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湖北省七校(荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等)2016-2017学年高二下学期期中联考数学(理)试题

时间:2017-07-04


荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟

高二年级 4 月期中联考
数学试题(理科)
命题学校:夷陵中学 命题人:曹俊松 审题人:尹国江 考试时间:2017 年 4 月 21 日上午 8:00—10:00 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请在答题卷上填涂所选答案的

序号) 1.若向量 a ? ,b ? ,且 a ∥ b ,则实数 x, y 的值分别为( (2x, 1,3) ( 1, ? 2 y,9) A. )

1 3 ,? 6 2

B. , ?

1 2

1 2

C. 1,1

D. ?

1 3 , 6 2


2.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q :

1 ? 0 ,则 q 是 ? p 成立的( x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某中学高二年级组采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机 编号为 1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450 ?的人做问卷 A,编号落入区间 ?451, 750? 的人做问卷 B,其余的人 做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( ) A.7 B.8 C.9 4. 随机选取 5 名高二男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 56 165 61 170 65 175 69

D.10 180 74

? ? 0.9 x ? a ,据此模型预报身高为 172cm 的男生的体重大约为 由上表可得回归直线方程 y
( ) A.65.8kg B.66.3kg C.66.8kg D.67.3 kg 5. 如图所示为某市各旅游景点的分布图,图中一支箭头表示一 段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从 A 到 H 可走的不同的 旅游路线的条数为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 6. ?1 ? 2x? ?1 ? y ? 的展开式中 xy 项的系数为 (
6 4
2



A. 45 B. 72 C. 60 D. 120 7. 从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 2 个不同的数, 事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ) A.

1 8

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 2

8. 公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积 可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两 位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是某数学教师利用刘徽“割圆术”的思想设计的一
-1-

个程序框图,则输出的值为 (

). (参考数据: sin 15 ? 0.2588 , sin 7.5 ? 0.1305 )

?

?

A. 6

B. 12

C. 24

D. 48

9. 某数学爱好者设计了一个商标,如果在该商标所在平面内建立 如图所示的平面直角坐标系 xoy ,则商标的边缘轮廓 AOC 恰是函 数 y ? tan 心角为

?
4

x 的图像的一部分,边缘轮廓线 AEC 恰是一段所对圆

? 的圆弧. 若在图中正方形 ABCD 内随机选取一点 P, 则点 2
) B. D.

P 落在商标区域内的概率为( A. C.

? -2 8 ? -2 2

? -2 4
1 4

10. 设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一 63 次的概率为 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为( 64 9 A. 64 B. 27 64 C. 1 4 ) D. 3 4

11. 下列说法中:①4 是数据 4,6,7,7,9,4 的众数;②如果数据

x1 , x2 ,…, xn 的平均数为 3,方差为 0.2,则 3 x1 ? 5 , 3 x2 ? 5 ,…,3 xn ? 5 的平均数和方差分别为 14 和 1.8;③用
辗转相除法可得 228 与 1995 的最大公约数为 57; ④把四进制 数 1000 ?4 ? 化为二进制数是 1000000 ?2? ;⑤已知甲、乙两组数 据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中 m , n 的比值 说法的个数为( A.2 ) B. 3

m 3 ? . 正确 n 8

C.
-2-

4

D. 5

12.已知椭圆 C1 :

x2 x2 2 与双曲线 的焦点重合, e1 , e2 分 ? y ? ( 1 m ? 1 ) C : ? y 2 ?( 1 n ? 0) 2 2 2 n m
) B. m ? n且e1e2 ? 1 D. m ? n且e1e2 ? 1

别为 C1 , C2 的离心率,则( A. m ? n且e1e2 ? 1 C. m ? n且e1e2 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卷横线上) 13. 若实数数列: 1, a1 , a2 , a3 ,81 成等比数列,抛物线 y ? a2 x2 的焦点坐标是 14. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N 2,? 2 ,且 P?? ? 4 ? ? 0.8 ,则 P?0 ? ? ? 2? = ; ;

?

?

15. 7 个身高各不相同的人排成一排照相,高个子站中间,从中间到左边一个比一个矮,从中 间到右边也一个比一个矮,则共有________种不同的排法(结果用数字作答). 平面内两定点 M(0,-2)和 N(0,2),动点 P(x,y)满足|PM|· |PN|= m ( m ≥4),动点 P 的轨迹 为曲线 E,给出以下命题:①? m ,使曲线 E 过坐标原点;②对? m ,曲线 E 与 x 轴有三个交 点;③曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称;④若 P,M,N 三点不共线,则△PMN 周 长的最小值为 2 m ? 4 ;⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H, 则四边形 GMHN 的面积不大于 m .其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序 号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)清华大学在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取某学校高三年级

80 ) ,第 2 组 [80, 85) ,第 3 组 [85, 90 ) , 40 名学生的笔试成绩, 按成绩共分成五组: 第 1 组 [75, 95) ,第 5 组 [95, 100 ) ,得到的频率分布直方 第 4 组 [90,
图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的 学生为“优秀”,成绩小于 85 分的学生为“良好”,且只有 成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格. (Ⅰ)求出第 4 组的频率,补全频率分布直方图; (Ⅱ)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数(结 果用四舍五入法精确到 1 分) ; (Ⅲ)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生 中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

-3-

18. (本小题满分 12 分)每年 9 月 20 日是全国爱牙日,某课题小组调研学生“常吃零食与患 龋齿的关系”,他们对该校高一部分班级的 800 名新生进行调查,按患龋齿和不患龋齿分类, 得调研数据为: 不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名, 常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名, 不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名。 (Ⅰ)完成下列 2× 2 列联表; 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 (Ⅱ)分析能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为该校高一学生常吃零食与患龋齿 有关系; (Ⅲ)在不常吃零食的学生中随机抽取两名学生,用 ? 表示抽得不患龋齿的学生人数,求 ? 的 分布列及数学期望 E (? ) ( E (? ) 的结果用小数表示) 。 P(K ≥k0) k0
2
2

常吃零食

总计

0.010 6.635
2

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad ? bc? 附: (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?

19. (本小题满分 12 分)已知命题 p : x1 和 x2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,不等式
2

a 8 : x ? ) 的含 x 项的系数不大 a2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实数 m ? [?1,1] 恒成立;命题 q( x

(3 - 2a) .若命题 p ? q 是真命题,命题 p ? q 是假命题,求实数 a 的取值范围. 于 28

? 2 ,分别以 20.(本小题满分 12 分)设 A,B 为抛物线 y ? x 上相异两点,其纵坐标分别为 1,
2

A,B 为切点作抛物线的切线 l1 , l 2 ,设 l1 , l 2 相交于点 P. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ) M 为 A,B 间抛物线段上任意一点,设 PM ? ? PA ? ? PB ,试判断 如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由.

? ? ? 是否为定值?

-4-

21.(本小题满分 12 分)将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD⊥平面 CBD,AE⊥平面 ABD,且 AE= 2. (Ⅰ)求证:DE⊥AC. (Ⅱ)求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值. (Ⅲ)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平面 ADE?若存在, 求点 M 的位置;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)如图,设椭圆 C :

x2 y 2 的左、右焦点分别为 F1,F2, ? ?( 1 a ? b ? 0) a 2 b2

上顶点为 A,过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q, 且 2F1F2 ? F2Q ? 0,若过 A, Q, F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,过定点 M(0,2)的直线 l1 与椭圆 C 交于 G, H 两点(点 G 在点 M,H 之间). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P( m ,0),使得以 PG,PH 为邻边的 平行四边形是菱形?如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)若实数 ? 满足 MG ? ? MH ,求 ? 的取值范围。

y A

Q

F1 O

F2

x

第 22 题图

-5-

高二 4 月期中联考数学(理)参考答案 ABDCDB BCBADA 13. (0,

1 ) 36

14. 0.3

15. 20

16.①④⑤

17.解: (1)其它组的频率和为(0.01+0.07+0.06+0.02)× 5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2, …………2 分 频率/组距是 0.04 ,补图 …………3 分 频率分布图如图:(略) …………4 分 (2)设样本的中位数为 x ,则 5 ? 0.01 ? 5 ? 0.07 ? ( x ? 85) ? 0.06 ? 0.5 ……… 5 分 解得 x ?

260 2 ? 86 , 3 3

所以样本中位数的估计值为 87…………6 分

依题意,良好的人数为 40 ? 0.4 ? 16 人,优秀的人数为 40 ? 0.6 ? 24 人,抽取比例为 1/8, 所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良好 2 人 …………8 分 所以 P= 1 ?

2 ?1 9 ? 5 ? 4 10
常吃零食 100 500 600 总计 160 640 800

………………10 分

18.解: (1)由题意可得列联表: 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 60 140 200

………………2 分… (2)因为 K
2

?

800(60 ? 500 ? 100? 140) 2 ? 16.667 ? 10.828。………………4 分 160? 640? 200? 600

所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该校高一学生常吃零食与患龋齿有关系……………6 分

? ? 0, 1, 2。
P(? ? 0) ?
2 C140 973 ………………7 分 ? 2 C200 1990 ,

1 1 C60 C140 840 84 ………………8 分 P(? ? 1 ) ? ? ? 2 C200 1990 199 , 2 C60 177 ………………9 分 ? 2 C200 1990

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?

0

1
84 199

2
177 1990
…………10 分
-6-

P

973 1990

故:数学期望 E? ? 0 ?
2

973 840 177 1194 ? 1? ? 2? ? ? 0.6 ………12 分 1990 1990 1990 1990

19.解 ∵x1,x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根



? x1 ? x 2 ? m ? ? x1 x 2 ? ?2



x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? m 2 ? 8
………3 分

………2 分

∴当 m ? [?1,1] 时, 由不等式

x1 ? x 2 max ? 3

a 2 ? 5a ? 3 ? x1 ? x 2

对任意实数 m ? [?1,1] 恒成立

可得: a ? 5a ? 3 ? 3
2

∴ a ? 6 或 a ? ?1 ………4 分
8? r 2

∴命题 p 为真命题时 a ? 6 或 a ? ?1 命题 q: Tr ?1 ? C8 x
r 8? r 2

a (? ) r ? C8r (?a) r x x

x ?r ? C8r (?a) r x

8?3 r 2

,由

8 - 3r ? 1 得 r=2,………6 2

分 所以含 x 项的系数为 28a ,………7 分 由 28a 2 ? 28 ( 3 - 2a) 得 a 2 ? 2a - 3 ? 0 ,所以 ? 3 ? a ? 1 ,………8 分 依题意可得,命题 p,q 中一真一假, 命题 p 真 q 假时 ?
2

?a ? ?1或a ? 6 ,即 a ? ?3或a ? 6 ①………9 分 ? a ? ?3或a ? 1
?? 1 ? a ? 6 ,即 ? 1 ? a ? 1 ②………10 分 3 ? a ? 1 ?

命题 p 假 q 真时 ?

综上所述: a ? (??,?3) ? (?1,1] ? [6,??) ………12 分 解:(1)可得 A(1,1),B(4,-2),………1 分 设 P 的坐标为( xp,yp ) , 切线 L1 : y-1=k(x-1), 代入 y ? x ,由相切得 k=
2

1 ,所以 L1 : 2

1 1 x ? ,…3 分 2 2 1 同理可得 L2: y ? - x - 1,………5 分 4 1 ? ) ………6 分 联立 L1,L2 解得 P ( ?2, 2 y? ? ?(6, - ) 设 M ( y0 , y0 ) ,且 - 2 ? y0 ? 1,可得 ( y0 ? 2, y0 ? ) ? ?(3, ) ,………7 分
2
2

1 2

3 2

3 2

-7-

2 ? (y0 ? 2) ? y0 2 ? 2 ? 3? ? 6? ?? ? ? ? 9 即? 1 3 3 ,解得 ? 2 ………10 分 ( y ) y ? ? ? ? 0 ?1 0 ? ? ?? 2 2 2 ? ? 9 ?

则 ?? ? ?

y0 ? 2 1 - y0 ? ? 1 即定值为 1.………12 分 3 3

21.解:(1)证明:以 A 为坐标原点,AB,AD,AE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,如图所示,则 E(0,0, 2),B(2,0,0),D(0,2,0). ………1 分 取 BD 的中点 F 并连接 CF,AF.由题易得 CF⊥BD 且 AF=CF= 2. 又∵平面 BDA⊥平面 BDC,∴CF⊥平面 BDA, ∴C(1,1, 2), → → ∴DE=(0,-2, 2),AC=(1,1, 2). ………2 分 → → ∵DE· AC=(0,-2, 2)· (1,1, 2)=0, ∴DE⊥AC.………3 分 (2)设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z),则 → ? EB=0, ?2x- 2z=0, ?n· ?z= 2x, ? 即? ∴? → ?n· CB=0, ?x-y- 2z=0, ?y=-x, ? 令 x=1,得 n=(1,-1, 2).………5 分 设 DE 与平面 BEC 所成的角为 θ,则 → |n· DE| 6 → sin θ=|cos〈n,DE〉|= = .………7 分 → 3 |n||DE| → → (3)假设存在点 M 使得 CM∥平面 ADE,且EM=λEB. → → ∵EB=(2,0,- 2),∴EM=(2λ,0,- 2λ),得 M(2λ,0, 2- 2λ), → ∴CM=(2λ-1,-1,- 2λ).………9 分 又易知 AB⊥平面 ADE, → ∴AB=(2,0,0)为平面 ADE 的一个法向量. → → → → ∵CM∥平面 ADE,∴CM⊥AB,即CM· AB=0, 1 即 2(2λ-1)=0,∴λ= .………11 分 2 故点 M 为 BE 的中点时,CM∥平面 ADE.………12 分 解:(1)因为 2F1F2 ? F2Q ? 0,所以 F1 为 F2Q 中点 设 Q 的坐标为(-3c,0), 2 2 2 2 因为 AQ⊥AF2,所以 b =3c× c=3c ,a =4c× c=4c ,
-8-

且过 A,Q,F2 三点的圆的圆心为 F1(-c,0),半径为 2c。………1 分

| ?c ? 3 | ? 2c 2 因为该圆与直线 L 相切,所以

解得 c=1,所以 a=2, b ? 3

x2 y2 ? ?1 3 故所求椭圆方程为 4 。 ………3 分
(2)设 L1 的方程为 y=kx+2(k>0)



得(3+4k )x +16kx+4=0 ………4 分

2

2

由△>0,得

k2 ?

1 4

所以 k>1/2,

设 G(x1,y1),H(x2,y2),则

x1 ? x2 ? ?

16 k 3 ? 4k 2

所以 PG ? PH ? (x1-m,y1)+(x2-m,y2) =(x1+x2-2m,y1+y2) =(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)

GH ? (x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1))………5 分
由于菱形对角线互相垂直,因此 ( PG ? PH) ? GH ? 0 所以(x2-x1)+k(x2-x1)=0 故(x2-x1)=0 2 因为 k>0,所以 x2-x1≠0 所以(x1+x2)-2m+k (x1+x2)+4k=0, 2 即(1+k )(x1+x2)+4k-2m=0,所以

………6 分 解得 m ? ?

3 2k 2 , 因为 k>0,所以 ?m?0 ?? 2 3 6 3 ? 4k ? 4k k 3 ,0) 。………7 分 6

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 [(3)①当直线 L1 斜率存在时, 设直线 L1 方程为 y=kx+2,代入椭圆方程

x2 y2 ? ?1 4 3
-9-

得(3+4k )x +16kx+4=0 ,

2

2

2 由△>0,得 k ?

1 4 16 k 4 , x1 x2 ? ………8 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

设 G(x1,y1),H(x2,y2), 则 x1 ? x2 ? ?

又 MG ? ? MH ,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以 x1=λx2, 所以 x1 ? x2 ? ( 1 ? ?)x2 , x1x2 ? ?x2
2


2 (1 ? ?)



整理得

?

?

64 ………9 分 3 ?4 k2

2 因为 k ?

2 (1 ? ?) 1 64 ? 16 , 所以 4 ? ? 16 ,即 4 ? 3 4 ? ?4 k2

解得 7 ? 4 3 ? ? ? 7 ? 4 3 又 0<λ<1, 所以 7 ? 4 3 ? ? ? 1 ………10 分 ②当直线 L1 斜率不存在时,直线 L1 的方程为 x=0, , MH ? , MG ? (0,3 ? 2) (0, ? 3 ? 2) G(0,3), H (0, ? 3), MG ? 所以 ? ? 7 ? 4 3 ………11 分 综上所述, 7 ? 4 3 ? ? ? 1 ………12 分 s

2? 3 MH 2? 3

- 10 -


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