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河北省保定市第三中学2015-2016学年高一数学4月月考试题


保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高一数学试题
考试时间 120 分钟、分值 150 分 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,已知 ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 ,则 AC 的长为( A. 2 B. 1 C. 2 或 1 D. 4
sin b B 2 , 则 cos B 的值为

/>


2.已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 sin A ? a A.

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2





3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A、13 C、49 D、63 4.两个等差数列的前 n 项和之比为 5n ? 10 ,则它们的第 7 项之比为( ) 2n ? 1 A.2 B.3 C. 45 13 D. 70
27





B、35

5.在 ?ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A= 60 0 , a ? 3 , b ? c ? 3 ,则 ?ABC 的面 积为 A.
3 4

( B.
3 2



C. 3

D.2

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

b 2 ? a 2 ? bc, A ?
D. ? 或 3?
4 4

?

C ?( 6 ,则内角



? A. 6

?
B. 4

3? C. 4

7.已知单调递增的等比数列 {an } 中, a2 ? a6 =16 , a3 +a5 =10 ,则数列 {an } 的前 n 项和 S n ? A. 2n ? 2 ?

1 4

B. 2n ?1 ?

8.设平面向量 m ? ? ?1, 2 ? , n ? ? 2, b ? ,若 m / / n ,则 m ? n 等于( A. 5 B. 10 C. 13

??

?

1 2

C. 2n ? 1

D. 2n +1 ? 2

( )



??

?

?? ?

D. 3 5

9 . 等 比 数 列 {an} 的 各 项 为 正 数 , 且 a5a6 + a4a7 = 18 , 则 log3a1 + log3a2 + … + log3a10 等 于 ( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35

1

10.等比数列 {a n } 中,对任意 n ? N * , a1 +a 2 + ??? +a n =2n ? 1 ,则 a12 +a 2 2 + ??? +a n 2 等于 A. 2n -1

?

?

2

B.

(2 n ? 1) 2 3

C. 4 n ? 1

D.

4n ? 1 3





11.在 ?ABC 中, B ?

π ,则 sin A ? sin C 的最 大值是 4





A.

1? 2 4

B.

3 4

C.

2 2

D.

2? 2 4

* 12.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有:am+n=am+an+mn,则 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? a1 a2 a3 a2008

A.

4016 2009

B.

2008 2009

C.

2007 1004

D.

2007 2008





第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , D 是 BC 边上一点,

A

AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB 的长为

B

D

C

? ? 14.3.在△ABC 中, ?ABC=120?,BA=2,BC=3,D,E 是线段 AC 的三等分点,则BD·BE的值 为 .
y

15. 各项都是正数的等比数列 ?an ?的公比q ? 1,且a2 , 则

1 a3 , a1 成等差数列, 2

2-1 O 3π 8

7π 8

x

a3 ? a4 的值为_________. a4 ? a5

- 2-1

16.已知函数 f ( x) ? a sin?? x ? ? ? ? b 的部分图象如下图 ,其中 ? ? 0, ? ?
C A, B 所对的边, cos C ? f ( )+1 ,则 ?ABC 的面积 S = 2

π , a , b 分别是 ? ABC 的角 2

.

三、解答题(写明解题过程,否则不给分,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n 2 , ( n ? N *) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数 {bn } 是等比数列,公比为 q( q ? 0) 且 b1 ? S1 ’

b4 ? a2 ? a3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12)在 ?ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2a cos C ? 2b ? c (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 21 , b ? 4 ,求边 c 的大小. 19. (本小题满分 12 分)设平面内的向量 点 P 在直线 OM 上,且 . , , ,

2

(1)求

的坐标; (2)求∠APB 的余弦值; (3)设 t∈R,求

的最小值.

20 . (本 小题 12 分) . 已 知 A 、 B 、 C 分 别为 △ ABC 的三 边 a 、 b 、 c 所对的 角,向 量

m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) ,且 m ? n ? sin 2C .
(1)求角 C 的大小; (2)若 a , c , b 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求边 c 的长.

21. (本小题 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n , 数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ ) 求数列 {bn } 的通项 bn ; (Ⅲ) 若 cn ? ? n ? 1 ,2 ,3 ,?? . 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

an ? bn , n

22. (本小题 12 分) 已知 函数 f ( x) ? x 2 ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) , n =1, 2,3,…. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)令 bn ? 3an ? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数), 问是否存在非零整数 ? , 使得对任意正整数 n , 都有 bn?1 ? bn ? 若存在, 求出 ? 的值 , 若不存在 , 请说明理由.

3

保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高一数学参考答案 1 . C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A 即

1 ? 3 ? AC 2 ? 2 ? 3 ?
考点:余弦定理

3 AC ,解得 AC ? 2 或 1 2
?

sin a b ? 2 ,所以 sin ? ? sin , 2.C【解析】试题分析:由正弦定理得: ,因为 sin ? ? ? sin ? sin ? 2 a b





? 2 sin 2

? c o? s 2
2

? , sin 2





sin

? ?0 2







cos

? 1 ? 2 2







cos ? ? 2 cos 2

? 1 ?1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ,故选 C. 2 2 2 ? ?

考点:1、正弦定理;2、倍角公式. 3 . C. 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 等 差 数 列 的 求 和 公 式 即 性 质 , 得

S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7 ? 14 ? ? ? 49 . 考点:等差数列. 2 2 2


4 .【 答 案 】 B 【 解 析 】 设 这 两 个 数 列 的

n 项 和 分 别 为 Sn , Tn , 则

1 3a1( ? a 1 3 ) S1 3 1 3 ? a2 7 a 75 ? 1 ? 3 1 0 2 ? ? ? ? ? 3 ,故选 B. 1 3 b ( ? b ) T1 3 ? b2 7 b 7 ? 2 ? 1 3 1 1 1 3 1 3 2
考点:1、等差数列的前 n 项和;2、等差数列的性质. 5 . B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 得

cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c) 2 ? 2bc ? 3 3 1 ? ? ? 1 ? ? bc ? 2 , 故 ?ABC 的 面 积 为 2bc 2bc bc 2

1 3 考点:解三角形 bc sin A ? 2 2

b2 ? c2 ? a2 6 . B. 【 解 析 】 试 题 分 析 : 在 ?ABC 中 , 应 用 余 弦 定 理 得 cos A ? ,即 2bc
3 b2 ? c2 ? a2 ,所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,又因为 b 2 ? a 2 ? bc ,所以 c 2 ? bc ? 3bc , ? 2 2bc
所以 c ? ( 3 ? 1)b , a ? 考点:余弦定理的应用. 7.B.【解析】试题分析:∵ a2 ? a6 =16 ,a3 +a5 =10 ,∴ a3 ? a5 =16 ,a3 +a5 =10 ,∴ a3 ? 2 ,a5 ? 8 ,

2 ? 3 b ,所以 cos C ?

? b2 ? a2 ? c2 2 ,所以 C ? . 故应选 B. ? 4 2ab 2

4

1 (1 ? 2n ) 1 1 2 ∴ q ? 2 , a1 ? ,∴ S n ? ? 2n ?1 ? ,故选 B. 1? 2 2 2 考点:等比数列的性质及其前 n 项和. ?? ? ? ? 8. 【答案】D 【解析】若 m / / n ,那么 - 1 ? b ? 2 ? 2 ,解得 b ? ?4 ,那么 m ? n ? ?? 3,6? ,所以

? ? m?n ?

?? 3?2 ? 6 2

? 3 5 ,故选 D.

考点:平面向量的坐标运算 9.B【解析】由等比数列的性质可知:a5a6=a4a7= a3a8=…=a1a10, ∴a5a6+a4a7=2a1a10=18,∴a1a10=9. 5 ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·a3·…·a10)=log3(a1a10) =10. 10.D【解析】试 题分析:由题可知,当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 3, a2 ? 2 ,则公
2 比 q ? 2 ,因此等比数列 ?an ?是首项为 1,公比为 2 的等比数列,即等比数列 an 是首项为 1,公比

? ?

为 4 的等比数列, a12 +a 2 2 + ??? +a n 2 ? 11 . D 【 解

1 ? 4n 4n ? 1 ? 考点:数列求和 1? 4 3 。
析 】 试 题 分 析 :

sin A sin C ? sin A sin(? ? A ? B)

? sin A sin(

3? ? A) 4

? sin A(

2 2 cos A ? sin A) 2 2

?

3? ? ? 5? 2 2 2 1 ? 2 , ∵0 ? A ? , ∴ ? ? 2 A? ? , sin 2 A ? cos 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4

∴当 2 A ?

?
4

?

?
2

时, sin A sin C 取得最大值

2? 2 .考点:三角函数的最值. 4

12.A【解析】试题分析:先有赋值法得到, an?1 ? an ? n ? 1 再用叠加法求出 an ? 进而得到

n(n ? 1) , 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ,由裂项求法可得最后的结果 an n(n ? 1) n n ?1

考点:掌握叠加法和裂项求和的方法 13 .

AC 2 ? CD 2 ? AD 2 11 5 6 【 解 析 】 试 题 分 析 : 在 ?ACD 中 , cos C ? , ? 2 2 AC ? CD 14
AC AB 5 3 , 在 ?ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得 , 得 ? 14 sin B sin C

? sin C ? 1 ? cos 2 C ?

AB ?

AC ? s i n C 5 6 .考点:1、正弦定理的应用;2、余弦定理的应用. ? s i nB 2

5

14 . 【答案】

??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? 11 2??? 【 解 析 】 BD ? BA ? AD ? BA ? AC ? BA ? ( BC ? BA) ? BA ? BC , 同 理 9 3 3 3 3

? ??? ? 2 ??? ? 2 5 ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ??? 5 2 11 BE ? BA ? BC , BD ? BE ? BA ? BA ? BC ? BC ? ? 22 ? ? 2 ? 3 ? cos120? ? ? 32 ? . 9 9 9 9 9 9 9 3 3 考点:向量的运算,向量的数量积.
15.

5 -1 【 解析】设{an}的公比为 q(q>0) , 2
2

由 a3=a2+a1,得 q ﹣q﹣1=0,解得 q=

.∴则

= =

.故答案为

5 -1 2 .

10 【解析】由图可知,函数的最大值为 a ? b ? 2 ? 1 ,最小值为 ?a ? b ? ? 2 ? 1 , 5 T 7? 3? ? 可解得 a ? 2, b ? 1 ,又 ? ? ? ?T ? ? , ? ? 2 ,即 f ( x) ? 2 sin ? 2x ? ? ? ? 1 ,由图可得, 2 8 8 2
16. 【答案】
f( 3? 3? π ? ? ? ? 3? ? ) ? 2 sin ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1? sin ? ? ? ? ? 1? ? ? ,?? ? ? . 8 8 2 4 ? ? ? 4 ?

?? ? 即 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
C ?? ? 又 cos C ? f ( )+1=f ( x) ? 2 sin ? C ? ? ? sin C ? cos C ? 2cos C ? sin C ? 4cos 2 C ? sin 2 C 2 4? ?

结合 cos 2 C ? sin 2 C ? 1 可得 sin C ?
y 2-1 O 3π 8 7π 8

2 5 1 10 ? S ? ab sin C ? 5 2 5

x

- 2-1

考点:正弦函数的图像和性质,三角形面积公式 17. (1) an ? 2n ? 1 ; (2) Tn ?

3 n (2 ? 1) 2

【解析】 (1)∵数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n 2 , ( n ? N *) , ∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? 2n ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , 又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,满足上式 , an ? 2n ? 1 ( n ? N *) (2)由(1)可知 a1 ? S1 ? 3 , a2 ? 5, a3 ? 7 , 又 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,? b2 ? 3, b4 ? 12 .

6

又数列 {bn } 是公比为正数等比数列 ∴ q 2 ?

b 3 b4 ? 4 ,又 q ? 0 ? q ? 2,? b1 ? 2 ? b2 q 2

3 n b1 (1 ? qn ) 2 (1 ? 2 ) 3 n ∴数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? ? ? (2 ? 1) 1? q 1? 2 2
考点:等差、等比数列的性质与求和,错位相减法。 18. (1) A ?

? ;(2) c ? 5 . 3

【解析】 (1)因为 2a cos C ? 2b ? c ,所以

2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C ? 2 sin? A ? C ? ? sin C
? 2(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin C
4分

即 sin C ? 2 cos A sin C ,又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos A ? 又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

? . 3

1 , 2

6分

(2) 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 21 ? 16 ? c 2 ? 4c 所以 c 2 ? 4c ? 5 ? 0 ,解得 c ? ?1 (舍) ,c ? 5 . 考点:1.解三角形;2.正弦定理;3.余弦定理. 19.解: (1)∵点 P 在直线 OM 上,设 ∴ ∴ ∴ (2) . , , ,

10 分.

,解得







(3) ∴ 当 t=2 时, ( +t

, =2(t﹣2) +2. ) 取得最小值 2,∴
2 2

的最小值为



考点:平面向量 数量积的运算;平面向量的坐标运算. 20 . 解 ( 1 ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 在 △ ABC 中 , 由 于

s i n A? ( B) ? s i C n



? m ? n ? sin C.



? m ? n ? sin 2C



7

? sin 2C ? sin C,
此C ?

2sinCcosC ? sin C

又 sin C ? 0 ,所以 cos C ?

1 ,而 0 ? C ? ? ,因 2

?
3



(2)由 a , c , b 成等差数列,得 2c ? a ? b. 即 ab cos C ? 18 ,由(1)知 cos C ?

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,

1 ,所以 ab ? 36 . 2

2 2 2 2 由余弦弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36,

? c 2 ? 36 ,? c ? 6.
2分 3分

21 试题解析: (Ⅰ)∵ S n ? 2 n ,∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) . ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .
1?1 当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,∴ an ? ?

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

4分

(Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 , bn ? bn?1 ? 2n ? 3 , 以上各式相加得 bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ∵ b1 ? ?1 , ∴ bn ? n 2 ? 2n . (Ⅲ)由题意得 cn ? ?

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2
8分

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2
2 3 n?1

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n ? (n ? 2) ? 2 ? 1? 2
n

= 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 ,
n n n

∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .

12 分

2 22.试题解析: (1)设 f ( x) ? 0 , x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n ;所以 an ? n

(2) bn ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? ? 2n ,若存在 ? ? 0 ,满足 bn ?1 ? bn 恒成立

8

n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 即: 3n?1 ? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n , ( ) n ?1 ? ? ?? ?1 当 n 为奇数时, ( )

3 2

3 2

n ?1 ? ?? ? ? ? ? 当 n 为偶数时, ( )

3 2

3 2

所以 ?

3 ? ? ? 1 ,故: ? ? ?1 2

9


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