AB⊥平面 POC 又∵OC?平面 POC ∴AB⊥OC 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间坐标系, 则 A(﹣1,0,0) ,C(0, ,0) ,P(0,0, ∵PD=3PE, ∴E( 则 则| , , ) =( ,﹣ , ) , ) ,D(﹣2, ,0) ,B(1,0,0) ,

=(2,0,0) , |= ,

则 cos<



>=

=

=﹣



即异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为



(2)设平面 PAC 的法向量为 =(x,y,z) ,

∵ ∴由

=(1,

,0) , ,即

=(0,﹣

, ,

) ,

令 z=1,则 y=1,x= 即 =( ,1,1) ,



平面 ABCD 的法向量为 =(0,0,1) , 则 cos< , >= = = ,

故平面 PAC 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为



点评: 本题主要考查异面直线所成角的求解,以及二面角的求解,建立空间坐标系,利用 向量法是解决二面角的常用方法.考查学生的运算和推理能力. 21. (14 分) (2014 秋?成都期末)已知点 P(0,2) ,设直线 l:y=kx+b(k,b∈R)与圆 C: 2 2 x +y =4 相交于异于点 P 的 A,B 两点. (Ⅰ)若 ? =0,求 b 的值; ,且直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求直线 l 的斜率 k

(Ⅱ)若|AB|=2

的值; (Ⅲ)当|PA|?|PB|=4 时,是否存在一定圆 M,使得直线 l 与圆 M 相切?若存在,求出该圆 的标准方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算. 专题: 向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 P 在圆上,且 (2)由|AB|=2 ? =0,可知直线 l 过圆心 O,由此求出 b 的值; 得另一关于 k 和 b 的等式,

得到原点 O 到直线 l 的距离,再由面积为

联立方程组求得满足条件的 k 值; (3)联立直线方程和圆的方程,化为关于 x 的一元二次方程,由|PA|?|PB|=4 得到 A,B 两 点横坐标的关系,结合根与系数的关系得到直线 l 的斜率和截距的关系,由点到直线的距离

公式求出 P 到直线 l 的距离为定值,由此可得存在一定圆 M,方程是 x +(y﹣2) =1,使 得直线 l 与圆 M 相切. 解答: 解: (Ⅰ)∵点 P(0,2)在圆 C:x +y =4 上,且直线 l:y=kx+b 与圆 C 交于 A, B 两点, 当 ? =0 时, ,
2 2

2

2

∴直线 l 过圆心 O(0,0) ,则 b=0; (Ⅱ)由题意可知,直线 l 不过原点 O,不妨设 k>0,b>0, 由|AB|=2 ,得 ,①

取 x=0,得 y=b,取 y=0,得 x=﹣ , ∴ ,② 或 k= , 或
2 2

联立①②解得:

由对称性可得满足条件的直线 l 的斜率的值为
2



(Ⅲ)联立

,消去 y,得(k +1)x +2kbx+b ﹣4=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

∵|PA|?|PB|=4,∴ ∴ =16,



即(2﹣y1) (2﹣y2)=1, ∴y1y2﹣2(y1+y2)+3=0,则(kx1+b) (kx2+b)﹣2(kx1+b+kx2+b)+3=0, 2 k x1x2+(kb﹣2k) (x1+x2)﹣4b+3=0, ∴k ?
2

+(kb﹣2b)?(﹣
2 2 2

)﹣4b+3=0.
2

化简得:化简得 k =b ﹣4b+3,即 k +1=(b﹣2) , ∴ .

∵点 P(0,2)到直线 l:y=kx+b 的距离 d=
2 2

=1,

∴存在一定圆 M,方程是 x +(y﹣2) =1,使得直线 l 与圆 M 相切.

点评: 本题考查了平面向量的应用,考查了直线与圆的位置关系,考查了定值的应用问题, 综合性强,属难题.


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