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高一第一学期期中考试数学试卷2


广外外校 2012---2013 学年度第一学期期中考试 高一年级 数学试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出得四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

1.集合 A ? {-, 1 0}, B ? {0,1}, C ? {1, 2},则(A ? B) ? C =(
A {-1,0,1,2}

2. 函数 f ? x ? ? B {0,1,2} ) C {1}

) . D ?

3x 2 ? lg ?3x ? 1? 的定义域为( 1? x
1? 3?
x

A. ? ??, ? ?
2

? ?

B. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

C. ? ? ,1?

? 1 ? ? 3 ?

D. ? ? , ?? ? )

? 1 ? 3

? ?

3. 函数 y=(a -1) 在(-∞,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是( A.|a|>1
3

B.|a|>2

C.a> 2 (

D.1<|a|< 2 )

4.方程 x ? x ? 3 ? 0 的实数解落在的区间是 A. [1, 2] 5. 函数 f ? x ? ? B. [0,1] C. [?1, 0] )

D. [2,3]

4x ? 1 的图象( 2x

A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 6.下列四类函数中,满足性质“对任意的 x>0,y>0,有 f(x+y)=f(x)f(y)成立”的是( (A)幂函数 (B)指数函数 (C)对数函数 (D)余弦函数 7.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 A. a ? b ? c
0.3



, c ? 0.3

0.2

,则 a, b, c 三者的大小关系是( D. c ? b ? a



B. b ? a ? c
2

C. b ? c ? a
2

?x , x ? 0 ; x2 8.已知函数 f (x) ?| x | ,在① y ? x ,② y ? ( x) ,③ y ? ,④ y ? ? 中与 f (x) 为 x ??x, x ? 0 .
同一函数的函数的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

x 9. 已知 f ( x) ? a , g ( x) ? log a x(a > 0且a ? 1) ,若 f (1) ? g (2) ? 0 ,那么 f ( x ) 与 g ( x) 在同一坐标

系内的图像可能是(



10.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足: 对任意 x1,x2 ??0,+?? (x1 ? x2 ) 的, 有

f (x 2 )-f(x1 ) <0 , 则 ( x2 -x1



高一年级数学试卷,共 6 页,第 1 页

A. f(5)<f(-3)<f(1) C. f(-3)<f(1)<f(5)

B. f(1)<f(-3)<f(5) D. f(5)<f(1)<f(-3)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11. 27 +lg4+2lg5=__________
2 3

(x≥5) ?x ? 5 12. 已知 f (x) = ? ,则 f (3) = ? f (x ? 4) (x<5)
13. y ? lg (x 2 -4x-5) 的单调递减区间是_____________。

.

14. ? ( x), g ( x) 都是奇函数,f(x)= a? ( x) ? bg ( x) +2 在(0,+ ? )上有最大值 5,则 f(x)在(- ? ,0) 上的最小值为 ________ . 三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1) 求 A ? B , ?C R A? ? B ; (2) 若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 16. (本小题满分 12 分)
x ,-1 ? x ? 1 已知 f ( x) ? ? ? 2 ?- x +2, x<-1,x ? 1

y

(1)画出函数 f ( x) 的图像并说出 f ( x) 的单调区间 (2)讨论关于 x 的方程 f(x)=a 的解的个数 17. (本小题满分 12 分)

1

2

x

设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 减 函 数 , 且 f (0)=3 , f (3)=-1 , 设 P ? ?x | -1 , ?f ( x + t ? ) ?3

Q ? ?x | f ( x) ? ?1? , P ? Q ? P ;求实数 t 的取值范围。
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数, f ( x) 在 R 上总为增函数; (2)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域 19. (本小题满分 14 分)

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已知函数 f(x)=x +2x.二次函数 g(x)过原点,在 R 上的最大值为 1,且满足 g(1-x)=g(1+x) (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 20.(本小题满分 14 分) 研究发现:某种特别物质的温度 y 随时间 x 的变化规律是: y ? m ? 2x ? 21? x ( x ? 0, m ? 0) (1)如果 m=2,求经过多少时间温度为 5 摄氏度? (2)若该物质的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围。

2

高一年级 数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 BCDAD 6-10 BCACA

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11、11 12、2 13、 ? -?, -1? 14、 -1

三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1) 求 A ? B , ?C R A? ? B ; (2) 若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 解: (1) A ? B = x 2<x <10

?

?

? CR A? ? B = ? x 2<x <3,7 ? x<10?
(2)?C ? ? A ? B? 若 C =? 若C ? ? 综上: a ? 3 16. (本小题满分 12 分)
x ,-1 ? x ? 1 已知 f ( x) ? ? ? 2 ?- x +2, x<-1,x ? 1

则 a ? 5-a ? a ?

5 2

y

5-a ? 2 则? ?a ?3 ? a ? 10 ?

1

2

x

(1)画出函数 f ( x) 的图像并说出 f ( x) 的单调区间

高一年级数学试卷,共 6 页,第 3 页

(2)讨论关于 x 的方程 f(x)=a 的解的个数 解: (1)图略 (2)若 a >1 方程无解 若 a =1或a <0 有 2 解 若 0<a <1 有 4 解 若 a =0 有 3 解 17. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 减 函 数 , 且 f (0)=3 , f (3)=-1 , 设 P ? ?x | -1 , ?f ( x + t ? ) ?3

Q ? ?x | f ( x) ? ?1? , P ? Q ? P ;求实数 t 的取值范围。
解: P:f(3)=-1<f(x+t)<3=f(0) ? 0<x+t<3 ? -t <x<3-t

Q:f(x) <-1=f(3) ? x>3 ? P ? Q ? P ? P ? Q ? -t ? 3 ? t ? -3
? t ? -3
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数, f ( x) 在 R 上总为增函数; (2)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域

2 x1 -2 x2 解: (1)设 ?x1 <x2 则 f(x1 )-f(x 2 )= ? = x (2 ?1 +1)(2 x2 +1)

? x1 <x2 ?2x?1 <2x2
? f (x1 )<f(x2 )
f ( x) 在 R 上总为增函数
(2)? f ( x) 为奇函数? f (0)=0 解得: a = (3)? f ( x) ?

1 2

1 1 ? x 2 2 ?1 1 <1 2 +1
x

? 2x >0 ? 2x +1>1 ? 0<

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1 1 1 1 1 1 - < - x < 即 - <f ( x)< 2 2 2 +1 2 2 2
? f ( x) 的值域 ? - , ?

? 1 1? ? 2 2?

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x +2x.二次函数 g(x)过原点,在 R 上的最大值为 1,且满足 g(1-x)=g(1+x) (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (Ⅲ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 解:(Ⅰ)g(x)= -x2+2x (Ⅱ)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得 2x2-|x-1|≤0,当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解, 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤ 1 ,因此,原不等式的解集为[-1,
2 1 2
2

]

(Ⅲ)h(x)= -(1+λ )x2+2(1-λ )x+1 ① 当λ =-1 时,h(x)=4x+1 在[-1,1]上是增函数,∴λ =-1 ② 当λ ≠-1 时,对称轴的方程为 x=

1? ? . 1? ?

(i)

当λ <-1 时,

1? ? ≤-1,解得λ <-1. 1? ?
1? ? ≥-1,解得-1<λ ≤0. 1? ?

(ii)

当λ >-1 时,

综上,λ ≤0 20.(本小题满分 14 分) 研究发现:某种特别物质的温度 y 随时间 x 的变化规律是: y ? m ? 2x ? 21? x ( x ? 0, m ? 0) (1)如果 m=2,求经过多少时间温度为 5 摄氏度? (2)若该物质的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围。 解: (1) x =1 (2)? m ? 2 ? 2
x 1? x

?2

? m ? 22x -2 ? 2x +2 ? 0

? m>0,x ? 0, ? 2x ? 1 设 2 x =t 则? m ? t 2 -2 ? t +2 ? 0 (t ? 1)
设 F (t)=m ? t -2 ? t +2 (t ? 1)
2

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1 <1且m>0 ? m>1 m 1 2m-1 1 ? 0 ? ? m ?1 若 ? 1且 m m 2 1 综上: m ? 2
若 0< 另解: m ? t 2 -2 ? t +2 ? 0 (t ? 1)

m ? -2(

1 1 2 1 1 1 1? ? - ) + ? m ? ?-2( x - )2 + ? x 2 2 2 2 ?max ? 2 2

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