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高中信息竞赛-数据结构—树的基础知识

时间:2010-08-26


树及其应用

栈、队列属于线性结构。在这种结构中,不管其存储方式(顺 队列属于线性结构。在这种结构中,不管其存储方式( 序和链式)如何,数据元素的逻辑位置之间呈线性关系 线性关系, 序和链式)如何,数据元素的逻辑位置之间呈线性关系,即每一个 数据元素通常只有一个前驱(除第一个元素外)和一个后继( 数据元素通常只有一个前驱(除第一个元素外)和一个后继(除 最后

一个元素外) 最后一个元素外)。 但也有很多问题数据元素间的逻辑关系不能用线性结构明 方便地描述出来。一般来说,至少存在一个结点( 确、方便地描述出来。一般来说,至少存在一个结点(数据 元素)有多于一个前驱或后继的数据结构称为非线性结构。 元素)有多于一个前驱或后继的数据结构称为非线性结构。 具有非线性结构特征的数据结构有两种 ⑴树 ⑵图

第一节: 第一节:树

一、树的概念
1、树的定义 、 树的递归定义如下: 树的递归定义如下: 树是n(n>0)个结点的有限集,这个集合满足以下条件: n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集,这个集合满足以下条件: 有且仅有一个结点没有前驱(父亲结点), ),该结点称为树 ⑴有且仅有一个结点没有前驱(父亲结点),该结点称为树 的根; 的根; 除根外,其余的每个结点都有且仅有一个前驱; ⑵除根外,其余的每个结点都有且仅有一个前驱; 除根外,每一个结点都通过唯一的路径连到根上( 唯一的路径连到根上 ⑶除根外,每一个结点都通过唯一的路径连到根上(否则有 )。这条路径由根开始 而未端就在该结点上,且除根以外, 这条路径由根开始, 环)。这条路径由根开始,而未端就在该结点上,且除根以外, 路径上的每一个结点都是前一个结点的后继(儿子结点); 路径上的每一个结点都是前一个结点的后继(儿子结点);

由上述定义可知,树结构没有封闭的回路。 由上述定义可知,树结构没有封闭的回路。

2、结点的分类
结点一般分成三类 ⑴ 根结点 : 没有父亲的结点 。 根结点: 没有父亲的结点。 在树中有且仅有一个根结点。 在树中有且仅有一个根结点。 ⑵ 分支结点 : 除根结点外 , 有 分支结点: 除根结点外, 孩子的结点称为分支结点。 孩子的结点称为分支结点。b, c,x,t,d,i。分支结点亦是 其子树的根; 其子树的根; ⑶ 叶结点 : 没有孩子的结点称 叶结点: 为树叶。 为树叶。w,h,e,f,s,m,o, 为叶结点。 n,j,u为叶结点。 根结点到每一个分支结点或叶 结点的路径是唯一的。从根r 结点的路径是唯一的。从根r到 结点i的唯一路径为rcti rcti。 结点i的唯一路径为rcti。

3、有关度的定义
⑴ . 结点的度 : 一个结点的子树数目称为该结点的度 (区 结点的度:一个结点的子树数目称为该结点的度( 分图中结点的度) 图中, 结点i 度为3 结点t 的度为2 分图中结点的度 ) 。 图中 , 结点 i 度为 3 , 结点 t 的度为 2 , 结 的度为1 显然,所有树叶的度为0 点b的度为1。显然,所有树叶的度为0。 ⑵.树的度:所有结点中最大的度称为该树的度(宽度)。 树的度:所有结点中最大的度称为该树的度(宽度) 图中树的度为3 图中树的度为3。

4、树的深度(高度) 树的深度(高度)
树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。 树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。根结 点在第一层,根的儿子在第二层,其余各层依次类推。 点在第一层,根的儿子在第二层,其余各层依次类推。图 中的树共有五层。在树中, 中的树共有五层。在树中,父结点在同一层的所有结点构 成兄弟关系。 成兄弟关系。 树中最大的层次称为树的深度,亦称高度。 树中最大的层次称为树的深度,亦称高度。图中树的 深度为5 深度为5。

5、森林
所谓森林,是指若干棵互不相交的树的集合。如图去掉根 所谓森林,是指若干棵互不相交的树的集合。 结点A 其原来的三棵子树T 的集合{T 结点 A , 其原来的三棵子树 Tb , Tc , Td 的集合{Tb , Tc , Td} 就为 森林,这三棵子树的具体形态如图( 森林,这三棵子树的具体形态如图(c)。

6、有序树和无序树
按照树中同层结点是否保持有序性, 按照树中同层结点是否保持有序性,可 将树分为有序树和无序树。 将树分为有序树和无序树。如果树中同层结 点从左而右排列,其次序不容互换, 点从左而右排列,其次序不容互换,这样的 树称为有序树;如果同层结点的次序任意, 树称为有序树;如果同层结点的次序任意, 这样的树称为无序树。 这样的树称为无序树。

二、树的表示方法和存储结构
1、树的表示方法 树的表示方法一般有两种: 树的表示方法一般有两种: 自然界的树形表示法:用结点和边表示树, ⑴自然界的树形表示法:用结点和边表示树,例如上图采用 的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。

优点:直观,形象;缺点:保存困难. 优点:直观,形象;缺点:保存困难.

⑵.括号表示法: 括号表示法:
先将根结点放入一对圆括号中, 先将根结点放入一对圆括号中,然后把它的子树按由左 而右的顺序放入括号中,而对子树也采用同样方法处理:同 而右的顺序放入括号中,而对子树也采用同样方法处理: 层子树与它的根结点用圆括号括起来, 层子树与它的根结点用圆括号括起来,同层子树之间用逗号 隔开,最后用闭括号括起来。 隔开,最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J))) 优点:易于保存 缺点 不直观. 优点 易于保存;缺点 不直观 易于保存 缺点:不直观

2、树的存储结构
树的存储结构一般有两种 静态的记录数组。所有结点存储在一个数组中, ⑴ .静态的记录数组。所有结点存储在一个数组中,数组元素为 记录类型, 包括数据域和长度为n(n为树的度 的数组, 为树的度) 记录类型 , 包括数据域和长度为 n(n为树的度) 的数组 , 分别存储 该结点的每一个儿子的下标 #define n 树的度; 树的度; #define max 结点数的上限; 结点数的上限; struct treetype { int data; //数据域 data; //数据域 int ch[n]; //指向各儿子的下标 ch[n]; //指向各儿子的下标 } treetype tree[max]; //树数组 tree[max]; //树数组

I data
下标 信息 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A B C D E F G H I J K L M

ch[1..m]
儿子 2 5 7 8 11 0 0 13 0 0 0 0 0 3 6 0 9 12 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 13 5 6 7 8 9 10 2 3 4 1

2. 父亲表示法(重点掌握) 父亲表示法(重点掌握)
这种方法是定义一个数组,每个数组元素为一个记录, 这种方法是定义一个数组,每个数组元素为一个记录,除了 存放一个结点的数据信息外,还存放该结点编号. 存放一个结点的数据信息外,还存放该结点编号.其结点的结构 定义如下: 定义如下: #define m 10; 10; 树的结点数 struct node { int data; 数据域 int parent; 父结点 }

Data int tree[maxn][2];//树的存储 tree[maxn][2];//树的存储

Parent

树的双亲表示法
优缺点: 优缺点:利用了树中除根结点外每个结点都有唯一的父结点这个 性质。很容易找到树根,但找孩子时需要遍历整个线性表。 性质。很容易找到树根,但找孩子时需要遍历整个线性表。

树的遍历
在应用树结构解决问题时,往往要求按照某种次序获得树 在应用树结构解决问题时, 中全部结点的信息,这种操作叫作树的遍历。 中全部结点的信息,这种操作叫作树的遍历。遍历的方法有多 常用的有: 种,常用的有:

树的遍历
(1).前序( (1).前序(根)遍历:先访问根结点,再从左到右按照前序思想遍历各棵子 前序 遍历:先访问根结点, 如上图前序遍历的结果为:125634789; 树。如上图前序遍历的结果为:125634789; 具体步骤(深度优先遍历) 具体步骤(深度优先遍历) 1.读入数据 cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)cin>>tree[i][1]>>tree[i][2]; 2.寻找根节点 root=1; while(tree[root][2]!=0)root=tree[root][2]; //寻找根节点 //寻找根节点 3.先序遍历树 3.先序遍历树 void dfs(int k)//深度优先遍历 k)//深度优先遍历 { cout<<tree[k][1]<<“ ”; //输出当前节点 //输出当前节点 for(i=1;i<=n;i++) if(tree[i][2]==k)dfs(i); //遍历当前节点孩子 //遍历当前节点孩子 }

树的遍历
(2).后序( (2).后序(根)遍历: 后序 遍历: 先从左到右遍历各棵子树,再访问根结点。 先从左到右遍历各棵子树,再访问根结点。如上图后序遍历的 结果为:562389741; 结果为:562389741; (3).层次遍历: (3).层次遍历: 层次遍历 按层次从小到大逐个访问,同一层次按照从左到右的次序。 按层次从小到大逐个访问,同一层次按照从左到右的次序。如 上图层次遍历的结果为:123456789; 广度优先遍历)思想如下: 上图层次遍历的结果为:123456789; (广度优先遍历)思想如下: 若某个结点被访问,则该结点的子结点应登录,等待被访问。 若某个结点被访问,则该结点的子结点应登录,等待被访问。顺序 访问各层次上结点,直至不再有未访问过的结点。 访问各层次上结点,直至不再有未访问过的结点。 (4).叶结点遍历: (4).叶结点遍历: 叶结点遍历 有时,把所有的数据信息都存放在叶结点中,而其余结点都是 有时,把所有的数据信息都存放在叶结点中, 用来表示数据之间的某种分支或层次关系,这种情况就用这种方法。 用来表示数据之间的某种分支或层次关系,这种情况就用这种方法。 如上图按照这个思想访问的结果为:56389; 如上图按照这个思想访问的结果为:56389;

树的宽度和深度
描述:对于每个节点,找到它离根节点的层数。最大层数即 描述:对于每个节点,找到它离根节点的层数。 为深度,相同层数节点数最多为最大宽度。 为深度,相同层数节点数最多为最大宽度。

应用: 应用

1、树的统计 、 输入森林中的结点关系,统计森林中树的数量,输出树的根。 输入森林中的结点关系,统计森林中树的数量,输出树的根。 输入: 输入: 第一行: :结点数量; :边数;( ;(n,k<=100) 第一行:n:结点数量;k:边数;( ) 以下k行 每行两个结点编号: , : 是 的父结点 的父结点(I,j<=100)。 以下 行:每行两个结点编号:i,j:i是j的父结点 。 输出: 输出: 第一行:树的数量。 第一行:树的数量。 第二行:依次输出森林中树的根结点编号(从小到大)。 第二行:依次输出森林中树的根结点编号(从小到大)。 样例输入: 样例输入: 97 12 23 46 45 78 91 94 输出: 输出: 2 79

核心代码
#include<iostream> using namespace std; int n,m,tree[101],ans[10];
int main() { int i,x,y,root,maxroot,sum=0,j=0,max=0; cin>>n>>m; memset(tree,0,sizeof(tree));//默认根标志是本身 各自是独立的一棵树 默认根标志是本身,各自是独立的一棵树 默认根标志是本身 for(i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y;tree[y]=x;} for(i=1;i<=n;i++) if(tree[i]==0){ans[++j]=i;sum++;} cout<<sum<<endl; for(i=1;i<=j;i++) cout<<ans[i]<<' '; return 0; }

2、找树根和孩子(treea.pas) 、找树根和孩子( )
给定一棵树,输出树的根 以及他的孩子。 给定一棵树,输出树的根root,孩子最多的结点 ,孩子最多的结点max以及他的孩子。 以及他的孩子 输入: 输入: 第一行: (结点个数), ),m(边数)。 第一行:n(结点个数), (边数)。 以下m行 每行两个结点x和 ,表示y是 的孩子 的孩子。 以下 行;每行两个结点 和y,表示 是x的孩子。 输出: 输出: 第一行:树根: 第一行:树根:root。 。 第二行:孩子最多的结点max。 第二行:孩子最多的结点 。 第三行: 的孩子。 第三行:max的孩子。 的孩子 样例输入: 样例输入: 87 41 42 13 15 26 27 28 样例输出: 样例输出: 4 2 678

#include<iostream> using namespace std; int n,m,tree[101]={0}; int main() { int i,x,y,root,maxroot,sum=0,j,Max=0; cin>>n>>m; for(i=1;i<=m;i++){cin>>x>>y;tree[y]=x;} for(i=1;i<=n;i++)//找出树根 找出树根 if(tree[i]==0){root=i;break;} for(i=1;i<=n;i++)//找孩子最多的结点 找孩子最多的结点 { sum=0; for(j=1;j<=n;j++) if(tree[j]==i)sum++; if(sum>Max){Max=sum;maxroot=i;} } cout<<root<<endl<<maxroot<<endl; if(tree[i]==maxroot)cout<<i<<" "; return 0; }

第二节: 第二节:二叉树的基本概念

一、二叉树的概念
二叉树的特点:是每个结点最多有两个孩子, 二叉树的特点:是每个结点最多有两个孩子,且其子树有 左右之分(有序树,次序不能任意颠倒)。 左右之分(有序树,次序不能任意颠倒)。 1、二叉树的递归定义和基本形态 二叉树是以结点为元素的有限集,它或者为空, 二叉树是以结点为元素的有限集,它或者为空,或者满足 以下条件: 以下条件: ⑴有一个特定的结点称为根; 有一个特定的结点称为根; 其中L ⑵余下的结点分为互不相交的子集L和R,其中L是根的左 余下的结点分为互不相交的子集L 子树; 是根的右子树; 又是二叉树; 子树;R是根的右子树;L和R又是二叉树; 由此定义可以看出, 由此定义可以看出,一个二叉树中的 每个结点只能含有0 每个结点只能含有0、 1或2个孩子

二叉树和树区别: 二叉树和树区别: 树的每一个结点可以有任意多个孩子, ⑴ 树的每一个结点可以有任意多个孩子 , 而二叉树中每个 结点的孩子数不能超过2 结点的孩子数不能超过2; 树的子树可以不分次序(除有序树外) ⑵ 树的子树可以不分次序 ( 除有序树外 ) ; 而二叉树的子 树有左右之分。左儿子和右儿子。 树有左右之分。左儿子和右儿子。 下图列出二叉树的五种基本形态: 下图列出二叉树的五种基本形态:

2、二叉树的两个特殊形态 ⑴满二叉树:如果一棵深度为K的二叉树,共有2K-1个结点, 满二叉树:如果一棵深度为K的二叉树,共有2 个结点, 即第i层有2 的结点,称为满二叉树。 即第i层有2i-1的结点,称为满二叉树。(a) ⑵ 完全二叉树 : 如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点 完全二叉树: 度数可以小于2 度数可以小于 2 , 并且最下面一层的结点都集中在该层最左边 的若干位置上,则称此二叉树为完全二叉树(例如下图(b) (b)) 的若干位置上,则称此二叉树为完全二叉树(例如下图(b))

(a)

(b)

3、二叉树的三个主要性质 性质1 在二叉树的第i i≥1 层上,最多有2 性质1:在二叉树的第i(i≥1)层上,最多有2i-1个结点 性质2 在深度为k(k≥1 的二叉树中最多有2 个结点。 性质2:在深度为k(k≥1)的二叉树中最多有2k-1个结点。 k(k≥ 性质3:在任何二叉树中,叶子结点数总比度为2的结点多1。 性质3 在任何二叉树中,叶子结点数总比度为2的结点多1 n0=n2+1 为二叉树的叶结点数; 为二叉树中度为2的结点数) (设n0为二叉树的叶结点数;n2为二叉树中度为2的结点数)

为二叉树的叶结点数; 为二叉树中度为1的结点数; 设 n0 为二叉树的叶结点数 ; n1 为二叉树中度为 1 的结点数 ; 为二叉树中度为2的结点数, n2为二叉树中度为2的结点数,显然 n=n0+n1+n2 (1) 由于二叉树中除了根结点外, 由于二叉树中除了根结点外,其余每个结点都有且仅有一 个边指向父亲。 为二叉树的边的个数, 个边指向父亲。设 b为二叉树的边的个数, n=b+1 n=b+1 (2)

所有这些分支同时又为度为1和度为2的结点发出的。因此 所有这些分支同时又为度为1和度为2的结点发出的。 又有 b=n1+2n2 得到: 由1,2,3得到:n0=n2+1 , , 得到 (3)

度为2的顶点, 个度为3的顶点, 度为2的顶点,N3个度为3的顶点,……,Nm个度为m的顶点, , 个度为m的顶点, 求该树中叶子顶点个数。 求该树中叶子顶点个数。 分析:设叶子结点数为N 分析:设叶子结点数为N0 所有结点数为n 边数(分支) 所有结点数为n,边数(分支)为b,则有: 则有: n=b+1 又:n= N0+N1+N2+…..+NM ..+N b= N1+2N2+3N3+…..+M*NM ..+M*N (2),(3)代入( (2),(3)代入(1)得出: 代入 得出: ..+(MN0 =N2+2N3+3N4+…..+(M-1)NM+1 ..+(M (1) (2) (3)

【试题分析】:如果一棵m度的树中有N1个度为1的顶点,N2个 如果一棵m度的树中有N 个度为1的顶点,

①(NOIP9)一个高度为h 的二叉树最小元素数目( )。 (NOIP9)一个高度为h 的二叉树最小元素数目( 一个高度为 2h2hA) 2h+1 B) h C) 2h-1 D) 2h E) 2h-1 ②(NOIP8)按照二叉数的定义,具有3个结点的二叉树有( )种。 (NOIP8)按照二叉数的定义,具有3个结点的二叉树有( 按照二叉数的定义 A) 3 B ) 4 C ) 5 D ) 6 ③(NOIP8)设有一棵k叉树,其中只有度为0和k两种结点,设n 0 , (NOIP8 设有一棵k叉树,其中只有度为0 两种结点, 分别表示度为0和度为k的结点个数,试求出n n k ,分别表示度为0和度为k的结点个数,试求出n 0 和n k之间的 关系( 数学表达式,数学表达式仅含n 和数字) 关系(n 0 = 数学表达式,数学表达式仅含n k 、k和数字)。 一棵二叉树的高度为h,所有结点的度为0,或为2, ④(NOIP7).一棵二叉树的高度为 ,所有结点的度为 ,或为 , 一棵二叉树的高度为 则此树最少有( 个结点 则此树最少有 )个结点 A)2h-1 B)2h-1 C)2h+1 D)h+1

二、二叉树的存储结构
二叉树的存储结构有两种形式 ⑴ 顺序存储结构 重点 顺序存储结构(重点 重点) ⑵ 链式存储结构

1、顺序存储结构 将每个结点依次存放在一维数组中,用数组下标指示结点编号, 将每个结点依次存放在一维数组中,用数组下标指示结点编号, 编号的方法是从根结点开始编号1 然后由左而右进行连续编号。 编号的方法是从根结点开始编号1,然后由左而右进行连续编号。 每个结点的信息包括 树中结点数上限; #define m 树中结点数上限; struct treetype data;//数据值 { int data;//数据值 prt,lch,rch; //父结点 左儿子、 父结点、 int prt,lch,rch; //父结点、左儿子、右儿子编号 } tree[m]; treetype tree[m];

例如,采用数组tree存储二叉树(如下图) 例如,采用数组tree存储二叉树(如下图) tree存储二叉树

三、二叉树的遍历(访问) 二叉树的遍历(访问) 所谓二叉树的遍历是指按照一定的规律不重复地访问二叉 树中的每一个结点。 树中的每一个结点。 如果用L 分别表示遍历左子树、访问根结点、 如果用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍历 子树,则对二叉树的遍历可以有下列六种( !=6 组合: 右子树,则对二叉树的遍历可以有下列六种(3!=6)组合: LDR、 LRD、 DLR、 DRL、RDL、 RLD LDR、 LRD、 DLR、 DRL、RDL、 若再限定先左后右的次序, 若再限定先左后右的次序,则只剩下三种组合 先左后右的次序 DLR、LDR、LRD DLR、LDR、 这三种遍历规则分别称为先( 序遍历、 这三种遍历规则分别称为先( 前 ) 序遍历、 中序遍历和后 序遍历(以根为标准)。 序遍历(以根为标准)

⑴、前(根)序遍历 前序遍历的规则为:若二叉树为空,则退出。 前序遍历的规则为:若二叉树为空,则退出。否则 ⑴访问处理根结点; 访问处理根结点; ⑵前序遍历左子树; 前序遍历左子树; ⑶前序遍历右子树; 前序遍历右子树; abdehicfg

⑵中序遍历 中序遍历的规则如下: 中序遍历的规则如下: 若二叉树为空,则退出; 若二叉树为空,则退出;否则 ⑴中序遍历左子树; 中序遍历左子树; ⑵访问处理根结点; 访问处理根结点; ⑶中序遍历右子树; 中序遍历右子树; 若中序遍历上图中的二叉树,可以得到如下的中序序列: 若中序遍历上图中的二叉树,可以得到如下的中序序列 : dbheiafcg

⑶后序遍历 后序遍历的规则如下: 后序遍历的规则如下: 若二叉树为空,则退出; 若二叉树为空,则退出;否则 ⑴后序遍历左子树; 后序遍历左子树; ⑵后序遍历右子树; 后序遍历右子树; ⑶访问处理根结点; 访问处理根结点; 若后序遍历上图中的二叉树,可以得到如下的后序序列 若后序遍历上图中的二叉树, dhiebfgca

关于前面讲的表达式树,我们可以分别用先序、中序、后 关于前面讲的表达式树,我们可以分别用先序、中序、 序的遍历方法得出完全不同的遍历结果,如对于右图3 序的遍历方法得出完全不同的遍历结果,如对于右图3种遍历 结果如下,它们正好对应着表达式的3种表示方法。 结果如下,它们正好对应着表达式的3种表示方法。 -+a*b-cd/ef (前缀表示、波兰式) +a*b(前缀表示 波兰式) 前缀表示、 a+b*ca+b*c-d-e/f (中缀表示) (中缀表示 中缀表示) abcd-*+ef/- 后缀表示、逆波兰式) abcd-*+ef/- (后缀表示、逆波兰式)

1、编程实现:二叉树的遍历(tree1.pas) 、编程实现:二叉树的遍历( )
建立二叉树,然后实现:输出先序遍历、中序遍历、后序遍历的结果。 建立二叉树,然后实现:输出先序遍历、中序遍历、后序遍历的结果。 输入:第一行:结点个数 。以下行:每行3个数 第一个是父亲, 个数, 输入:第一行:结点个数n。以下行:每行 个数,第一个是父亲,后两个 依次为左右孩子, 表示空 表示空。 依次为左右孩子,0表示空。 输出: 输出:根、先中后序遍历结果。 先中后序遍历结果。 样例输入: 样例输入: 8 124 200 480 315 560 607 800 700 样例输出: 样例输出: 3 31248567 21843675 28417653

#include<iostream> using namespace std; int a[100][2],b[100]; int dfs(int k,int w) { if(w==1)cout<<k<<" "; if(a[k][0]!=0)dfs(a[k][0],w); if(w==2)cout<<k<<" "; if(a[k][1]!=0)dfs(a[k][1],w); if(w==3)cout<<k<<" "; return 0; } int main() { int n,i,j,m,t,root; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)//边读入边建立二叉树 边读入边建立二叉树 {cin>>t;cin>>a[t][0]>>a[t][1]; b[a[t][0]]=1;b[a[t][1]]=1;} for(i=1;i<=n;i++) if(b[i]==0){root=i;break;} dfs(root,1);cout<<endl; dfs(root,2);cout<<endl; dfs(root,3);cout<<endl; }

四、树或森林转换成二叉树
1、树转化为二叉树 一棵有序树转化成二叉树的根结点是没有右子树的, 一棵有序树转化成二叉树的根结点是没有右子树的,并且除保留 每个结点的最左分支外,其余分支应去掉, 每个结点的最左分支外,其余分支应去掉,然后从最左的儿子开始 沿右儿子方向依次链接该结点的全部儿子。例如将下图(a) (a)所示的 沿右儿子方向依次链接该结点的全部儿子。例如将下图(a)所示的 普通有序树转换成二叉树(下图(b))。 普通有序树转换成二叉树(下图(b))。

森林转化为二叉树1240 森林转化为二叉树1240
Description:将一棵一般树(由单字符组成)转换成二叉树, Description:将一棵一般树(由单字符组成)转换成二叉树, 并将转换 得到的二叉树按先序、中序、后序进行遍历,输出遍历后结点的序列。 得到的二叉树按先序、中序、后序进行遍历,输出遍历后结点的序列。 (最多30个结点) 最多30个结点 个结点) Input 7 'A' 2 3 4 0 'B' 5 0 'C' 6 7 0 'D' 0 'E' 0 'F' 0 'G' 0 Output ABECFGD EBFGCDA EGFDCBA

int dfs(int k,int w) { if(w==1)cout<<char(k-1+'A'); if(w==1)cout<<char(kif(a[k][0]!=0)dfs(a[k][0],w); if(w==2)cout<<char(kif(w==2)cout<<char(k-1+'A'); if(a[k][1]!=0)dfs(a[k][1],w); if(w==3)cout<<char(kif(w==3)cout<<char(k-1+'A'); return 0; } int main() { int n,i,j,m,b;string s; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)//边读入边建立二叉树 for(i=1;i<=n;i++)//边读入边建立二叉树 {cin>>s; for(j=1;;j++) {cin>>m; if(m==0)break; if(j==1)a[i][0]=m;//左儿子编号 if(j==1)a[i][0]=m;//左儿子编号 else a[b][1]=m;//右儿子编号 a[b][1]=m;//右儿子编号 b=m; } } dfs(1,1);cout<<endl; dfs(1,2);cout<<endl; dfs(1,3);cout<<endl; }

五、由二叉树的两种遍历顺序确定树结构 遍历二叉树(如下图)有三种规则: 遍历二叉树(如下图)有三种规则: 前序遍历: 左子树—右子树; 前序遍历:根—左子树—右子树; 中序遍历:左子树— 右子树; 中序遍历:左子树—根—右子树; 后序遍历:左子树—右子树— 后序遍历:左子树—右子树—根; 已知前序序列和中序序列能否确定出二叉树? 问:已知前序序列和中序序列能否确定出二叉树? 已知前序序列和中序序列能否确定出二叉树 已知中序序列和后序序列能否确定出二叉树? 已知中序序列和后序序列能否确定出二叉树? 已知前序序列和后序序列能否确定出二叉树? 已知前序序列和后序序列能否确定出二叉树?

例题:由二叉树的先序序列和中序序列可唯一地确定一棵二 例题 由二叉树的先序序列和中序序列可唯一地确定一棵二 叉树。 叉树。例, 先序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如下: 构造二叉树过程如下:

1、已知:先序遍历结果:ABCDEFGH 已知:先序遍历结果: 中序遍历结果: 中序遍历结果:CBEDAGHF 求后序遍历结果。 求后序遍历结果。 2、(NOIP7)已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母, (NOIP7)已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母, 已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母 中序:CBGEAFHDIJ 中序: 后序: 后序:CGEBHFJIDA 求该二叉树的先序遍历的顺序为多少? 求该二叉树的先序遍历的顺序为多少?

【培训试题】求先序排列1010 培训试题】求先序排列1010
Description: : 给出一棵二叉树的中序与后序排列。 给出一棵二叉树的中序与后序排列。求出它的先序排 约定树结点用不同的大写字母表示, 列。(约定树结点用不同的大写字母表示,长度 。 约定树结点用不同的大写字母表示 长度≤8)。 Input: : 一棵二叉树的中序与后序排列 Output: : 先序排列 Sample Input: : BADC BDCA Sample Output: : ABCD

#include<iostream> using namespace std; char a[20],b[20]; void f(char a[],char b[],int ll) { int i=0; cout<<b[ll-1]; while(a[i]!=b[ll-1])i++; if(i>0)f(a,b,i); if(i<ll-1)f(a+i+1,b+i,ll-1-i); } int main() { cin>>a>>b; 课后完成已知中序和后序求先序。 课后完成已知中序和后序求先序。 f(a,b,strlen(b)); return 0; }

Description 我们可以把由“0”和 1”组成的字符串分为三类 组成的字符串分为三类: 0”串称为 串称为B 1”串 我们可以把由“0”和“1”组成的字符串分为三类:全“0”串称为B串,全“1”串 称为I 既含“0”又含 1”的串则称为 又含“ 的串则称为F 称为I串,既含“0”又含“1”的串则称为F串。 FBI树是一种二叉树 它的结点类型也包括F结点, 结点和I结点三种。 FBI树是一种二叉树,它的结点类型也包括F结点,B结点和I结点三种。由一个长度 树是一种二叉树, 为2^N的“01”串S可以构造出一棵FBI树T,递归的构造方法如下: 2^N的 01”串 可以构造出一棵FBI树 递归的构造方法如下: 1)T的根结点为R,其类型与串S的类型相同3) ; 1)T的根结点为 的根结点为R 其类型与串S的类型相同3) 2)若串 的长度大于1 将串S从中间分开,分为等长的左右子串S1和S2; 2)若串S的长度大于1,将串S从中间分开,分为等长的左右子串S1和S2;由左子 若串S S1构造 的左子树T1,由右子串S2构造 的右子树T2。 构造R 构造R 串S1构造R的左子树T1,由右子串S2构造R的右子树T2。 现在给定一个长度为2^N的 01”串 请用上述构造方法构造出一棵FBI树 现在给定一个长度为2^N的“01”串,请用上述构造方法构造出一棵FBI树,并输 出它的后序遍历序列。 出它的后序遍历序列。 Input 输入的第一行是一个整数N 10),第二行是一个长度为2^N的 ),第二行是一个长度为 输入的第一行是一个整数N(0 <= N <= 10),第二行是一个长度为2^N的“01” 串。 Output 输出包括一行,这一行只包含一个字符串,即FBI树的后序遍历序列。 输出包括一行,这一行只包含一个字符串, FBI树的后序遍历序列。 树的后序遍历序列 Sample Input 3 10001011 Sample Output IBFBBBFIBFIIIFF Hint 对于40%的数据 的数据, 2; 对于40%的数据,N <= 2; 对于全部的数据, 10。 对于全部的数据,N <= 10。

FBZ树 FBZ树1056

【分析】此题的后序遍历适合用递归算法完成。由题目可知,输入数据给 分析】此题的后序遍历适合用递归算法完成。由题目可知, 出的字符为所要遍历的fbi树的叶结点代码 又因为字符串的长度为2 树的叶结点代码, 出的字符为所要遍历的fbi树的叶结点代码,又因为字符串的长度为2的整数 次幂,故此fbi树为完全二叉树 由于题中明确规定: 树为完全二叉树。 次幂,故此fbi树为完全二叉树。由于题中明确规定:子符串中的字符都是 0’, 都是‘1’, 既有‘0’又有 1’, 又有‘ ‘0’,为B串;都是‘1’,为I串;既有‘0’又有‘1’,为F串。即:二叉树 的子结点都是B 父结点为B 子结点都是I 父结点为I 既有I又有B 的子结点都是B,父结点为B;子结点都是I,父结点为I;既有I又有B,父 结点为F 因此,根据树的子结点可以求出父结点。 结点为F。因此,根据树的子结点可以求出父结点。我们要做的是根据子结 点后序遍历二叉树。基本算法为: 点后序遍历二叉树。基本算法为: void bianli(int x,int y)//遍历过程;x,y:为子结点在数组a中的位置。 y)//遍历过程 遍历过程; 为子结点在数组a中的位置。 { if(x==y) 输出叶结点; //结束递归条件,结点为一个字符。 输出叶结点; //结束递归条件 结点为一个字符。 结束递归条件, else { 遍历左子树; 遍历左子树; 遍历右子树; 遍历右子树; 求出父结点; 求出父结点; 输出父结点; 输出父结点; } } //递归算法 //递归算法

void bianli(int x,int y)//递归过程,x,y为所要遍历的树的叶结点在数组a中位置 y)//递归过程 为所要遍历的树的叶结点在数组 递归过程,x,y为所要遍历的树的叶结点在数组a } { if(x==y) {if(a[x]=='0')cout<<"B"; if(a[x]=='1')cout<<"I"; } //输出叶结点 //输出叶结点 else{ bianli(x,x+(y-x+1)/2-1);//遍历左子树 bianli(x,x+(y-x+1)/2-1);//遍历左子树 bianli(x+(y-x+1)/2,y);//遍历右子树 bianli(x+(y-x+1)/2,y);//遍历右子树 treei=false;treeb=false; for(i=x;i<=y;i++)//求根节点 for(i=x;i<=y;i++)//求根节点 if(a[i]=='0')treeb=true;else treei=true;//求出树的父结点 treei=true;//求出树的父结点 if(treei&&treeb)tree='F'; else{ if(treei)tree='I'; if(treeb)tree='B';//输出父结点 if(treeb)tree='B';//输出父结点 } cout<<tree; } }

六.二叉排序树
所谓二叉排序树是指具有下列性质的非空二叉树 若根结点的左子树不空, ⑴若根结点的左子树不空,则左子树的所有结点值均小于 根结点值; 根结点值; 若根结点的右子树不空, ⑵若根结点的右子树不空,则右子树的所有结点值均不小 于根结点值; 于根结点值; 根结的左右树也分别为二叉排序树; ⑶根结的左右树也分别为二叉排序树; 显然,对二叉排序树进行中序遍历, 显然,对二叉排序树进行中序遍历,可得出结点值递增的排 序序列。 序序列。 如下面的排序二叉树按中序遍历结果为: 如下面的排序二叉树按中序遍历结果为: 5 6 8 9 10 11 13 14 15 17 如何生成这样的一棵二叉树呢? 如何生成这样的一棵二叉树呢?

2.二叉排序树的生成 .
a1,a2,………an为初始序列.我们按照下述规则生成其对 为初始序列. 为初始序列 应的二叉排序树: 应的二叉排序树: (1).令a1为二叉树的根 令 为二叉树的根 (2).若a2<a1,则令 为a1左子树的跟结点,否则令 为a1的 则令a2为 左子树的跟结点 否则令a2为 的 左子树的跟结点, 若 则令 右子树的根结点; 右子树的根结点; (3).对a3,a4,a5,…….,an递归重复步骤 递归重复步骤(2); 对 递归重复步骤

cin>>n>>x;//建立根节点 cin>>n>>x;//建立根节点 tree[1][1]=x; for(i=2;i<=n;i++) {cin>>x;root=1;p=true; while(p) { if(tree[root][1]>=x)//小于等于根节点的情况 if(tree[root][1]>=x)//小于等于根节点的情况 if(tree[root][2]==0) { tree[i][1]=x;//加入树 tree[i][1]=x;//加入树 tree[root][2]=i;//连接 tree[root][2]=i;//连接 p=false; } else root=tree[root][2];//对下一个根进行搜索 root=tree[root][2];//对下一个根进行搜索 if(tree[root][1]<x)//大于根节点的情况 if(tree[root][1]<x)//大于根节点的情况 if(tree[root][3]==0) { tree[i][1]=x;//加入树 tree[i][1]=x;//加入树 tree[root][3]=i;//连接 tree[root][3]=i;//连接 p=false; } else root=tree[root][3];//对下一个根进行搜索 root=tree[root][3];//对下一个根进行搜索 } }





1.怎样在一个有序序列中统计 1.怎样在一个有序序列中统计<=ai或者>=ai的顶点个数? 怎样在一个有序序列中统计<=ai或者 或者>=ai的顶点个数 的顶点个数? 2.怎样在一个有序序列中统计 2.怎样在一个有序序列中统计ai<=x<=aj的顶点个数? 怎样在一个有序序列中统计ai<=x<=aj的顶点个数 的顶点个数?

3.二叉排序树的查找 3.二叉排序树的查找-------查找第k小的数 二叉排序树的查找-------查找第 查找第k

二叉排序树的典型应用-------查找第 二叉排序树的典型应用-------查找第k小的数 查找第k

二叉排序树用于动态查找 查找
12 6 3 1 5 7 8 9 18 23 25 29

7

找到了! 找到了

用排序二叉树查找第k 用排序二叉树查找第k小的数
int find(int key)//查找第k小的数 key)//查找第 查找第k { i=1; k=key; while(1) { j=tree[tree[i,2]][4]; //取左子树的子孙数 //取左子树的子孙数 if (k<=j) i=tree[i,2]; //k比j小,说明第k小的数在左子树 //k比 说明第k else if(k==j+1)return tree[i][1]; //k比 1,说明第 //k比j大1,说明第k小的数是当前节点 说明第k else i=tree[i][3]; //k比j大1以上,说明第k小的数在右子树 //k比 以上,说明第k k=kk=k-j-1; } }

七、最优二叉树(哈夫曼树) 最优二叉树(哈夫曼树)
【石子合并问题】 石子合并问题】 有n堆石子,每堆有一个重量,每次把2堆石子合并成1堆,付 堆石子,每堆有一个重量,每次把2堆石子合并成1 出的代价为这两堆石子的重量之和,如果把这n 出的代价为这两堆石子的重量之和,如果把这n堆石子最后合并 堆石子,怎样合并才能使付出的代价最小,求出最小的代价. 成1堆石子,怎样合并才能使付出的代价最小,求出最小的代价.

例如n=5,重量 分别为7、5、2、4、6。
24 11 5 2 6 4 6 13 7

(D)

L=6+11+13+24=54 显然图(D)所示的合并方法付出的代价最小 显然图(D)所示的合并方法付出的代价最小:54 所示的合并方法付出的代价最小:54 5*2+(2+4) 3+(6+7) 5*2+(2+4)*3+(6+7)*2=54

1、最优二叉树的定义 在具有n个带权叶结点的二叉树中, 在具有n个带权叶结点的二叉树中,使所有叶结点的带权 路径长度之和(即二叉树的带权路径长度)为最小的二叉树, 路径长度之和(即二叉树的带权路径长度)为最小的二叉树, 称为最优二叉树(又称最优搜索树或哈夫曼树) 称为最优二叉树(又称最优搜索树或哈夫曼树),即最优二叉 树使

(wk—第k个叶结点的权值;pk—第k个叶结点的带权路径长 个叶结点的权值; 达到最小。 度)达到最小。

2、最优二叉树的构造方法 假定给出n 个结点k (i=1 n), 其权值分别为w (i=1 n)。 假定给出 n 个结点 ki(i=1‥n) , 其权值分别为 wi(i=1‥n) 。 要 构造以此n个结点为叶结点的最优二叉树,其构造方法如下: 构造以此n个结点为叶结点的最优二叉树,其构造方法如下: 首先,将给定的n个结点构成n棵二叉树的集合 F={T1,T2,……,Tn} 。 其中每棵二叉树 Ti 中只有一个权值为 wi 的根 ……,T 其中每棵二叉树T 中只有一个权值为w 结点k 其左、右子树均为空。 结点ki,其左、右子树均为空。然后做以下两步 中选取根结点权值最小的两棵二叉树作为左右子树, ⑴.在 F中选取根结点权值最小的两棵二叉树作为左右子树,构 造一棵新的二叉树,并且置新的二叉树的根结点的权值为其左、 造一棵新的二叉树,并且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右 子树根结点的权值之和; 子树根结点的权值之和; ⑵.在F中删除这两棵二叉树,同时将新得到的二叉树加入F中; 中删除这两棵二叉树,同时将新得到的二叉树加入F 重复⑴ 重复⑴、⑵,直到在F中只含有一棵二叉树为止。这棵二叉树便是 直到在F中只含有一棵二叉树为止。 最优二叉树。 最优二叉树。 以上构造最优二叉树的方法称为哈夫曼(huffmann)算法。 以上构造最优二叉树的方法称为哈夫曼(huffmann)算法。

例如:给定五个结点k 其权值分别为16、 例如:给定五个结点k1,k2,k3,k4,k5,其权值分别为16、2、 18、16、23。构造最优二叉树的过程如下: 18、16、23。构造最优二叉树的过程如下: ⑴构造初始集合F,F中各二叉树根结点的权值分别为16,2, 构造初始集合F 中各二叉树根结点的权值分别为16, 18,16,23(如下图): 18,16,23(如下图):

⑵以具有权值16及2的根结点的两棵二叉树为左、右子树,构 以具有权值16及 的根结点的两棵二叉树为左、右子树, 造一棵根权值为18 的新二叉树 并从F 的新二叉树, 造一棵根权值为 18的新二叉树 , 并从 F 中删去这两棵二叉树 如下图) (如下图):

⑶ 以同样的方法 ,得到一个新二叉树的集合F,其根结点的 以同样的方法,得到一个新二叉树的集合F 权值分别为23,18,34(如下图) 权值分别为23,18,34(如下图):

⑷ 又得到一个新二叉树的集合 F, 其根结点的权值分别为 又得到一个新二叉树的集合F 34,41(如下图): 34,41(如下图)

⑸ 最后得到最优二叉树 ( 如下图 ) , 其根结点的权值为 75, 最后得到最优二叉树(如下图) 其根结点的权值为75 , 结点数为2 结点数为2*5-1=9。

3、哈夫曼编码 使用频率高的采用短的的编码, 使用频率高的采用短的的编码,则总的编码长度 便可减少. 便可减少. 例如:在某通讯中只使用abcd四种字符 例如:在某通讯中只使用abcd四种字符,其出现频 四种字符, 率分别为:0.4,0.3,0.2,0.1。请进行哈夫曼编码。 率分别为:0.4,0.3,0.2,0.1。请进行哈夫曼编码。使通 讯码尽可能的短,并写出信息:bbdaac的编码 的编码。 讯码尽可能的短,并写出信息:bbdaac的编码。

1.给定一个整数集合{3, 1.给定一个整数集合{3,5,6,9,12},下列二叉树哪个 给定一个整数集合{3 12}, 是该整数集合对应的霍夫曼(Huffman) 是该整数集合对应的霍夫曼(Huffman)树。 ( )

2、已知如图所示的哈夫曼树,那么电文 已知如图所示的哈夫曼树, CDAA的编码是 的编码是[ CDAA的编码是[ ] A 110100 B 11011100 C 010110111 D 11111100

3 、 若以 {4 , 5 , 6 , 7,8} 作为叶子结点的权值构造哈夫 若以{ 曼树,则其带权路径长度是[ 曼树,则其带权路径长度是[ ] A 、69 B、 B、 70 C 、 73 D、 D、 68

⑥(NOIP6)在有N个叶子节点的哈夫曼树中,其节点总数为 (NOIP6)在有 个叶子节点的哈夫曼树中, 在有N ( ) A.不确定 A.不确定 B. 2N-1 2NC. 2N+1 D. 2N

在最优二叉树中非叶结点的度均为2 因此采用顺序存储结构为宜。 在最优二叉树中非叶结点的度均为2,因此采用顺序存储结构为宜。如果带 权叶结点数为n 则最优二叉树的结点数为2 权叶结点数为n个,则最优二叉树的结点数为2n-1个。由此得出最优二叉树 的数据类型定义 #define n 叶结点数的上限; 叶结点数的上限; Int m=2*n-1; //最优二叉树的结点数 m=2*n//最优二叉树的结点数 Struct node //结点类型 //结点类型 { int data; //权值 data; //权值 int prt,lch,rch,lth;//父指针、左、右指针和路径长度 prt,lch,rch,lth;//父指针 父指针、 } wtype=array[1 wtype=array[1‥n] of integer; integer; {n个叶结点权值的类型} {n个叶结点权值的类型 个叶结点权值的类型} treetype=array[1 treetype=array[1‥m] of node; node; {最优二叉树的数组类型} 最优二叉树的数组类型} node tree[m]; tree[m]; //其中tree [1‥n]为叶结点,tree [n+1‥2n-1]为中间结点,根为tree [2n-1] //其中 其中tree n]为叶结点 为叶结点,tree [n+1 为中间结点,根为tree

在最优二叉树的顺序存储结构中前n个结点为叶结点。 在最优二叉树的顺序存储结构中前 n个结点为叶结点 。 构造最优 二叉树的算法如下: 二叉树的算法如下: int minn(int h)//在前h个结点中选择父指针为0且权值最小的结点 h)//在前 个结点中选择父指针为0 在前h { ml=∞; ml=∞; for(p= p<=h; for(p=1;p<=h;p++) if((tree[p].prt==0)&&(m1>tree[p]. if((tree[p].prt==0)&&(m1>tree[p].data)) //没有父亲结点且较小的结点 //没有父亲结点且较小的结点 {i= {i= p;m1=tree[p].data;} tree[p].data; return i; }

void hufm(int w[],node tree[]) { memset(tree, sizeof(tree));//构造初始集合 memset(tree,0,sizeof(tree));//构造初始集合f 构造初始集合f for(i= i<=n;i++)cin>>tree[i].data; for(i=1;i<=n;i++)cin>>tree[i].data; for(k=n+ k<=m;k++)//构造最优二叉树生成 for(k=n+1;k<=m;k++)//构造最优二叉树生成n-1个新结点 构造最优二叉树生成n { //计算k为根的左儿子和右儿子 //计算 计算k i= min(k-1);tree[i].prt=k;tree[k].lch= i; min(k- tree[i].prt= tree[k].lch= j= min(k-1); tree[j].prt=k;tree[k].rch= j; min(k- tree[j].prt= tree[k].rch= tree[k].data= tree[i].data+tree[j].data; tree[k].data= tree[i].data+tree[j].data; } bt= bt=m; }

计算每一个叶结点的路径长度
Void ht(int t)//通过前序遍历计算每一个叶结点的路径长度 t)//通过前序遍历计算每一个叶结点的路径长度 { if(t==m)tree[t].lth=0 if(t==m)tree[t].lth=0; //若结点 为根,则路径长度为0 否则结点t //若结点t为根,则路径长度为0;否则结点t的路径长度为其 若结点t 父结点的路径长度+ 父结点的路径长度+1 else tree[t].lth=tree[tree[t].prt].lth+1; tree[t].lth=tree[tree[t].prt].lth+1 if(tree[t].lch!=0){ht(tree[t].lch);ht(tree[t].rch);}//分别递归左右 if(tree[t].lch!=0){ht(tree[t].lch);ht(tree[t].rch);}//分别递归左右 子树 } 由此可见,叶结点t ≤t≤n)的带权路径长度即为: 由此可见,叶结点t(1≤t≤n)的带权路径长度即为: tree[t].lth*tree[t].data。 tree[t].lth*tree[t].data。

主 程 序
int main() { cin>>n; //输入叶节点个数 //输入叶节点个数 bt=hufm(w,tree);//计算最优二叉树 bt=hufm(w,tree);//计算最优二叉树tree和根序号bt 计算最优二叉树tree和根序号 和根序号bt ht(bt);//计算每一个叶结点的路径长度 ht(bt);//计算每一个叶结点的路径长度 for(i=1;i<=n;i++) cout<<tree[i].lth*tree[i].data<<“ ”; //输出每个叶节点的带权路径长度 //输出每个叶节点的带权路径长度 return 0; }


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