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高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计

时间:2012-11-09


高中数学必修 5《1.1.1 正弦定理》教学设计
一、教学内容分析
“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书· 数学(必修 5) 》 (人教版)第一章 第一节的主要内容,它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,也是三角函数 一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用, 是解可转化为三角形计算问 题的其它数学问题及生产、 生活实际问题的重要工具, 因此具有广泛的应用价值。 为什么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的? 还有别的证法吗?这些都是教材没有回答,而确实又是学生所关心的问题。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时,其主要任务是引入并证明正弦定理,在课 型上属于“定理教学课”。 因此, 做好“正弦定理”的教学, 不仅能复习巩固旧知识, 使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且通过对定理的探 究,能使学生体验到数学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问题 等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容,在必修 4 中,又学习了三角函数的 基础知识和平面向量的有关内容,对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成 初步的知识框架, 这不仅是学习正弦定理的认知基础,同时又是突破定理证明障 碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一, 《课 程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程,并能运用它解决一些实际问题, 可以使学生进一步了解数学在实际中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣,也 为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想
培养学生学会学习、 学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改 革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不 是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就 是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习 经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得 的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生

的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵循这个原则而进行 设计。

四、教学目标
1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦定理 的内容及其证明方法。 2、过程与方法:让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对 角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明,由特殊到一般得到正弦定理 等方法,体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、 合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境。

五、教学重点与难点
重点:正弦定理的发现和推导 难点:正弦定理的推导 教学准备:制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。

六、教学过程设计
(一)设置情境
教师:展示情景图如图 1,船从港口 B 航行到港口 C,测得 BC 的距离为, 船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行,由于船员的疏忽没有测得 CA 距离,如 果船上有测角仪我们能否计算出 A、B 的距离?

学生:思考提出测量角 A,C。 教师:若已知测得 , ,如何计算 A、B 两地距离?

师生共同回忆解直角三角形,①直角三角形中,已知两边,可以求第三边及 两个角。②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。 教师引导: 是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算 AB 呢? BC 于 D(如图 2) ,把 分为两

学生: (思考交流)得出过点 A 作 AD

个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。

解:过点 A 作 AD BC 于 D 在中,



中,

教师继续引导:在上述问题中,若 AC=b,AB=c,能否用 B、b、C 表示 c 呢? 学生:发现,

,

教师:引导 ,在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什么?

学生:发现即然有

,那么也有





教师:引导





,我们习惯写成对称形式





,因此我们可以发现

,是否任意三角形都有这种边角关系呢? 设计意图:兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一 半。因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生 的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一 般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养 学生创造性思维能力。

(二)数学实验,验证猜想

教师:给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验 是否成立,举出特例。 (1)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为 , , ,对应的边长 a:b:

c 为 1: 1: 1, 对应角的正弦值分别为





, 引导学生考察





的关系。 (学生回答它们相等) (2) 、在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为 , , ,对应的边长 a:b:

c 为 1:1:

,对应角的正弦值分别为

, ,

,1; (学生回答它们相等) , ,对应的边长 a:b:

(3) 、在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 分别为

c 为 1:

:2,对应角的正弦值分别为



,1。 (学生回答它们相等) (图

3)

教师:对于

呢?

学生:思考交流得出,如图 4,在 RtABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,

则有



,又,



从而在直角三角形 ABC 中,

教师:那么任意三角形是否有

呢?

借助于电脑与多媒体,利用《几何画板》软件,演示正弦定理教学课件。边演示 边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

结论:

对于任意三角形都成立。

设计意图:通过《几何画板》软件的演示,使学生对结论的认识从感性逐步上升 到理性。

(三)证明猜想,得出定理
师生活动: 教师:我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何用数

学的思想方法证明

呢?前面探索过程对我们有没有启发?学

生分组讨论,每组派一个代表总结。 (以下证明过程,根据学生回答情况进行叙 述) 学生:思考得出

(1)在

中,

成立,如前面检验。

(2)在锐角三角形中,如图 5 设 BC=a,CA=b,AB=c

作:

,垂足为 D



中,



中,

同理,在

中,

(3)在钝角三角形中,如图 6 设 BC 的延长线于 D

为钝角,BC=a,CA=b,AB=c,作





中,



中,

同锐角三角形证明可知:

教师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的

正弦的比相等,即 教师:还有其它证明方法吗? 学生:思考得出,分析图形(图 7) ,对于任意△ ABC,由初中所学过的面积公 式可以得出: ,

而由图中可以看出:





=

=

等式

中均除以



可得







教师边分析边引导学生,同时板书证明过程。 在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 ,

三角形的面积:

,能否得到新面积公式

学生:

得到三角形面积公式 设计意图: 经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证 猜想,力图让学生体验数学的学习过程。

(四)利用定理,解决引例
师生活动: 教师:现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生:马上得出



中,

(五)了解解三角形概念
设计意图:让学生了解解三角形概念,形成知识的完整性。 教师:一般地,把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形 的元素,已知,三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图:利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知识,新的定理, 解决问题更方便,更简单,激发学生不断探索新知识的欲望。

(六)运用定理,解决例题
师生活动: 教师:引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生:讨论正弦定理可以解决的问题类型: (1)如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和另两边,如

; (2)如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另两角,如

。 师生:例 1 的处理,先让学生思考回答解题思路,教师板书,让学生思考主要是 突出主体,教师板书的目的是规范解题步骤。 例 1:在 中,已知 , , ,解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边,求其他元素”,第一步可由三角形内角和为 求出第三个角∠C,再由正弦定理求其他两边。 例 2:在 中,已知 , , ,解三角形。

例 2 的处理, 目的是让学生掌握分类讨论的数学思想,可先让中等学生讲解解题 思路,其他同学补充交流。 学生:反馈练习(教科书第 5 页的练习) 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。 设计意图:自己解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生体验到成功的愉 悦感,变“要我学”为“我要学”,“我要研究”的主动学习。

(七)尝试小结:
教师:提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生:思考交流,归纳总结。 师生:让学生尝试小结,教师及时补充,要体现: (1)正弦定理的内容( )及其证明思想方法。

(2)正弦定理的应用范围:①已知三角形中两角及一边,求其他元素;②已知 三角形中两边和其中一边所对的角,求其他元素。 (3)分类讨论的数学思想。 设计意图:通过学生的总结,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

(八)作业设计
作业:第 10 页[习题 1.1]A 组第 1、2 题。


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