河北省保定市第三中学2015-2016学年高一数学4月月考试题

保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高一数学试题
考试时间 120 分钟、分值 150 分 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．在△ABC 中,已知 ?A ? 30? , AB ? 3 ， BC ? 1 ，则 AC 的长为（ A. 2 B. 1 C. 2 或 1 D. 4
sin b B 2 , 则 cos B 的值为

）

2．已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 sin A ? a A．

3 2

B．

1 2

C． ?

1 2

D． ?

3 2

（

）

3．设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和，已知 a2 ? 3 ， a6 ? 11 ，则 S7 等于 A、13 C、49 D、63 4．两个等差数列的前 n 项和之比为 5n ? 10 ，则它们的第 7 项之比为（ ） 2n ? 1 A．2 B．3 C． 45 13 D． 70
27

（

）

B、35

5．在 ?ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，若 A＝ 60 0 ， a ? 3 ， b ? c ? 3 ，则 ?ABC 的面 积为 A.
3 4

（ B.
3 2

）

C. 3

D.2

6．在 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且

b 2 ? a 2 ? bc, A ?
D. ? 或 3?
4 4

?

C ?（ 6 ，则内角

）

? A. 6

?
B. 4

3? C. 4

7．已知单调递增的等比数列 {an } 中， a2 ? a6 =16 ， a3 +a5 =10 ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n ? A. 2n ? 2 ?

1 4

B. 2n ?1 ?

8．设平面向量 m ? ? ?1, 2 ? , n ? ? 2, b ? ，若 m / / n ，则 m ? n 等于（ A． 5 B． 10 C． 13

??

?

1 2

C. 2n ? 1

D. 2n +1 ? 2

（ ）

）

??

?

?? ?

D． 3 5

9 ． 等 比 数 列 {an} 的 各 项 为 正 数 ， 且 a5a6 ＋ a4a7 ＝ 18 ， 则 log3a1 ＋ log3a2 ＋ … ＋ log3a10 等 于 （ ） A．12 B．10 C．8 D．2＋log35

1

10．等比数列 {a n } 中，对任意 n ? N * ， a1 +a 2 + ??? +a n =2n ? 1 ，则 a12 +a 2 2 + ??? +a n 2 等于 A． 2n -1

?

?

2

B．

(2 n ? 1) 2 3

C． 4 n ? 1

D．

4n ? 1 3

（

）

11．在 ?ABC 中， B ?

π ，则 sin A ? sin C 的最 大值是 4

（

）

A．

1? 2 4

B．

3 4

C．

2 2

D．

2? 2 4

* 12．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的 m，n∈N 都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? a1 a2 a3 a2008

A．

4016 2009

B．

2008 2009

C．

2007 1004

D．

2007 2008

（

）

第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．如图，在 ?ABC 中， ?B ? 45? , D 是 BC 边上一点，

A

AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ，则 AB 的长为

B

D

C

? ? 14．3．在△ABC 中， ?ABC＝120?，BA＝2，BC＝3，D，E 是线段 AC 的三等分点，则BD·BE的值 为 ．
y

15． 各项都是正数的等比数列 ?an ?的公比q ? 1，且a2 , 则

1 a3 , a1 成等差数列， 2

2-1 O 3π 8

7π 8

x

a3 ? a4 的值为_________. a4 ? a5

- 2-1

16．已知函数 f ( x) ? a sin?? x ? ? ? ? b 的部分图象如下图 ,其中 ? ? 0, ? ?
C A, B 所对的边, cos C ? f ( )+1 ,则 ?ABC 的面积 S = 2

π , a , b 分别是 ? ABC 的角 2

.

三、解答题(写明解题过程，否则不给分，共 70 分) 17． （本小题满分 10 分）已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n 2 , ( n ? N *) ． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）若数 {bn } 是等比数列，公比为 q( q ? 0) 且 b1 ? S1 ’

b4 ? a2 ? a3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ．

18． （本小题满分 12）在 ?ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 2a cos C ? 2b ? c （1）求角 A 的大小； （2）若 a ? 21 ， b ? 4 ，求边 c 的大小． 19． （本小题满分 12 分）设平面内的向量 点 P 在直线 OM 上，且 ． ， ， ，

2

（1）求

的坐标； （2）求∠APB 的余弦值； （3）设 t∈R，求

的最小值．

20 ． （本 小题 12 分） . 已 知 A 、 B 、 C 分 别为 △ ABC 的三 边 a 、 b 、 c 所对的 角，向 量

m ? (sin A, sin B) ， n ? (cosB, cos A) ，且 m ? n ? sin 2C .
（1）求角 C 的大小； （2）若 a ， c ， b 成等差数列，且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ，求边 c 的长.

21． （本小题 12 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ， 数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) （Ⅰ） 求数列 {an } 的通项 an ； （Ⅱ ） 求数列 {bn } 的通项 bn ； （Ⅲ） 若 cn ? ? n ? 1 ,2 ,3 ,?? ． 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ．

an ? bn ， n

22． （本小题 12 分） 已知 函数 f ( x) ? x 2 ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) ， n =1， 2，3，…． （1）求数列 ?a n ? 的通项公式； （2）令 bn ? 3an ? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数）, 问是否存在非零整数 ? , 使得对任意正整数 n ， 都有 bn?1 ? bn ？ 若存在, 求出 ? 的值 , 若不存在 , 请说明理由．

3

保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高一数学参考答案 1 ． C 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A 即

1 ? 3 ? AC 2 ? 2 ? 3 ?
考点：余弦定理

3 AC ，解得 AC ? 2 或 1 2
?

sin a b ? 2 ，所以 sin ? ? sin ， 2．C【解析】试题分析：由正弦定理得： ，因为 sin ? ? ? sin ? sin ? 2 a b

所

以

? 2 sin 2

? c o? s 2
2

? ， sin 2

因

为

sin

? ?0 2

，

所

以

cos

? 1 ? 2 2

，

所

以

cos ? ? 2 cos 2

? 1 ?1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ，故选 C． 2 2 2 ? ?

考点：1、正弦定理；2、倍角公式． 3 ． C. 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 等 差 数 列 的 求 和 公 式 即 性 质 ， 得

S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7 ? 14 ? ? ? 49 . 考点：等差数列. 2 2 2
前

4 ．【 答 案 】 B 【 解 析 】 设 这 两 个 数 列 的

n 项 和 分 别 为 Sn , Tn ， 则

1 3a1( ? a 1 3 ) S1 3 1 3 ? a2 7 a 75 ? 1 ? 3 1 0 2 ? ? ? ? ? 3 ，故选 B． 1 3 b ( ? b ) T1 3 ? b2 7 b 7 ? 2 ? 1 3 1 1 1 3 1 3 2
考点：1、等差数列的前 n 项和；2、等差数列的性质． 5 ． B 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 由 余 弦 定 理 得

cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? 3 3 1 ? ? ? 1 ? ? bc ? 2 ， 故 ?ABC 的 面 积 为 2bc 2bc bc 2

1 3 考点：解三角形 bc sin A ? 2 2

b2 ? c2 ? a2 6 ． B. 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 在 ?ABC 中 ， 应 用 余 弦 定 理 得 cos A ? ，即 2bc
3 b2 ? c2 ? a2 ，所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ，又因为 b 2 ? a 2 ? bc ，所以 c 2 ? bc ? 3bc ， ? 2 2bc
所以 c ? ( 3 ? 1)b ， a ? 考点：余弦定理的应用. 7．B.【解析】试题分析：∵ a2 ? a6 =16 ，a3 +a5 =10 ，∴ a3 ? a5 =16 ，a3 +a5 =10 ，∴ a3 ? 2 ，a5 ? 8 ，

2 ? 3 b ，所以 cos C ?

? b2 ? a2 ? c2 2 ，所以 C ? . 故应选 B. ? 4 2ab 2

4

1 (1 ? 2n ) 1 1 2 ∴ q ? 2 ， a1 ? ，∴ S n ? ? 2n ?1 ? ，故选 B. 1? 2 2 2 考点：等比数列的性质及其前 n 项和. ?? ? ? ? 8． 【答案】D 【解析】若 m / / n ，那么 - 1 ? b ? 2 ? 2 ，解得 b ? ?4 ，那么 m ? n ? ?? 3,6? ，所以

? ? m?n ?

?? 3?2 ? 6 2

? 3 5 ，故选 D．

考点：平面向量的坐标运算 9．B【解析】由等比数列的性质可知：a5a6＝a4a7＝ a3a8＝…＝a1a10， ∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，∴a1a10＝9. 5 ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·a3·…·a10）＝log3（a1a10） ＝10. 10．D【解析】试 题分析：由题可知，当 n ? 1 时， a1 ? 1 ，当 n ? 2 时， a1 ? a2 ? 3, a2 ? 2 ，则公
2 比 q ? 2 ，因此等比数列 ?an ?是首项为 1，公比为 2 的等比数列，即等比数列 an 是首项为 1，公比

? ?

为 4 的等比数列， a12 +a 2 2 + ??? +a n 2 ? 11 ． D 【 解

1 ? 4n 4n ? 1 ? 考点：数列求和 1? 4 3 。
析 】 试 题 分 析 ：

sin A sin C ? sin A sin(? ? A ? B)

? sin A sin(

3? ? A) 4

? sin A(

2 2 cos A ? sin A) 2 2

?

3? ? ? 5? 2 2 2 1 ? 2 ， ∵0 ? A ? ， ∴ ? ? 2 A? ? ， sin 2 A ? cos 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4

∴当 2 A ?

?
4

?

?
2

时， sin A sin C 取得最大值

2? 2 .考点：三角函数的最值. 4

12．A【解析】试题分析：先有赋值法得到， an?1 ? an ? n ? 1 再用叠加法求出 an ? 进而得到

n(n ? 1) ， 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ，由裂项求法可得最后的结果 an n(n ? 1) n n ?1

考点：掌握叠加法和裂项求和的方法 13 ．

AC 2 ? CD 2 ? AD 2 11 5 6 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 在 ?ACD 中 ， cos C ? ， ? 2 2 AC ? CD 14
AC AB 5 3 ， 在 ?ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 得 ? 14 sin B sin C

? sin C ? 1 ? cos 2 C ?

AB ?

AC ? s i n C 5 6 .考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用. ? s i nB 2

5

14 ． 【答案】

??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? 11 2??? 【 解 析 】 BD ? BA ? AD ? BA ? AC ? BA ? ( BC ? BA) ? BA ? BC ， 同 理 9 3 3 3 3

? ??? ? 2 ??? ? 2 5 ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ??? 5 2 11 BE ? BA ? BC ， BD ? BE ? BA ? BA ? BC ? BC ? ? 22 ? ? 2 ? 3 ? cos120? ? ? 32 ? . 9 9 9 9 9 9 9 3 3 考点：向量的运算，向量的数量积.
15．

5 -1 【 解析】设{an}的公比为 q（q＞0） ， 2
2

由 a3=a2+a1，得 q ﹣q﹣1=0，解得 q=

．∴则

= =

．故答案为

5 -1 2 .

10 【解析】由图可知，函数的最大值为 a ? b ? 2 ? 1 ，最小值为 ?a ? b ? ? 2 ? 1 ， 5 T 7? 3? ? 可解得 a ? 2, b ? 1 ，又 ? ? ? ?T ? ? , ? ? 2 ，即 f ( x) ? 2 sin ? 2x ? ? ? ? 1 ，由图可得， 2 8 8 2
16． 【答案】
f( 3? 3? π ? ? ? ? 3? ? ) ? 2 sin ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1? sin ? ? ? ? ? 1? ? ? ,?? ? ? . 8 8 2 4 ? ? ? 4 ?

?? ? 即 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
C ?? ? 又 cos C ? f ( )+1=f ( x) ? 2 sin ? C ? ? ? sin C ? cos C ? 2cos C ? sin C ? 4cos 2 C ? sin 2 C 2 4? ?

结合 cos 2 C ? sin 2 C ? 1 可得 sin C ?
y 2-1 O 3π 8 7π 8

2 5 1 10 ? S ? ab sin C ? 5 2 5

x

- 2-1

考点：正弦函数的图像和性质，三角形面积公式 17． （1） an ? 2n ? 1 ; （2） Tn ?

3 n (2 ? 1) 2

【解析】 （1）∵数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n 2 , ( n ? N *) ， ∴当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? 2n ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ， 又当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 3 ，满足上式 ， an ? 2n ? 1 ( n ? N *) （2）由（1）可知 a1 ? S1 ? 3 ， a2 ? 5, a3 ? 7 ， 又 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,? b2 ? 3, b4 ? 12 .

6

又数列 {bn } 是公比为正数等比数列 ∴ q 2 ?

b 3 b4 ? 4 ,又 q ? 0 ? q ? 2,? b1 ? 2 ? b2 q 2

3 n b1 (1 ? qn ) 2 (1 ? 2 ) 3 n ∴数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? ? ? (2 ? 1) 1? q 1? 2 2
考点：等差、等比数列的性质与求和，错位相减法。 18． （1） A ?

? ;（2） c ? 5 ． 3

【解析】 （1）因为 2a cos C ? 2b ? c ，所以

2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C ? 2 sin? A ? C ? ? sin C
? 2(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin C
4分

即 sin C ? 2 cos A sin C ，又因为 0 ? C ? ? ，所以 sin C ? 0 ，所以 cos A ? 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

? ． 3

1 ， 2

6分

（2） 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ，即 21 ? 16 ? c 2 ? 4c 所以 c 2 ? 4c ? 5 ? 0 ，解得 c ? ?1 （舍） ，c ? 5 ． 考点：1．解三角形；2．正弦定理；3．余弦定理． 19．解： （1）∵点 P 在直线 OM 上，设 ∴ ∴ ∴ （2） ． ， ， ，

10 分．

，解得

，

∴

．

（3） ∴ 当 t=2 时， （ +t

， =2（t﹣2） +2． ） 取得最小值 2，∴
2 2

的最小值为

．

考点：平面向量 数量积的运算；平面向量的坐标运算． 20 ． 解 （ 1 ） m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 在 △ ABC 中 ， 由 于

s i n A? ( B) ? s i C n

，

? m ? n ? sin C.

又

? m ? n ? sin 2C

，

7

? sin 2C ? sin C,
此C ?

2sinCcosC ? sin C

又 sin C ? 0 ，所以 cos C ?

1 ，而 0 ? C ? ? ，因 2

?
3

．

（2）由 a ， c ， b 成等差数列，得 2c ? a ? b. 即 ab cos C ? 18 ，由（1）知 cos C ?

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18，

1 ，所以 ab ? 36 . 2

2 2 2 2 由余弦弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab，

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36,

? c 2 ? 36 ，? c ? 6.
2分 3分

21 试题解析： （Ⅰ）∵ S n ? 2 n ,∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) ． ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) ．
1?1 当 n ? 1 时， 2 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ，∴ an ? ?

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

4分

（Ⅱ）∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ， b3 ? b2 ? 3 ， b4 ? b3 ? 5 ， bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ， 以上各式相加得 bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ∵ b1 ? ?1 ， ∴ bn ? n 2 ? 2n ． （Ⅲ）由题意得 cn ? ?

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 ． 2
8分

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 ， ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ， ∴ ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
2 3 n?1

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n ? (n ? 2) ? 2 ? 1? 2
n

= 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 ，
n n n

∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n ．

12 分

2 22.试题解析： （1）设 f ( x) ? 0 ， x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n ;所以 an ? n

（2） bn ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? ? 2n ，若存在 ? ? 0 ，满足 bn ?1 ? bn 恒成立

8

n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 即： 3n?1 ? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n ， ( ) n ?1 ? ? ?? ?1 当 n 为奇数时， ( )

3 2

3 2

n ?1 ? ?? ? ? ? ? 当 n 为偶数时， ( )

3 2

3 2

所以 ?

3 ? ? ? 1 ，故： ? ? ?1 2

9