nbhkdz.com冰点文库

高数-极限-数列通项


高等数学 - 求数列通项及极限

高等数学 - 求数列通项及极限
2010-1-20 《2010 版考研数学复习指南(理工类,文登考研培训特供版) 》P33,例 1.57 1 设 x1 = 2 , xn = 2 + , n ? 2 ,求 lim x n 及 {x n } 通项 n? xn- 1

1. 求极限 lim x n (如

原书)
n?

设 lim xn = l ,由 x n = 2 +
n?

1 xn- 1

得l = 2 +
2

1 ? l l

1?

2,

又 x1 > 0 , \ xn > 2 , \ l = 1 +

2. 引入系数数列 {an }
由 xn = 2 + 得 xn- 1 2x 1 + 1 5 5x 1 + 2 12 12x 1 + 5 29 x2 = = ,x3 = = = ,x4 = , x1 2 2x 1 + 1 5 5x 1 + 2 12 29x 1 + 12 70 70x 1 + 29 169 169x 1 + 70 408 x5 = = = = , x6 = , x7 = ,… 12x 1 + 5 29 29x 1 + 12 70 70x 1 + 29 169 系数数列 { an }: 0,1,2,5,12,29,70,169,… 即 a1 ? 0 , a2 ? 1 , an ? 2an?1 ? an?2 , n ? 3 (A) a x + an xn = n + 1 1 ,n ? 2 (B) an x 1 + an - 1
1

3. 先假设 an = (an + c )bn + d
通过对一般 G.P.,A.P.的通项及求和观察,得出该假设. 则由(A)式 an ? 2an?1 ? an?2 得 (an + c)bn + d = 轾 (2an + 2c - 2a )bn - 1 + 2d + 轾 (an + c - 2a )bn - 2 + d 臌 臌 即 nbn - 2a (b2 - 2b - 1) + c (b2 - 2b - 1) + 2a (b + 1) - 2d = 0 分析上式,因为 n 是任意正整数且 b > 0 ,要使上式恒成立,则 祆 镲 b2 - 2b - 1 = 0 b = 1+ 2 镲 镲 镲 镲 a= 0 ? a 0 眄 镲 镲 镲 d= 0 d= 0 镲 镲 铑 \ an = cbn ,其中 b = 1 + 2 ,显然 c 系数不能使 a1 ? 0 , a2 ? 1 .

4. 构造 {un }使得 un = an + ban + 1
注意到(A)式 an ? 2an?1 ? an?2 具有齐次性,所以如此构造 {un }. {un }仍然满足(A)式 un ? 2un?1 ? un?2 ,所以假设 u n = cbn . 且 u1 = a1 + ba2 = 0 + b ?1

b = cb1 ,取 c = 1
-1-

高等数学 - 求数列通项及极限

于是 an + ban + 1 = b ,其中 b = 1 +

n

2.

5. 错位相加减求 {an }通项
注意到《同步新课堂.高一数学.上.2001》P196 例 1 及《2010 版考研数学复习指南(理工类,文登考研培训特供版) 》P34,例 1.58(2), 对 sn =
n

?

(ai + c )bi 通过 (sn - bsn ) 求 s n ,受其启发.

i= 1

(1) 式: a1 + ba2 = b 薮 (1) 式 b0得 (1')式: a1 + ba2 = b
(2) 式: a 2 + ba 3 = b2 (3) 式: a 3 + ba 4 = b3
M

薮 (2) 式 b1得 (2 ') 式: ba 2 + b2a 3 = b 3 薮 (3) 式 b2得 (3 ') 式: b2a 3 + b 3a 4 = b5

(n - 1)式:an - 1 + ban = bn - 1 ? (n 1)式? bn - 2得(n (1') - (2') + (3') + L + (- 1)n (n - 1')得
3 a1 + (- 1) bn - 1an = b - b 3 + b5 + 4 L + (- 1) b2n -4 1444444444444 2 444444444444 3 共(n - 1)项 n n

1')式:bn - 2an - 1 + bn - 1an = b2n - 3
(C)

当 n 为奇数 9 5 + b5 + b42 +4444444444 L + b 2n - 3 - (b3 + b7 + b11 + L + b2n - 3 ) (C)式右边 = b 1444444444 1444444444442 444444444443 n- 1
共 2 项 共 n- 1 2 n- 1 项 2

= b
=

1 - (b4 )

n- 1 2

1 - b4

- b

1 - (b4 ) 3

1 - b4

b (b2n - b2n - 2 - b2 + 1) 1 - b4 当 n 为偶数 9 3 + b5 + b42 +4444444444 L + b 2n - 3 - (b3 + b7 + b11 + L + b2n - 5 ) (C)式右边 = b 1444444444 1444444444442 444444444443 n
共 项 2 共 n- 2 项 2

- b 1 - b4 1 - b4 b = (- b2n + b2n - 2 - b2 + 1) 1 - b4 故无论 n 奇偶,由(C)式及 a1 ? 0 得 b n (- 1) bn - 1an = (- (- 1)n b2n + (- 1)n b2n - 2 - b2 + 1) ,整理得 1 - b4 1 轾 n an = 2 bn + (- 1) b- n + 2 ,其中 b = 1 + 2 臌 b +1

= b

1 - (b4 )2

n

1 - (b4 ) 3

n- 2 2

(D)

6. 求 {x n }通项 将系数数列 { an }即(D)式,代入 {x n } 即(B)得 (bx 1 + 1)b2n + 1 - (- 1)n (x 1 - b)b2 an + 1x 1 + an ,b = 1 + 2 , n ? 1 xn = = an x 1 + a n - 1 (bx 1 + 1)b2n + (- 1)n (x 1 - b)b3
-2-

(E)

高等数学 - 求数列通项及极限

7. 讨论 x 1 取值与 x n 及 lim x n 的关系
n?

7.1. x 1 ~ x n 图像中与 n 无关的不动点
当 x 1 - b = 0 即 x 1 = b = 1 + 2 时, x n ? b 1 + 2 . 1 1 = 1- 2 . 当 bx 1 + 1 = 0 即 x 1 = - = 1 - 2 时, x n ? b b 1 话说原书用以求极限的 l = 2 + 的两个解正是 1 ± 2 . l

7.2. x 1 ~ x n 图像的竖直渐近线
根据使得 x n (即(E)式)分母不为零的条件,讨论 x 1 取值范围. 当 n = 1 代入(E)得 x 1 . 1 骣 b2 + 1 ÷ n ÷, 当 n ? 2 时,令 x n 分母为零,则 x 1 = - ?? ?1 (- 1) 2n - 2 n ÷ b ? b + (- 1) ÷ 桫 记 vn = -

1 骣 b2 + 1 ÷ n ? ÷, ??1 (- 1) 2n - 2 n ÷ b ? b + (- 1) ÷ 桫 {vn }表示当 n ? 2 时,使 x n 分母为零的 x 1 取值,即 x 1 取不到的值.
n 0 -0.1 2 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 3 4 5

v(n)

-0.9 -1

7.2.1. 当 n 为奇数, n ? 3 1 骣 b2 + 1 ÷ 1 1 骣 b2 + 1 ÷ odd ? ? ,记 vn = - ??1 vn = - ??1 ÷< ÷, b ? b b ? 桫 b2n - 2 - 1÷ 桫 b2n - 2 - 1÷
odd 易知 {vn }单调递增有上界,

轹b 1÷ 轹1 odd odd odd lim vn ? ê , ? ê ,1 - 2 ÷ ,即 vn ,即 vn . ÷ 2 ÷ ÷ n? ? ê ê 1- b b? ? 2 ? 7.2.2. 当 n 为偶数, n ? 2 1 骣 b2 + 1 ÷ 1 1 骣 b2 + 1 ÷ even ? ? vn = - ??1 ÷> - ,记 vn = - ??1 ÷, b ? b b ? 桫 b2n - 2 + 1÷ 桫 b2n - 2 + 1÷
odd odd v3 ? vn

-3-

高等数学 - 求数列通项及极限

易知 {v

even n

}单调递减有下界,

纟1 even even even even even ? (1 2, 0ù ? ? , 0ú,即 vn ,即 vn lim vn < vn ? v2 ú ? ?. n? è b ú ? 7.2.3. 当 n 为正整数, n ? 2 轹1 1 纟 1 轹1 ?? , 0 ,即 vn ? ê ,1 - 2 ÷ ? (1 2, 0ù 综上, vn ? 犏 , - ÷ ÷ ÷ ú ? ? ? 犏 ê b 臌2 b? ? 2 even odd 竖直渐近线: x1 = vn ( n 为奇数, n ? 3 ) , x 1 = vn ( n 为偶数, n ? 2 )

7.3. x 1 ~ x n 图像的水平渐近线
b2n - (- 1) b2n - (- 1) 由(E)式 lim x n = 2n - 1 ,记 hn = 2n - 1 , n n x1 ? b + (- 1) b b + (- 1) b {hn }表示当 n ? 2 时, x n 取不到的值. 注意到当 x 1 ? 时的 x n ,与当 x 1 = 2 时的 x n - 1 完全相同. 1 ? x 2 2 + = 2 ,而 x 2 = 2 时的 x n 就是 x 1 = 2 时的 x n - 1 . 这是因为 x 1 ? x1
因此水平渐近线的极限 lim lim x n = b
n? x1 ?

n

n

(

)

n 骣 b2n - (- 1) b2 + 1 n ÷ ? ÷. hn = 2n - 1 = b ?1 - (- 1) 2n n n 2÷ ? b + (- 1) b b + (- 1) b ÷ 桫 7.3.1. 当 n 为奇数, n ? 3 骣 b2 + 1 ÷ 骣 b2 + 1 ÷ odd ? hn = b ?1 + 2n 1+ ÷< b ,记 hn = b ? ÷, ? ? ? 桫 b - b2 ÷ 桫 b2n - b2 ÷

odd 易知 {hn }单调递减有下界,

5 纟5 纟 odd odd odd odd odd lim hn < hn ? h3 ? ? b, ú,即 hn ? ? 1 2, ú. ,即 hn ? ? n? è 2ú è 2ú ? ? 7.3.2. 当 n 为偶数, n ? 2 骣 b2 + 1 ÷ 骣 b2 + 1 ÷ even ? ,记 hn = b ? 1 - 2n > b h = b 1÷ ÷, ? ? n ? ? 桫 b + b2 ÷ 桫 b2n + b2 ÷ even 易知 {hn }单调递增有上界, 轹 12 轹 12 even even even even even ? ê , b÷ ? ê ,1 2÷ ,即 hn ,即 hn . h2 ? hn lim hn ÷ ÷ n? ? ê5 ? ê5 ? ? 7.3.3. 当 n 为正整数, n ? 2 轹 12 轹 12 5 纟5 纟 ? b, ú,即 hn ? ê ,1 2÷ ?? 1 2, ú 综上, hn 稳ê , b÷ ÷ ÷ ? ? ? è ú ú ê5 ? è 2 ? ê5 2? ? ?
even odd 水平渐近线: x n = hn ( n 为奇数, n ? 3 ) , x 1 = vn ( n 为偶数, n ? 2 )

7.4. x 1 ~ x n 图像
骣 1 1÷ x 1 ~ x n 图像的两个不动点 ? - ,, (b, b) ,即 (1 - 2,1 - 2 ), (1 + ? 桫 b b÷ 如同力学中的“铰” ,随着 n 增大, x 1 ~ x n 曲线绕着此两铰转动.
-4-

2,1 +

2) ,

高等数学 - 求数列通项及极限

7.4.1. 当 n 为奇数, n ? 3
x(n_odd)

7

5

3 “铰” 1 “铰” -1 x(1)

-3 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

{vnodd }单调递增有上界, vnodd
7.4.2. 当 n 为偶数, n ? 2
x(n_even)
12 10 8 6 4 2 “铰” -1 -0.5 0 0

轹1 ? ê ,1 - 2 ÷ ? 随着 n 增大,竖直渐近线右移. ÷ ? ê ? 2 even even ? (1 2, 0ù {vn }单调递减有下界, vn ú ?? 随着 n 增大,水平渐近线下移.

“铰” x(1) 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2 -4 -6 -8

{hnodd }单调递减有下界, hnodd

纟 ? ? 1 ? è

5 2, ú ? 随着 n 增大,竖直渐近线左移. 2ú ?
-5-

高等数学 - 求数列通项及极限
even even ? ê ,1 {hn }单调递增有上界, hn

轹 12 ê ?5

2÷ ? 随着 n 增大,水平渐近线上移. ÷ ?

7.5. x1 ~ lim xn 图像
n?

4

3

lim(x(n))

2

“铰”

1 x(1) 0 “铰” -1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

注: 当 x 1 取 {vn }中的某个数 vk , 则对应 x n 为 ? (分母为 0) , 于是 x n + 1 = 2 + 故仍然有 lim xn = b . 当且仅当 x 1 = n?

1 = 2, xn

1 1 1 时, - ? {vn }, lim x n = - . 于是 n? b b b

í 1 ? ? b, x 1 ? ? b ,其中 b = 1 + lim x n = ? ì n? ? 1 1 ? - , x1 = ? ? b ? b

2 ,-

1 = 1b

2

-6-

高等数学 - 求数列通项及极限

7.6. n ~ x n 图像
b= n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.414213562 x(n),由递推, x(n),由递推, 小数 分数 2 2/1 2.5 5/2 2.4 12/5 2.416666667 29/12 2.413793103 70/29 2.414285714 169/70 2.414201183 408/169 2.414215686 985/408 2.414213198 2378/985 2.414213625 5741/2378 2.414213552 13860/5741 2.414213564 33461/13860 2.414213562 80782/33461 2.414213562 195025/80782 2.414213562 470832/195025 2.414213562 1136689/470832 2.414213562 2744210/1136689 2.414213562 6625109/2744210 2.414213562 15994428/6625109 a(n), a(n), 由递推 由通项 0 0 1 1 2 2 5 5 12 12 29 29 70 70 169 169 408 408 985 985 2378 2378 5741 5741 13860 13860 33461 33461 80782 80782 195025 195025 470832 470832 1136689 1136689 2744210 2744210 x(n), 由通项 2 2.5 2.4 2.416666667 2.413793103 2.414285714 2.414201183 2.414215686 2.414213198 2.414213625 2.414213552 2.414213564 2.414213562 2.414213562 2.414213562 2.414213562 2.414213562 2.414213562 2.414213562 y(n) -19.6172 18.93342 -18.1527 17.38972 -16.6237 15.85825 -15.0927 14.32713 -13.5616 12.79603 -12.0305 11.26493 -10.4994 9.733819 -8.96828 8.202686 -7.43635 6.672776 -5.90274

10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 1

a(n)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

n ~ x n 图像作图:

为转化作对数坐标,构造 {y n }. 要求当 x n > b , n 为偶数, y n > 0 . 要求当 x n < b , n 为奇数, y n < 0 . n n n yn = (- 1) lg 轾 (- 1) (xn - b) + (- 1) ?20 臌
-7-

高等数学 - 求数列通项及极限

? xn b + (- 1) ?10(- 1) yn - 20 ? x b + sign (y ) ?10 y - 20 绘图横标: n . 绘图纵标: y n . 纵标标注:在纵标 0 处标 b . 在 y ( y ? 0 )对应处标 x , 如在纵标 20 处标 b + 100 ,在纵标 15 处标 b + 10- 5 ,在纵标 10 处标 b + 10- 10 ,在纵 标 5 处标 b + 10- 15 , 在纵标-5 处标 b - 10- 15 ,在纵标-10 处标 b - 10- 10 ,在纵标-15 处标 b - 10- 5 ,在纵标-20 处标 b - 100 .
b+10^0 b+10^(-5) b+10^(-10) b+10^(-15) b
x(n)

n

n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

b-10^(-15) b-10^(-10) b-10^(-5) b-10^0

-8-


高数-极限-数列通项

高数-极限-数列通项_数学_高中教育_教育专区。高等数学 - 求数列通项及极限 高等数学 - 求数列通项及极限 2010-1-20 《2010 版考研数学复习指南(理工类,文登...

高等数学极限方法总结

高等数学极限方法总结_理学_高等教育_教育专区。摘要:数列极限的求法一直是数列...通项之后这 样就能变成 1 的形式; (3) 的 0 次方, 0 1 的无穷次方,...

高数中求极限的16种方法

通项之后 这样就能变成 1 中的形式了 3 0 的 0 次方 1 的无穷次方 无穷...函数与数列极限的强化... 22页 7下载券 高数中求极限的16中方法 9页 免费...

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.2数列的极限

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.2数列极限_理学_高等教育_教育专区。高等...f(n)称为一般项或通项. 对于一个数列,我们感兴趣的是当 n 无限增大时,xn...

高等数学-极限与连续公式概念

高等数学-极限与连续公式概念_理学_高等教育_教育专区。极限与连续 ? ?数列有界...?数列极限存在与否、极限是什么,与数列前面的有限项无关,只与后面的无穷多项有...

高数-极限求解方法与技巧总结

高数-极限求解方法与技巧总结_理学_高等教育_教育专区。超级详细的总结了极限的求...k ? 2 k ln k 1 的原函 x ln x n 分析:本题给出的是数列通项,...

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

2.极限分为函数极限数列极限,其中函数极限又分为 x ? ? 时函数的极限和 ...通(i)“ 1 ? 项之后,就能变成(i)中的形式了。即 f ( x) g ( x) ?...

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

通项之后 这样就能变成 1 中的形式了 3 0 的 0 次方 1 的无穷次方 无穷...这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ,放缩和扩大。 7 等比等差数列...

高数中求极限的十六种方法

高数中求极限的十六种方法 假如高等数学是棵树木的...所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋近情况 下...通项之后,这样就能变成 1 中的形式了 ③ 0 的 ...

2015考研数学 高等数学求极限的16个方法汇总

2015考研数学 高等数学极限的16个方法汇总_研究生...极限分为一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限...通项之后这样就 能变成第一种的形式了;0 的 0 ...