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高考数学常用公式及常用结论2011829

时间:2011-08-29


高考数学常用公式及常用结论(2011.8.29) 1. A={ a1 , a2 , a3 K an },A的子集有 2 个,真子集有( 2 -1)个,非空真子集有( 2 -2)个 2. 充要条件(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件.(2)必要条件:若 q ? p , 则 p 是 q 必要条件.(3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q

充要条件.注: 如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然。 3. 函数的单调性 (1)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为 增函数;如果 f ′( x ) < 0 ,则 f (x ) 为减函数.复合函数 y = f [ g ( x )] 单调性是同增异减 同增异减 4. 函数图象的对称性:函数 y = f (x ) 和 y = f
?1
n n n

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

5 指数式与对数式的互化式 log a N = b ? a b = N

log a ( MN ) = log a M + log a N

log a

M = log a M ? log a N N

log a M n = n log a M (n ∈ R )

log a N =

log m N log m a

6 数列的通项公式与前 n 项的和的关系( 其中 sn = a1 + a2 + L + an ). an = ? 7.等差数列的通项公式 : an = a1 + ( n ? 1) d = dn + a1 ? d ( n ∈ N ) ;
*

n =1 ? s1 , ? sn ? sn ?1 , n ≥ 2

n(a1 + an ) n(n ? 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 ? d )n .若 n + m = p + q ,(m,n,p,q 为正 2 2 2 2 整数)则 a n + a m = a p + a q 。 sn =
8.若数列 {a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k
*

若a n,bn 是等差数列S n,Tn为前n项和,则

a m S 2 m ?1 = ; bm T2 m?1

? a1 (1 ? q n ) ,q ≠1 a ? 9.等比数列的通项公式 an = a1q n ?1 = 1 ? q n ( n ∈ N * ) ; sn = ? 1 ? q q ?na , q = 1 ? 1

10. 对于等比数列 {a n } ,若 n + m = u + v (n,m,u,v 为正整数),则 a n ? a m = a u ? a v

数列 {a n }

是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等比数列。 11.同角三角函数的基本关系式 sin θ + cos θ = 1 , tan θ =
2 2

sin θ , tan θ ? cotθ = 1 . cosθ

12.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β

tan α ± tan β b . a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) (其中 tan ? = ). 1 m tan α tan β a sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α 2 tan α a b c tan 2α = . = = = 2R a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A 2 1 ? tan α sin A sin B sin C b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C . 1 1 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 13. 平面向量的 a 与 b 的数量积 a·=|a||b|cosθ. 坐标运算(1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) , b b b tan(α ± β ) =
则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .(2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . b (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .

uuu r

uuu uuu r r

(4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R , λ a= (λ x, λ y ) (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) , a· ( x1 x2 + y1 y2 ) . 则 则 b= b

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 ? x2 + y2

uuu r uuu uuu r r d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2

14.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b A||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 .a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 . b a a b 15.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 2 ,y2 )、 3 ,y3 ), B(x C(x

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3 2 2 16.常用不等式: (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a+b + (2) a, b ∈ R ? ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ∈ R. (4) a ? b ≤ a + b ≤ a + b
则△ABC 的重心的坐标是 G ( (5) 2
1 1 + a b ≤ ab ≤ a+b a 2 + b 2 (当仅当 ≤ . 2 2

a=b 时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平

2 2 均≥调和平均(a、b 为正数) :特别地, ab ≤ ( a + b ) 2 ≤ a +b (当 a = b 时取等号) 2 2

17 含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 x < a ? x 2 < a ? ? a < x < a .
2

x > a ? x2 > a2 ? x > a 或 x < ? a .
18.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y = kx + b (3)两点式 (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 x y = (4)截距式 + =1 y2 ? y1 x2 ? x1 a b (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). 19.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2
(2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ≠ b2 ;② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ② l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ; = ≠ A2 B2 C2 20. (1)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 的交
点的直线系方程为 ( A1 x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. (2) 平 行 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax + By + C = 0 平 行 的 直 线 系 方 程 是

Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 ),λ是参变量. (3)垂直直线系方程:与直线 Ax + By + C = 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay + λ = 0 ,λ是参变量. | Ax0 + By0 + C | 21. 点到直线的距离 d = (点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). A2 + B 2 22. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 .
(2)一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F >0).

(3)圆的参数方程 ? 23. 椭 圆

? x = a + r cos θ . ? y = b + r sin θ

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 参 数 方 程 是 ? . 焦 半 径 公 式 2 a b ? y = b sin θ a2 a2 a2 a2 2b 2 PF1 = e( x + ) ,PF2 = e( ? x) . a 2 = b 2 + c 2 x = ± y=± 通径长= c c c c a 2 2 2 2 x y a a 2 2 2 24.双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) c = a + b x=± y=± a b c c 2 2 2 2 x y x y b 若双曲线方程为 2 ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . a b a b a p 25. 抛 物 线 y 2 = 2 px 的 焦 半 径 公 式 CF = x0 + . 过 焦 点 弦 长 2 p p 2p CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p = l = . 2 2 sin 2 θ b 2 4ac ? b2 2 26.二次函数 y = ax + bx + c = a( x + ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶点坐 2a 4a b 4ac ? b 2 , ); 标为 ( ? 2a 4a

(

)

(

)

27.直线与圆锥曲线相交的

1? 2 2 ? + x 2 ) ? 4 x 1 x 2 = ?1 + 2 ? (y1 + y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? ? k 28 共线向量定理:对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb. uuu uu r r r | CD ? n | r 29 异面直线间的距离 d = ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 |n|

弦长公式 P1 P2 =

(1 + k )[(x
2

1

]

[

]

l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). d = h 2 + m2 + n 2 m 2mn cos θ uuu uu r r | AB ? n | r r ( n α 的法向量,AB 是过面 α 的一条斜线,A ∈ α ) 30 点 B 到平面 α 的距离 d = . |n| uuu ur r AB ? m ur r 31.直线 AB 与平面所成角 β = arc sin uuu ur ( m 为平面 α 的法向量). | AB || m | 32.二面角 α ? l ? β 的平面角 ur r ur r ur r m?n m?n θ = arc cos ur r 或 π ? arc cos ur r ( m , n 为平面 α , β 的法向量). | m || n | | m || n | 4 3 33.球的半径是 R,则 V = π R , S = 4π R 2 3 Anm n! n! m m 34.排列组合数公式 An = n( n ? 1) L ( n ? m + 1) = Cn = m = (n ? m)! Am m!(n ? m)! ?
(1) C n = C n
m n?m

; (2) C n + C n
n 0

m

m ?1 n

= C n +1 .(2) C n + C n + C n + L + C n + L + C n = 2
m 0 1 2 r n 1 n ?1

n

35.二项式定理 ( a + b) = C n a + C n a 二项展开式的通项公式 36.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和

2 r n b + C n a n? 2 b 2 + L + C n a n?r b r + L + C n b n ;

r Tr +1 = C n a n ? r b r (r = 0,2 L,n) . 1,

P(A+B)=P(A)+P(B).

37 独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 38.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k .
(2) P + P2 + L = 1 . 1

39.离散型随机变量的分布列的两个性质(1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,L) ; 40.数学期望,方差 标准差: Eξ = x1 P + x2 P2 + L + xn Pn + L 1

41.数学期望,方差的性质(1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b .(2) D ( aξ + b ) = a Dξ
2

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + L + ( xn ? Eξ ) ? pn + L
2 2 2

σξ = Dξ
Dξ = pq

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np . Dξ = npq

42..几种常见函数的导数(1) C ′ = 0 (C 为常数).(2) ( xn ) = nx
'

n ?1

(n ∈ Q ) .(3) (sin x)′ = cos x .

1 1 e x x x x x ; (log a )′ = log a .(6) (e )′ = e ; (a )′ = a ln a . x x u ' u 'v ? uv ' ' ' ' ' ' ' (7) (u ± v) = u ± v .(8) (uv ) = u v + uv .(9) ( ) = (v ≠ 0) . v v2
(4)

(cos x)′ = ? sin x .(5) (ln x)′ =

复合函数的求导法则: f x ' (? ( x )) = f ' (u )? ' ( x ) 或 y ' x = y ' u ? u ' x 43.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法:当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 44.复数的相等 a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R )

z = a + bi 的 模 | z | = | a + bi | = a2 + b2 . 四 则 运 算 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ;(2) (a + bi ) ? (c + di ) = ( a ? c ) + (b ? d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac ? bd ) + (bc + ad )i ; ac + bd bc ? ad (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) = 2 + i (c + di ≠ 0) . c + d 2 c2 + d 2 1+ i 1? i 2 = i, = ?i i 2 = ?1 . (1 ± i ) = ±2i, 1? i 1+ i
45. 复 数 46 附:三角形的五个“心” ;重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 47. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边 长分别为 a, b, c ,则(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC .

uuu 2 r

uuu 2 r

uuur 2

(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 .

uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuur uuur uuu r r r r (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . uuu r uuu r uuur r (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . uuu r uuu r uuur (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC .